【备考2019中考数学学案】第八单元 统计与概率 第2讲 概率

第八单元 统计与概率
第2讲 概率
考 点 知 识 清 单
考点一 事件的分类
1.必然事件:在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中①__________发生的事件，其概率是②____。
2.不可能事件:在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中，③________发生的事件，其概率是④___。
3.随机事件:在一定条件下，⑤___________的事件.其发生的概率介于⑥__________之间。
4.事件的分类:事件
考点二 概率
定义
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率。
概
率
的
求
法
公式
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结的果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）＝⑦___________。
列表法
当一次事件中涉及两个因素时，可采用⑧________求所有等可能的结果，再根据概率公式计算。
树状图
当一次事件中涉及两个以上的因素时，可采用⑨________求所有等可能的结果，再根据概率公式计算。
用频率估计概率
在进行大量重复试验时，随着累计试验次数的增加，一个随机事件发生的频率总在这个事件发生的概率附近波动，从而可以用事件发生的⑩__________估计事件发生的概率
【温馨提示】
几何概率:一个试验涉及的图形面积为S，事件A发生时涉及的图形面积为S'，则P(A)＝。
考点三 用频率估计概率
一般地，在做大量重复试验时，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率为P（A）＝?_________，其中p满足0≤p≤1.
题 型 归 类 探 究
类型一 事件的分类（重点）
【典例1】（2018·齐齐哈尔）下列成语中，表示不可能事件的是（ ）
A.缘木求鱼 B.杀鸡取卵 C.探囊取物 D.日月经天，江河行地
【思路导引】结合成语的实际意义，根据其能否发的情况进行判断即可。
【自主解答】
【方法技巧】判断确定事件与随机事件的方法:（1）事件肯定会发生，是确定事件；事件可能会发生，也可能不会发生，是随机事件；（2）对于确定事件，肯定发生的是必然事件，肯定不发生的是不可能事件。
【变式训练】
1.（2018·襄阳）下列语句描述的事件是随机事件的是（ ）
A.任意画一个四边形，其内角和为180° B.经过任意两点画一条直线
C.任意画一个菱形，是中心对称图形 D.过平面内任意三点画一个圆
类型二 用频率估计概率（高频点）
【典例2】（2018·武汉）下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况:
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
325
1336
3203
6335
8073
12628
成活的频率(精确到0.01)
0.813
0.891
0.915
0.905
0.897
0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是___________（精确到0.1）.
【思路导引】一般来说，每次试验的频率均在概率附近波动，且试验次数越多，频率也越接近于概率，据此特征估计该事件的概率即可。
【自主解答】
【方法技巧】用频率估计概率的方法及注意事项:（1）用频率估计概率时，一般是通过观察各数值主要集中在哪个常数附近，这个常数就是所求概率的估计值.同时要明确，频率只是一个估计值，不同的试验受试验次数及试验条件的影响，所得到的结果可能有所不同.（2）在用频率估计概率时，要注意试验的次数越多，事件发生的频率越接近于概率。
【变式训练】2.（2018·玉林）某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出的一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A.抛掷一枚硬币，出现正面朝上
B.掷一枚正六面体骰子，向上一面的点数是3
C.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D.从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
类型三 概率的意义（重点）
【典例3】（2017·绥化）从一副洗匀的普通扑克牌中随机抽取一张，则抽出红桃的概率是（ ）
A. B. C. D.
【思路导引】一副扑克牌共54张，红桃有13张，每张牌被抽出的可能性一样大，故根据概率公式直接计算即可。
【自主解答】
【方法技巧】概率的求法:如果一个事件有n种可能的结果，而且这些结果出现的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝。
【变式训练】3.（2018·随州）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机B向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
类型四 列举法求概率（高频点）
【典例4】（2017·玉林）在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b，c（除颜色外其他均相同）用树状图（或列表法）解答下列问题:
（1）小丽第一次从袋子中摸出一个球不放回，第二次又从袋子中摸出一个球，则小丽两次都摸到白球的概率是多少？
（2）小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又从袋子中摸出一个球，则小强两次都摸到白球的概率是多少？
【思路导引】（1）由于摸出的第一个球不放回，故第二次摸球时仅有两种可能，就此列表或画树状图获两次摸球的所有情况数，则易于求解；
（2）若第一次摸到黑球不放回，则第二次摸球有两和可能；若第一次摸到白球放回，则第二次摸球时有三种可能结果，关注这些细节再正确列表或画树状图进一步求解.
【自主解答】
【方法技巧】列举法求概率通常采用列表法或画树状图法:（1）列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；（2）树状图法适合两步或两步以上完成的事件。
【变式训练】4.（2018·连云港）汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则:两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全部打完，嬴得三局及以上的队获胜.假如甲、乙两队每局获胜的机会相同。
（1）若前四局双方战成2:2，那么甲队最终获胜的概率是_________；
（2）现甲队在前两局比赛中已取得2:0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？
中 考 真 题 回 放
考点一 事件的分类
1.（2018·淄博）下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ）
A.水能载舟，亦能覆舟 B.只手遮天，偷天换日
C瓜熟蒂落，水到渠成 D.心想事成，万事如意
2.（2018·沈阳）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B.13个人中至少有两个人的生肖相同
C.车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D.明天一定会下雨
3.（2018·包头）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A.某个数的绝对值大于0 B.某个数的相反数等于它本身
C.任意一个五边形的外角和等于540° D.长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
4.（2018·福建）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为随机事件的是（ ）
A.两枚骰子向上一面的点数之和大于1 B.两枚骰子向上一面的点数之和等于1
B两枚骰子向上一面的点数之和大于12 D.两枚骰子向上一面的点数之和等于12
考点二 概率的意义
5.（2018·烟台）下列说法正确的是（ ）
A.367人中至少有2人生日相同
B.任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是
C.天气预报说明天的降水概率为90％，则明天一定会下雨
D.某种彩票中奖的概率是1％，则买100张彩票一定有1张中奖
6.（2018·永州）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有3个红球.每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是__________。
7.（2018·济南）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是____________。
8.（2018·东营）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是___________。
9.（2018·聊城）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下:红灯开启30秒后关，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去，如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是___________。
10.（2018·成都）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2:3，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为____________。
考点三 列举法求概率
11.（2018·威海）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（ ）
A. B. C. D.
12.（2017·威海）甲、乙两人用如图所示的两个转盘，（每个转盘被分成面积相等的3个扇形）做游戏，游戏规则:转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，甲获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
13.（2018·临沂）2018年某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（ ）
A. B. C. D.
14.（2018·聊城）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ）
A. B. C. D.
15.（2018·滨州）若从-1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是__________。
16.（2018·青岛）小明和小亮计划暑期结伴参加志愿者活动，小明想参加敬老服务活动，小亮想参
加文明礼仪宣传活动他们想通过做游戏来决定参加哪个活动，于是小明设计了一个游戏，游戏规则是:在三张完全相同的卡片上分别标记4，5，6三个数字，一人先从三张卡片中随机抽出一张，记下数字后放回，另一人再从中随机抽出一张，记下数字，若抽出的两张卡片标记的数字之和为偶数，则按照小明的想法参加敬老服务活动，若抽出的两张卡片标记的数字之和为奇数，则按照小亮的想法参加文明礼仪宣传活动你认为这个游戏公平吗？请说明理由。
17.（2018·日照）我校举行了某学科实验操作考式，有A，B，C，D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验，小王、小张、小厉都参加了本次考试。
①小厉参加实验D考试的概率是____________。
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率。
参考答案及解析
【题型归类探究】
【典例1】
【自主解答】A 解析:不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，缘木求鱼是不可能事件；杀鸡取卵是随机事件；探囊取物是必然事件；日月经天，江河行地是必然事件。
【变式训练】1.D
【典例2】
【自主解答】0.9 解析:成活的频率在0.9附近波动，所以估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是0.9.
【变式训练】2.D
【典例3】
【自主解答】B
【变式训练】3.A 解析:因为正方形ABCD的面积为4，阴影部分的面积为四个半圆的面积与正方形ABCD的面积之差，即，所以米粒落在阴影部分的概率为。
【典例4】
【自主解答】解:（1）画树状图如下:
∵所有可能结果共有6种，两次都摸到白球的结果共有2种，
∴.两次都摸到白球的概率是P1＝＝。
a
b
c
a
（a，b）
（a，c）
b
（b，a）
（b，b）
（b，c）
c
（c，a）
（c，b）
（c，c）
（2）列表如下:
或画树状图如下:
∵所有可能结果共有8种，两次都摸到白球的结果共有4种，
∴两次都摸到白球的概率是P2＝。
【变式训练】4.解:（1）。
（2）解:树状图如图所示:

如图可知，剩下的三局比赛共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局有7种，
所以，P（甲队最终获胜）＝。
答:甲队最终获胜的概率为。
【中考真题回放】
1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.100 7.15 8. 9. 10.
11.B 12.C 13.D 14.B 15.
16.解:不公平.列表表示所有可能的结果:
第一张
第二张
4
5
6
4
8
9
10
5
9
10
11
6
10
11
12
由上表可知，共有9种等可能结果，其中和为偶数的有5种结果，和为奇数的有4种结果。
∴P（参加敬老服务活动）＝，P（参加文明礼仪活动）＝。
∵≠ ，∴这个游戏不公平。
17.解:①；②解:列表法如下:
小王
小张
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）
或画树状图如下:
由列表或画树状图可知，所有出现等可能的情况共有16种结果，其中小王、小张抽到同一个实验的结果有4种，所以小王、小张抽到同一个实验的概率为。