备考2019中考数学高频考点剖析
专题三十三 动态几何之最值问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中的最值问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括包括单动点形成的最值问题、双（多）动点形成的最值问题、线动形成的最值问题和面动形成的最值问题。四个方面，总体来看，难度系数中游水平，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以几何图形的综合应用为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从四个方面进行动态几何中最值问题的探讨：
（1）包括单动点形成的最值问题，
（2）双（多）动点形成的最值问题，
（3）线动形成的最值问题，
（4）面动形成的最值问题。
考点剖析☆典型例题
例1（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A.B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
例2如图：
（1）观察猜想：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是________，位置关系是________．
（2）探究证明：
在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC= ，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．
例3如图，已知二次函数y= x2+bx﹣ 与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）试求出二次函数的表达式和点B的坐标；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
考点过关☆专项突破
类型一 单点运动形成的最值
1. 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 ．
2. （2018·天津·3分）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2018·四川宜宾·3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
4. （2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．
5. 已知 ， ， ，斜边 ，将 绕点 顺时针旋转 ，如图1，连接 ．
（1）填空： ________ ；
（2）如图1，连接 ，作 ，垂足为 ，求 的长度；
（3）如图2，点 ， 同时从点 出发，在 边上运动， 沿 路径匀速运动， 沿 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 的运动速度为1.5单位 秒，点 的运动速度为1单位 秒，设运动时间为 秒， 的面积为 ，求当 为何值时 取得最大值？最大值为多少？
6. （2018·浙江省台州·12分）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．
类型二 双（多）动点形成的最值问题
1. 已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts.
（1）求CD的长；
（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？
（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小，如果有请尺规作出图形（不必求最小值），如果没有请说明理由．
2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝? x＋2的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝ 对称，且经过B. C两点，与x轴交于另一点为A.
（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时△APC的面积； （3）在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D,直接写出点D的坐标.
类型三 线动形成的最值问题
1．如图（1），在矩形ABCD中，BC=8，点P是BC边上一点，且BP=3，点E是线段CD上的一个动点，把△PCE沿PE折叠，点C的对应点为点F，当点E与点D重合时，点F恰好落在AB上．
（1）求CD的长；
（2）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；
（3）请直接写出AF的最小值.
2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
?
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1 ， 点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1 ． 若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
备考2019中考数学高频考点剖析
专题三十三 动态几何之最值问题
考点扫描☆聚焦中考
动态几何中的最值问题，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括包括单动点形成的最值问题、双（多）动点形成的最值问题、线动形成的最值问题和面动形成的最值问题。四个方面，总体来看，难度系数中游水平，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要以几何图形的综合应用为主。结合2017、2018年全国各地中考的实例和2019年名校中考模拟试题，我们从四个方面进行动态几何中最值问题的探讨：
（1）包括单动点形成的最值问题，
（2）双（多）动点形成的最值问题，
（3）线动形成的最值问题，
（4）面动形成的最值问题。
考点剖析☆典型例题
例1（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A.B两点的距离之和PA+PB的最小值为 ．
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB=S矩形ABCD，∴ AB?h=AB?AD，∴h=AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE===4，即PA+PB的最小值为4．
故答案为：4．
例2如图：
（1）观察猜想：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是________，位置关系是________．
（2）探究证明：
在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC= ，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．
【考点】几何图形的动态问题
【解析】【解答】解：（1）①如图
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
故答案为：CE=BD，CE⊥BD．
【分析】（1）由旋转可知对应边、对应角相等，从而可以判断CE与BD的数量与位置关系；（2）与（1）的思路一致，先通过旋转的性质证得△BAD≌△CAE，从而可以判断CE与BD的数量与位置关系；（3）过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，
由旋转的性质证得Rt△AMD≌Rt△ENA，从而可知△AMC为等腰直角三角形，进而可知四边形MCEN为平行四边形为矩形，即可知Rt△AMD∽Rt△DCF，利用对应线段成比例可用DC长x表示出CF的长度，再结合二次函数的顶点求得最值即可.
【解析】（1）CE=BD；CE⊥BD （2）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD
（3）解：如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF=90°，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴ ，
设DC=x，
∵∠ACB=45°，AC= ，
∴AM=CM=1，MD=1-x，
∴ ，
∴CF=-x2+x=-（x- ）2+ ，
∴当x= 时有最大值，CF最大值为
例3如图，已知二次函数y= x2+bx﹣ 与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）试求出二次函数的表达式和点B的坐标；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将点A（﹣3，0）代入y=?x2+bx﹣?即可求出b的值，从而求出抛物线的解析式，然后根据抛物线与x轴交点的坐标特点，将y=0代入抛物线的解析式，即可算出对应的自变量的值，从而得出B点的坐标； （2）设PA=t（﹣3＜t＜0），则OP=3﹣t，如图1，根据同角的余角相等得出∠DPA=∠PEO，从而判断出△DAP∽△POE，根据相似三角形对应边成比例得出AP∶OE=AD∶PO,根据比例式即可建立出OE与t的函数关系式，根据所得函数的性质即可解决问题； （3）存在．当点P在y轴左侧时，如图2，DE交AB于G点，首先判断出△DAP≌△POE，根据全等三角形的对应边相等得出PO=AD=4，进而得出PA=1，OE=1，根据平行线分线段成比例定理，由AD∥OE得出AG∶OG=AD∶OE=4,根据比例式求出AG的长，然后由三角形的面积计算方法算出S△DAG，从而得出答案P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，根据全等三角形的对应边相等得出PO=AD=4，进而得出PA=7，OE=7，，根据平行线分线段成比例定理，由AD∥OE得出AG∶OG=AD∶OE=， 从而得出OG的长，同理可得BQ的长，根据S四边形DGBQ=S△DGP-S△OBP即可算出面积得出答案。
【答案】（1）解：将点A（﹣3，0）代入y= x2+bx﹣ 得 ﹣3b﹣ =0，解得b=1，
∴二次函数的表达式为y= x2+x﹣ ，
当y=0时， ?x2+x﹣ =0，解得x1=1，x2=﹣3，
∴B（1，0）
（2）解：设PA=t（﹣3＜t＜0），则OP=3﹣t，如图1，
∵DP⊥PE，
∴∠DPA=∠PEO，
∴△DAP∽△POE，
∴ = ，即 = ，
∴OE=﹣ t2+ t
=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∴当t= 时，OE有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为
（3）解：存在．
当点P在y轴左侧时，如图2，DE交AB于G点，
∵PD=PE，∠DPE=90°，
∴△DAP≌△POE，
∴PO=AD=4，
∴PA=1，OE=1，P点坐标为（﹣4，0），从而得出答案
∵AD∥OE，
∴ = =4，
∴AG= ，
∴S△DAG= ? ?4= ，
∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为 ；
当P点在y轴右侧时，如图3，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，
同理可得△DAP≌△POE，
∴PO=AD=4，
∴PA=7，OE=7，点P的坐标为（4，0），
∵AD∥OE，
∴ = = ，
∴OG= ，
同理可得BQ=
∴S四边形DGBQ= ×（ +4）×4- ×3× =
∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为
考点过关☆专项突破
类型一 单点运动形成的最值
1. 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为 2 ．
【分析】如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．
【解答】解：如图作CE′⊥AB于E′，甲BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB=BC=4，ABCE′=8，
∴CE′=2，
在Rt△BCE′中，BE′==2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，最小值为CE的长=2，
故答案为2．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE是△ABC的高，学会利用对称解决最短问题．
2. （2018·天津·3分）如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A. B. C. D.
【解析】分析：点E关于BD的对称点E′在线段CD上，得E′为CD中点，连接AE′，它与BD的交点即为点P，PA+PE的最小值就是线段AE′的长度；通过证明直角三角形ADE′≌直角三角形ABF即可得解．
详解：过点E作关于BD的对称点E′，连接AE′，交BD于点P．
∴PA+PE的最小值AE′；
∵E为AD的中点，
∴E′为CD的中点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°,
∴DE′=BF，
∴ΔABF≌ΔAD E′，
∴AE′=AF.
故选D.
点睛：本题考查了轴对称--最短路线问题、正方形的性质．此题主要是利用“两点之间线段最短”和“任意两边之和大于第三边”．因此只要作出点A（或点E）关于直线BD的对称点A′（或E′），再连接EA′（或AE′）即可．
3. （2018·四川宜宾·3分）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．
【分析】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
【解答】解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
4. （2018·四川自贡·4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．
【分析】根据题意证明四边相等即可得出菱形；作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，求出ME即可．
【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，
∴AC=AD，BC=BD，
∵AC=BC，
∴AC=AD=BC=BD，
∴四边形ADBC是菱形，
故答案为菱；
如图
作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，
过点A作AN⊥BC，
∵AD∥BC，
∴ME=AN，
作CH⊥AB，
∵AC=BC，
∴AH=，
由勾股定理可得，CH=，
∵，
可得，AN=，
∴ME=AN=，
∴PE+PF最小为，
故答案为．
【点评】此题主要考查路径和最短问题，会结合轴对称的知识和“垂线段最短”的基本事实分析出最短路径是解题的关键．
5. 已知 ， ， ，斜边 ，将 绕点 顺时针旋转 ，如图1，连接 ．
（1）填空： ________ ；
（2）如图1，连接 ，作 ，垂足为 ，求 的长度；
（3）如图2，点 ， 同时从点 出发，在 边上运动， 沿 路径匀速运动， 沿 路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点 的运动速度为1.5单位 秒，点 的运动速度为1单位 秒，设运动时间为 秒， 的面积为 ，求当 为何值时 取得最大值？最大值为多少？
【考点】三角形的面积，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，几何图形的动态问题，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°．
故答案为：60．
【分析】（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OBC是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°即可得出∠OBC的度数； （2）在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出 OA OB＝2，AB OA＝2 ， 由 S△AOC ?OA?AB 算出△AOC的面积，根据角的和差及等边三角形的性质得出 ∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°， 在Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，然后利用 S△AOC ?AC?OP即可算出OP的长； （3） ①当0＜x 时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E， 根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出NE＝ON?sin60° = x，然后根据 S△OMN ?OM?NE 建立出y与x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出答案； ②当 x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动． 作MH⊥OB于H． 则BM＝8﹣1.5x， 根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出MH＝BM?sin60° = （8﹣1.5x），然后根据 S△OMN ON×MH 建立出y与x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出答案； ③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动， 作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2 ， 然后根据 ∴y ?MN?OG 建立出y与x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出答案，综上所述即可得出答案。
【答案】 （1）60 （2）解：如图1中。
∵OB＝4，∠ABO＝30°，
∴OA OB＝2，AB OA＝2 ，
∴S△AOC ?OA?AB 2×2 ．
∵△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，
∴AC ，
∴OP ．
（3）解：①当0＜x 时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．
则NE＝ON?sin60° = x，
∴S△OMN = ?OM?NE ×1.5x×x，
∴y x2 ，
∴x 时，y有最大值，最大值 ．
②当 x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．
作MH⊥OB于H．
则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM?sin60° = （8﹣1.5x），
∴y ON×MH x2+2 x．
当x 时，y取最大值，y ，
③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，
作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2 ，
∴y ?MN?OG＝12 x，
当x＝4时，y有最大值，最大值＝2 ．
综上所述：y有最大值，最大值为 ．
6. （2018·浙江省台州·12分）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．
（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．
【分析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出BD=3，进而求出CF=，同理：EG=，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ACE和△BCD中，，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF=BF，
∴∠BCF=∠CBF，
由（1）知，∠CAE=∠CBD，
∴∠BCF=∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AE⊥CF；
（3）如图3，∵AC=2，
∴BC=AC=2，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD==3，
∵点F是BD中点，
∴CF=DF=BD=，
同理：EG=AE=，
连接EF，过点F作FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点F是BD的中点，
∴FH=CD=，
∴S△CEF=CE?FH=×1×=，
由（2）知，AE⊥CF，
∴S△CEF=CF?ME=×ME=ME，
∴ME=，
∴ME=，
∴GM=EG﹣ME=﹣=，
∴S△CFG=CF?GM=××=．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG的边CF上的是解本题的关键．
类型二 双（多）动点形成的最值问题
1. 已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为ts.
（1）求CD的长；
（2）t为何值时，△ACP为等腰三角形？
（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN的值最小，如果有请尺规作出图形（不必求最小值），如果没有请说明理由． 【考点】勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题，几何图形的动态问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求出AC2+BC2和AB2值，即可判断△ABC是直角三角形，再利用直角三角形的面积=两直角边之积的一半=斜边×斜边上的高，就可求出CD的长。 （2）分情况讨论：当点P在BC上，CA=CP时，由CP的长，可求出t的值；当点P在AB上，CA=CP时，利用勾股定理求出AD、DP、AP的长，就可求出t的值；当AC=AP时；当PA=PC时，分别求出t的值，综上所述，可得出t的值。 （3）利用轴对称的知识可解答，作A点关于BC的对称点A′，过A′作AB的垂线A′N，垂足为N，交BC于M点，M、N即为所求。
【答案】（1）解：∵AC2+BC2=36+64=100，AB2=100，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，
∴×AC×BC= ×AB×CD，
解得，CD=4.8cm；
（2）解：当点P在BC上，CA=CP时，CP=6，
则t=12÷2=6s，
当点P在AB上，CA=CP时，
在Rt△ADC中，AD= =3.6，
如图，
∵CA=CP，CD为AB边上的高，
∴DP=AP=3.6，
则t=（24﹣7.2）÷2=8.4，
当AC=AP时，t=（24﹣6）÷2=9，
当PA=PC时，
如图，作PH⊥AC于H，
则AH=CH=3，HP= BC=5，
由勾股定理得，AP=5，
则t=（24﹣5）÷2=9.5，
故当t=6、8.4、9、9.5时，△ACP为等腰三角形；
（3）解：如图，作A点关于BC的对称点A′，过A′作AB的垂线A′N，垂足为N，交BC于M点，M、N即为所求．
2. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数y＝? x＋2的图象与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝ 对称，且经过B. C两点，与x轴交于另一点为A.
（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,过点P作PQ⊥x轴于M，交AC于Q，求PQ的最大值，并求此时△APC的面积； （3）在抛物线的对称轴上找出使△ADC为直角三角形的点D,直接写出点D的坐标. 【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出B,C两点的坐标，根据抛物线的对称性求出A点的坐标，然后将A,B,C三点的坐标分别代入抛物线y＝ax2＋bx＋c得出一个关于a,b,c的三元一次方程组，求解得出a,b,c的值，从而得出抛物线的解析式； （2）根据直线上的点的坐标特点，用含m的式子表示出Q点的坐标，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特点及抛物线上的点的坐标特点用含m的式子表示出P点的坐标，根据两点间的距离公式表示出PQ的长，根据所得函数的性质即可解决问题,然后根据S△PBC＝S梯形OCPM＋S△PMB－S△BOC算出图形面积； （3）首先根据对称轴上点的坐标特点设出D点的坐标为（，m），△ADC为直角三角形分三种情况：①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M，由△CD1M∽△ACO对应边成比例得出,根据比例式即可求出CM的长，进而得出uOM的擦很难过，得出D1点的坐标；②同理当点A为直角顶点时可求D2；③当点D为直角顶点时:?过D3作MN⊥y轴 ，由△CD3M∽△D3NA对应边成比例得出根据比例式列出方程，求解即可求出D3,D4的坐标，综上所述即可得出答案。
【答案】（1）解：令y＝?x＋2＝0，解得：x＝4，
即点B的坐标为(4,0).
∵A、B关于直线x＝对称，? ∴点A的坐标为(?1,0).
令x＝0，则y＝2，
∴点C的坐标为(0,2)，
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、 B、?C，
∴有 解得： a＝?，b＝，c＝2.
故抛物线解析式为y＝?x2＋ x＋2
（2）解：直线AC的解析式为y＝－x＋2,即x＋y?2＝0，
设点Q的坐标为(m，－m＋2) ；则P点坐标为(m,? m2＋m＋2)，
∴PQ＝（?m2＋m＋2）－（－m＋2）
＝?m2＋2m＝－（m－2）2＋2
∴当m＝2时，PQ最大＝2
此时点P（2,3）S△PBC＝S梯形OCPM＋S△PMB－S△BOC＝5＋3－4＝4
（3）解：假设存在,设D点的坐标为(,?5)，(,5)，(,1＋ )，(,1－ ).
解法如下：设D点的坐标（，m）
△ADC为直角三角形分三种情况：
①当点C为直角顶点时：作DM⊥y轴于M
由△CD1M∽△ACO可得：
∴ ,CM＝3????? ∴OM＝5即D1（,5）
②同理当点A为直角顶点时可求D2(,?5)
③当点D为直角顶点时:????????????????
过D3作MN⊥y轴
???
由△CD3M∽△D3NA可得： ?
∴ ，可得：n2－2n＝
解得：n＝1±
D3( ,1＋ ),D4( ,1－ )
故D点的坐标为(,?5)，(,5)，(,1＋ )，(,1－ )
类型三 线动形成的最值问题
1．如图（1），在矩形ABCD中，BC=8，点P是BC边上一点，且BP=3，点E是线段CD上的一个动点，把△PCE沿PE折叠，点C的对应点为点F，当点E与点D重合时，点F恰好落在AB上．
（1）求CD的长；
（2）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；
（3）请直接写出AF的最小值.
【考点】勾股定理，翻折变换（折叠问题），几何图形的动态问题
【解析】【解答】（3）如图，
由题意知PF=PC=5，
则点F和点C在以点P为圆心，5为半径的圆上，
连结AP，与⊙P交点即为所求点F，
∵AB=10，BP=3，
∴AP= ，
则AE=AP-PF= .，
故AF的最小值为 ，
故答案为： .
【分析】（1） 当点E与点D重合时，画出图形，利用折叠的性质， DF=DC=x, PC=PF=5，利用勾股定理求出BF，用含x的代数式表示出AF的长，然后在Rt△AFD中，利用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值即可。 （2） 当点F落在AD得中垂线MN上时，画出图形， 作FG⊥DC于点G，利用勾股定理求出FN，设CE=y，用含y的代数式表示出CG、FN、GE，再在△GEF中，利用勾股定理建立关于y的方程，解方程求出y的值。 （3）要使AF最小，当且仅当A、F、P在同一直线上时，画出图形，利用勾股定理求出AP的长，即可求出AF的长。
【答案】 （1）解：当点E与点D重合时，如图
设CD=x，
由折叠可知：DF=DC=x, PC=PF=5,
在RT△PBF中，
BF=
则 AF=x-4，
在RT△AFD中，∠A=90°
由AD2+AF2=DF2
得
解得：x=10,即CD=10.
（2）解：当点F落在AD得中垂线MN上时，
作FG⊥DC于点G，则FG=4，
在RT△PNF中，
FN=
设CE=y，∵CG=FN= ，
∴GE= -y，
在RT△GEF中，由FG2+GE2=EF2
得：42+（ -y）2=y2
解之得：y= (或 )?
要使AF最小，当且仅当点A、F、P在同一直线上
（3）解： .
2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l： 与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线 经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
?
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1 ， 点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1 ． 若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】（1）由题意把点B（0，-1）代入直线BC的解析式可求得m的值，则直线BC的解析式可求解； 再将点C（4，n）代入直线BC的解析式可求得n的值，把点B、C的坐标代入二次函数的解析式即可求得b、c的值，则二次函数的解析式可求解； （2）由题意令y=0可求得点A的坐标； 在Rt△OAB中 ，用勾股定理可求得AB的长， 在矩形DFEG中，EF=DE?cos∠DEF 可将EF和DF用含DE的代数式表示；则 p=2（DF+EF） 也可用含DE的代数式表示；而 点D的横坐标为t（0＜t＜4）， 所以点D、E的坐标可用含t的代数式表示；则p可用含t的二次函数表示出来，把二次函数配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解； （3）由旋转的性质可得 A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，?由题意分两种情况讨论即可求解： ①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1， 根据这两点的纵坐标相同可得关于x的方程，解方程即可求解； ②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大?? ，根据这两点的纵坐标相同可得关于x的方程，解方程即可求解。
【答案】 （1）解：∵直线l：y= x+m经过点B（0，﹣1），
∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y= x﹣1，
∵直线l：y= x﹣1经过点C（4，n），
∴n= ×4﹣1=2，
∵抛物线y= x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣1
（2）解：令y=0，则 x﹣1=0，
解得x= ，
∴点A的坐标为（ ，0），
∴OA= ，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB= ，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE?cos∠DEF=DE? ，
DF=DE?sin∠DEF=DE? ，
∴p=2（DF+EF）=2（ ，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t， t2﹣ t﹣1），E（t， t﹣1），
∴DE=（ t﹣1）﹣（ t2﹣ t﹣1）=﹣ t2+2t，
∴p= ×（﹣ t2+2t）=﹣ t2+ t，
∵p=﹣ （t﹣2）2+ ，且﹣ ＜0，
∴当t=2时，p有最大值 ；
（3）解：∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①??? 如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，
∴ x2﹣ x﹣1= （x+1）2﹣ （x+1）﹣1，
解得x= ，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大 ，
∴ x2﹣ x﹣1= （x+1）2﹣ （x+1）﹣1+ ，
解得x=﹣ ，
综上所述，点A1的横坐标为 或﹣ ．
