2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.1 1．1.3　第二课时　集合与推理

1．1.3　集合的交与并
第二课时　集合与推理
集合与推理
今天下雨了，而小明没带伞，可以推知小明可能淋雨了．若我们把它改写成命题的形式就是：今天下雨了，若小明没带伞，则小明可能淋雨了．可见如果该命题为真，那么命题的条件可以推出命题的结论是真的，这种命题的条件和结论之间具备某种关系，这是什么关系呢？
1．充分条件与必要条件
甲?乙，称甲是乙的充分条件，也称乙是甲的必要条件．
2．当A包含于B时，则A中元素所满足的条件?B中元素所满足的条件．
3．充要条件
如果既有甲?乙，又有乙?甲，就说甲是乙的充分必要条件，简称充要条件，这时乙也是甲的充要条件．
设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[提示]　由于N?M，所以由a∈N?a∈M，但反之不成立，因此，“a∈M”是“a∈N”必要而不充分条件，选B.
充分条件与必要条件的判断
[例1]　给出下列四组命题：
(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；
(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；
(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．
试分别指出p是q的什么条件．
[思路点拨]　判定p是q的什么条件，关键看p能否推出q，q能否推出p.
[解]　(1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0，
而(x－2)(x－3)＝0x－2＝0，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵两个三角形相似两个三角形全等，
但两个三角形全等?两个三角形相似．
∴p是q的必要不充分条件．
(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0无实根；
方程x2－x－m＝0无实根 m<－2.
∴p是q的充分不必要条件．
(4)∵矩形的对角线相等，∴p?q；
而对角线相等的四边形不一定是矩形，
∴q p，∴p是q的充分不必要条件.
借题发挥
1.在判断p是q的什么条件时，首先要分清什么是p，什么是q，再分清是p?q还是q?p，然后作出判断．
2.若p?q且qp，则p是q的充分不必要条件；
若pq且q?p，则p是q的必要不充分条件；
若p?q且q?p，则p是q的充分条件也是必要条件；
若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.
　　
1．用“充分条件”“必要条件”或“充要条件”填空：
(1)x为自然数是x为整数的________；
(2)x＝3是x2－2x－3＝0的________；
(3)x2－4＝0是x＋2＝0的________．
答案：(1)充分条件　(2)充分条件　(3)必要条件
充要条件的判断
[例2]　已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
[思路点拨]　可将已知r，p，q，s的关系用图示表示，然后利用图示解答问题．
[解]　
由图示可知：(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件．
(3)因为q?s?r?p，所以p是q的必要不充分条件.
借题发挥
解决条件的传递性问题关键是画出结构图，然后利用定义进行判断.
　　
2．已知p：a＋b＋c＝0，q：x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，判断p是q的什么条件．
解：由a＋b＋c＝0?x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
∵x＝1，∴a＋b＋c＝0，
∴p是q的充要条件．
1．对任意实数a，b，c，下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件；②“a＋1是无理数”是“a是无理数”的必要条件；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件．
其中真命题的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．2
C．3 D．0
解析：选C　①中“a＝b”时“ac＝bc”成立，正确，②“a是无理数”时“a＋1”是无理数，正确，③“a＜3”时“a＜5”正确，故①②③正确．
2．a2＋(b－1)2＝0是a(b－1)＝0的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　a2＋(b－1)2＝0?a＝0且b－1＝0?a(b－1)＝0，
但a(b－1)＝0?a＝0或b－1＝0，
∴a2＋(b－1)2不一定为0.
3．x＞3的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＞0 B．x＜0
C．x＞5 D．x＜5
解析：选C　x＞5?x＞3，x＞3 x＞5.
4．“x1＞0且x2＞0”是“x1＋x2＞0且x1x2＞0”的________条件．
解析：∵x1＞0且x2＞0?x1＋x2＞0且x1x2＞0；
x1＋x2＞0且x1x2＞0?x1＞0且x2＞0.
∴x1＞0且x2＞0?x1＋x2＞0且x1x2＞0.
答案：充要
5．“a和b都是偶数”是“a＋b是偶数”的________条件．
解析：a和b都是偶数?a＋b是偶数；
a＋b是偶数 a和b都是偶数．
答案：充分不必要
已知p：{x|x<－2，或x>10}，q：{x|x<1－m，或x>1＋m，m>0}，若p是q的充分不必要条件，如何求实数m的取值范围？
解决该问题，要正确理解充分条件、必要条件和充要条件．
(1)从概念的角度去理解．
①若p?q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若p?q，且q ?/ p，则称p是q的充分不必要条件．
③若p ?/ q，且q?p，则称p是q的必要不充分条件．
④若p ?/ q，且q ?/ p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
⑤若p?q，则称p是q的充要条件．
(2)从集合的角度去理解．
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，
即A＝{x|p(x)}, B＝{x|q(x)}，则
①若A?B，则p是q的充分条件．
②若B?A，则p是q的必要条件．
③若A?B且BA，即A?B，则p是q的充分不必要条件．
④若B?A且AB，即B?A，则p是q的必要不充分条件．
⑤若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．
⑥若A＝B，则p是q的充要条件．
噢！我明白了．p是q的充分不必要条件，即p所对应的集合是q所对应集合的真子集．因此版主所提的问题可作如下解释：
解：p对应集合A＝{x|x＜－2，或x＞10}，
q对应集合B＝{x|x＜1－m，或x＞1＋m，m＞0}．
∵p是q的充分不必要条件，
∴p?q但q ?/ p?A?B.
即{x|x＜－2，或x＞10}?{x|x＜1－m，或x＞1＋m，m＞0}．
∴解得0＜m≤3.
∴实数m的取值范围是(0,3]．
一、选择题
1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　x＝1?x3＝x；但是由x3＝x得到x＝0或x＝1或x＝－1，所以“x＝1”是“x3＝x”的充分而不必要条件．
2．设M，N是两个集合，则“M∪N≠?”是“M∩N≠?”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B　M∩N≠??M∪N≠?，但是，反之不成立．
3．设集合A，B是全集I的两个子集，则A?B是(?IA)∪B＝I的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选A　由A?B?(?IA)∪B＝I，但是，反之不成立．
4．a，b，c∈R，b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立必有b2－4ac＜0，反之却不一定．
二、填空题
5．从“?”、“ ?/ ”和“?”中选择适当的符号填空：
(1)x2＞1________x＞1；
(2)x2＝x＋2________|x|＝.
解析：(1)命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题，故x2＞1 ?/ x＞1.
(2)命题“若x2＝x＋2，则|x|＝”和“若|x|＝，
则x2＝x＋2”都是真命题，故x2＝x＋2?|x|＝.
答案：(1 ?/ ；(2)?
6．(1)k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的________条件；
(2)“x∈{1,2}”是“＝0”的________条件．
解析：(1)由k>4，b<5可得一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，反之亦成立．
(2)x∈{1,2} ?/ ＝0，但＝0?x∈{1,2}．
答案：(1)充要　(2)必要不充分
三、解答题
7．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)?
(1)p：数a能被6整除；q：数a能被3整除；
(2)p：x>1；q：x2>1；
(3)p：△ABC有两个角相等；q：△ABC是正三角形；
(4)p：|a·b|＝a·b；q：a·b>0.
解：(1)∵p?q，且q ? / p，
∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p?q，且q ? / p，
∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p ? / q，且q?p，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵a·b＝0时，|a·b|＝a·b，
∴|a·b|＝a·b ?/ a·b>0，
而当a·b>0时，有|a·b|＝a·b，
∴p是q的必要不充分条件．
8．如图所示的电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？
解：(1)中，闭合开关A或闭合开关C，都可使灯泡B亮．反之，若要灯泡B亮，不一定非要闭合开关A.因此闭合开关A是灯泡B亮的充分但不必要条件；
(2)中，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，若要灯泡B亮，开关A必须闭合，说明闭合开关A是灯泡B亮的必要但不充分条件；
(3)中，闭合开关A可使灯泡B亮，而灯泡B亮，开关A一定是闭合的，因此，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；
(4)中，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮．反之，灯泡B亮也不必闭合开关A，只要闭合开关C即可，说明闭合开关A是灯泡B亮的既不充分也不必要条件．