2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.1 1．1.2　集合的包含关系

1．1集__合
1．1.2　集合的包含关系
集合间的关系
设集合A＝{农夫，狼，羊，菜}，由此设计一个方案：农夫把狼，羊，菜从河的一岸送到另一岸，农夫驾船每次只能送一样东西，并且农夫不在场时，狼和羊不能在一起，羊和菜不能在一起．
问：
(1)如果把每次船上的物品和农夫作为一个集合，共能构成多少个集合？且彼此之间有何关系？
(2)(1)中的集合与集合A有何关系？
1．子集
(1)如果集合B的每个元素都是集合A的元素，就说B包含于A，或者说A包含B.记作B?A(或A?B)．符号?读作“包含于”，符号?读作“包含”．
(2)若B包含于A，称B是A的一个子集．
2．子集的性质
(1)每个集合都是它自己的子集．
(2)空集合包含于任一集合，是任一集合的子集．
3．集合相等
如果B是A的子集，A也是B的子集，就说两个集合相等，记作A＝B.
4．真子集
如果B是A的子集，但A不是B的子集，就说B是A的真子集，记作B?A.
1．若A?B，则A?B且A≠B，对吗？
[提示]　正确．若A?B，首先A?B，其次B中至少有一个元素不属于A，即A≠B.
2．下图所示的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，集合A，B，C，D，E表示的图形分别是_________________________．
[提示]　由Venn图可知，E?D?C?A，B?A.
∴A、B、C、D、E分别表示四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形．
3．若??A?{0,1}，则集合A的所有可能的情况有________．
[提示]　{0}，{1}，{0,1}.
全集和补集
我们知道，事物都是相对的，集合中的部分元素与集合的全部元素之间的关系就是部分与整体的关系．看下面的例子回答问题：
A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有参加足球队的同学}，I＝{高一(1)班的同学}，这里的I、A、B三个集合之间有何关系？
1．全集
如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合I的元素和子集，就可以约定把集合I叫作全集(或基本集)．
2．补集
若A是全集I的子集，I中不属于A的元素组成的子集叫作A的补集，记作?IA.
1．集合A与?IA(I为全集)有何关系？
[提示]　A∪(?IA)＝I且A∩(?IA)＝?.
2．已知全集I＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则?IA＝(　　)
A．{1,3,5}　　　　　　　　 B．{2}
C．{4} D．{2,4}
[提示]　 D
子集关系的理解应用
[例1]　(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是(　　)
A．M＝N　　　　　　　 B．M?N
C．M?N D．N?M
(2)已知集合A＝{x|－1A．A?B B．A?B
C．B?A D．B?A
(3)已知集合A＝{a，b，c}，则集合A的真子集的个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
[思路点拨]　(1)可根据子集、真子集及集合相等的定义求解；(2)可借助数轴分析求解；(3)按集合A的子集中元素个数分类求解．
[解析]　(1)解方程x2－3x＋2＝0得
x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，
∵1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，
∴M?N.
又∵0∈N但0?M，所以M?N.
(2)用数轴表示集合A，B，如图所示，
由图可知A?B.
(3)确定集合A各种情形真子集的个数：
含有一个元素时，真子集为{a}，{b}，{c}，共3个；
含有两个元素时，真子集为{a，b}，{a，c}，{b，c}，共3个；
另外还有空集?.
因此集合A共有7个真子集．故选B.
[答案]　(1)C　(2)B　(3)B
借题发挥
1.两集合间关系的判断步骤
(1)判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A?B，否则AB.
(2)判断另一个集合B中的任意元素是否属于一个集合A，若是，则B?A，否则BA.
(3)若既有A?B，又有B?A，则A＝B.
2.求一个集合子集个数的规律
(1)含n个元素的集合有2n个子集；
(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集.
　　
1．下列各组集合中，满足M?N的是(　　)
A．M＝{1,2,3,4}，N＝{1,2,3}
B．M＝{1,2}，N＝{1,2,3}
C．M＝{矩形}，N＝{三角形}
D．M＝{平行四边形}，N＝{矩形}
解析：选B　依据子集的意义容易选出B.
2．已知{x|x2－1＝0}?A?{－1,0,1}，试写出集合A的子集．
解：∵{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，
又{－1,1}?A?{－1,0,1}．
∴A＝{－1,0,1}．故集合A的子集有23＝8个，
分别是?，{0}，{－1}，{1}，{0，－1}，{0,1}，{－1,1}，{－1,0,1}.
集合相等关系的应用
[例2]　已知集合A＝{1,1＋a,1＋2a}，B＝{1，q，q2}．若A＝B，求实数a，q的值．
[思路点拨]　根据两集合相等，列出关于a，q的方程组，求出a，q并验证是否符合集合元素的互异性，从而得解．
[解]　由A＝B得①
或②
由①得∴A＝B＝{1,1,1}，不符合元素的互异性，舍去．
由②得∴2q2－q－1＝0，
∴q＝－，或q＝1.
∴或(舍)
经检验知q＝－，a＝－符合题意.
借
题
发
挥
(1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
(3)另外证明两个集合相等的思路是证：A?B且B?A.
　　
3．若＝{0，a2，a＋b}，则a2 018＋b2 019的值为______．
解析：∵＝{0，a2，a＋b}．
∴0∈.
∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}，
∴a2＝1，a＝±1.
当a＝1时，不满足互异性，
∴a＝－1.
∴a2 018＋b2 019＝1.
答案：1
由集合的包含关系求参数的取值范围
[例3]　已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|1≤x≤a}，且B≠?.
(1)若A?B，求a的取值范围；
(2)若B?A，求a的取值范围．
[思路点拨]　利用数轴，根据集合A，B的关系，可以求出a的取值范围．
[解]　A＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}．
(1)若A?B，由图①可知a的取值范围为{a|a>2}．
(2)若B?A，由图②可知a的取值范围为{a|1≤a≤2}．
借
题
发
挥
(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的.
　　
4．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解：∵B?A，∴B可能为?.
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，
解得m≥2.
(2)当B≠?时，有，
解得－1≤m＜2，综上得m≥－1.
补集的运算
[例4]　设I＝{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求?IA、?IB.
[思路点拨]　先确定集合I、A中的元素，再根据补集的定义求解．
[解]　法一：在集合I中，∵x∈Z，
则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴I＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴?IA＝{－5，－4,3,4}，?IB＝{－5，－4,5}．
法二：可用Venn图表示
则?IA＝{－5，－4,3,4}，?IB＝{－5，－4,5}.
借
题
发
挥
(1)根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
(2)补集的几个性质：?II＝?，?I?＝I，A∪(?IA)＝I，解题时要注意使用.
　　
5．设全集U＝{x|x>－6}，A＝{x|0≤x≤6}，则?UA等于(　　)
A．{x|x<0或x>6}　　　 B．{x|－66}
C．{x|0解析：选B　由补集的定义，得?UA＝{x|－66}．
6．已知全集I，集合A＝{1,3,5,7}，?IA＝{2,4,6}，?IB＝{1,4,6}，求集合B.
解：法一：A＝{1,3,5,7}，?IA＝{2,4,6}，
∴I＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又?IB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
法二：借助Venn图，如图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．
1．下列关系中正确的个数为(　　)
①0∈{0}；②??{0}；③{(0,1)}?{(0,1)}；④{(a，b)}＝{(b，a)}．
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C　①、②、③均正确；④不正确．(a，b)与(b，a)是不同的元素．
2．某集合A＝{x|1A．[2，＋∞) B．(－∞，1]
C．[1，＋∞) D．(－∞，2]
解析：选A　∵A?B.结合数轴可知a≥2.
3．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为(　　)
A．4 B．7
C．8 D．16
解析：选B　可知A＝{0,1,2}，其真子集为：?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．共有23－1＝7(个)．
4．已知全集I＝{x|－3答案：{x|－3{x|0≤x≤3}
5．若非空集合M同时满足①{1,2,3,4,5}?M，②a∈M，且6－a∈M，则M共有________个．
解析：当a＝1时，6－a＝5；a＝2时，6－a＝4；a＝3时，6－a＝3；当a＝4时，6－a＝2；a＝5时，6－a＝1；由条件可知，M可以是{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2，4,5}，{1,2,3,4,5}共7个．
答案：7
6．已知集合A＝{1,3,2m－1}，B＝{3，m2}，若B?A，求实数m的值．
解：∵B?A，∴m2＝1或m2＝2m－1.当m2＝1时，m＝±1，其中m＝1时，A＝{1,3,1}，违背集合元素的互异性．其中m＝－1时，A＝{1,3，－3}，B＝{3,1}，符合题意．当m2＝2m－1时，m＝1，这时A＝{1,3,1}，舍去．故m的值是－1.
你知道∈与?，a与{a}，{0}与?的区别吗？
∈与?的区别：∈表示元素与集合之间的关系，因此，有∈Q，?Q等；?表示集合与集合之间的关系，因此，有Q?R，??R等．
a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集)，a是集合{a}的一个元素．因此，有2∈{2}，不能写成2＝{2}．
{0}与?的区别：{0}是含有一个元素的集合．?是不含任何元素的集合．因此，有??{0}，不能写成?＝{0}，?∈{0}．
一、选择题
1．若集合M＝{0,1}，I＝{0,1,2,3,4,5}，则?IM＝(　　)
A．{0,1}　　　　　　　 B．{2,3,4,5}
C．{0,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
解析：选B　由补集的定义可知?IM＝{2,3,4,5}．
2．已知{1,2}?M?{1,2,3,4}，则符合条件的集合M的个数是(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
解析：选A　符合条件的集合M有{1,2}，{1,2,3}，{1,2，4}共3个．
3．集合A＝，B＝{(x，y)|y＝x－2}，则集合A、B的关系是(　　)
A．B?A B．A?B
C．A＝B D．以上均不对
解析：选B　集合A的元素是函数y＝＝x－2(x≠－2)图象上的点，即集合A是由一条直线：y＝x－2上去掉了点(－2，－4)后剩余的所有点构成的集合，而集合B是由直线y＝x－2上所有的点构成的．故A?B.
4．集合M＝{1,2，a，a2－3a－1}，N＝{－1,3}，若3∈M且NM，则a的取值为(　　)
A．－1 B．4
C．－1或－4 D．－4或1
解析：选B　(1)若a＝3，则a2－3a－1＝－1，
即M＝{1,2,3，－1}，显然N?M，不合题意．
(2)若a2－3a－1＝3，
即a＝4或a＝－1(舍去)，
当a＝4时，M＝{1,2,4,3}，满足要求．
二、填空题
5．已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：∵??{x|x2－x＋a＝0}．
∴{x|x2－x＋a＝0}≠?，
即x2－x＋a＝0有实根．
∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤.
答案：a≤
6．设I＝{x|x是小于9的正整数}，?IA＝{4,5,6,7,8}，?IB＝{1,2,7,8}，则A＝________，B＝________.
解析：I＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，
∵?IA＝{4,5,6,7,8}，
∴A＝{1,2,3}，又?IB＝{1,2,7,8}，
∴B＝{3,4,5,6}．
答案：{1,2,3}　{3,4,5,6}
三、解答题
7．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，试求a，b的值．
解：由A＝B，有或.
解方程组得或或.
由集合元素的互异性，知a≠1.
∴a＝－1，b＝0.
8．设集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|－2＜x＜3}，
(1)若A?B，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a使B?A?
解：(1)借助数轴可得，a应满足的条件为
或解得0≤a≤1.
(2)同理可得a应满足的条件为
得a无解，所以不存在实数a使B?A.