2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.1 1．1.3　第一课时 集合的交与并

1．1.3　集合的交与并
第一课时　集合的交与并
两个集合的交
分别用Venn图或数轴表示下列各组中的3个集合：
(1)A＝{－1,1,2,3}，B＝{－2，－1,1}，C＝{－1,1}；
(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0(3)A＝{x|x为高一(1)班语文测验优秀者}，B＝{x|x为高一(1)班英语测验优秀者}，C＝{x|x为高一(1)班语文、英语两门测验都优秀者}．
上述每组集合中，A，B，C之间均具有怎样的关系？
交集的定义
自然语言
把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A，B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．
符号语言
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．
图形语言
A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝?可能成立吗？
[提示]　当A?B时，A∩B＝A成立．
当A与B没有任何公共元素时，A∩B＝?.
两个集合的并
实数可进行加法运算，类比实数的加法运算，集合能否也可以“相加”呢？首先请同学们考察下列两组集合，你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
第1组：
(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,3,6}，C＝{1,2,3,5,6}
(2)A＝{x|x是高一(1)班的男生}，B＝{x|x是高一(1)班的女生}，C＝{x|x是高一(1)班的学生}．
第2组：
(3)A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6}，C＝{1,3,5,6}
(4)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．
1．并集的定义
自然语言
把集合A、B中的元素放在一起组成的集合，叫做A和B的并集，简称为并，记作A∪B(读作“A并B”)．
符号语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ．
图形语言
2．交集和并集的性质
A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A，
A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
并集与交集的运算
[例1]　(1)设集合A＝，B＝{x|x2≤1}，则A∪B＝(　　)
A．{x|－1≤x<2}　　　　 B.
C．{x|x<2} D．{x|1≤x<2}
(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B．4
C．3 D．2
[思路点拨]　(1)可先化简集合B，再借助数轴直观求解；(2)分析集合A中元素的特点，然后找出集合B中满足集合A中条件的元素个数即可．
[解析]　(1)B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}．
结合数轴可知，A∪B＝{x|－1≤x<2}．
(2)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.
[答案]　(1)A　(2)D
借
题
发
挥
此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示.
　　
1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝，B＝{x|3－2x＞0}，则(　　)
A．A∩B＝　　　　 B．A∩B＝?
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
解析：选A　因为A＝{x|x＜2}，B＝＝，
所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．故选A.
2．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝________，M∩N＝________.
解析：
借助数轴可知：
M∪N＝{x|x>－5}，
M∩N＝{x|－3答案：{x|x>－5}　{x|－3集合的交、并、补的综合运算
[例2]　设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集I＝A∪B，则集合?I(A∩B)中的元素共有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
[思路点拨]　可先求得A∪B，A∩B，再利用补集的定义求解．
[解析]　法一：I＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}
A∩B＝{4,7,9}．
∴?I(A∩B)＝{3,5,8}．共3个元素．
法二：由法一知，I＝{3,4,5,7,8,9}．
∴?IA＝{3,8}，?IB＝{5}，
∴?I(A∩B)＝(?IA)∪(?IB)＝{3,5,8}．
[答案]　A
借
题
发
挥
(1)进行补集运算时，首先应确定全集，在全集内才能求得补集；
(2)熟悉补集与交集、并集的运算性质，可使相关题目的解答简单快捷．如：
?I(A∩B)＝(?IA)∪(?IB)
?I(A∪B)＝(?IA)∩(?IB).
　　
3．已知I＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(?IA)∩B＝{2}，(?IB)∩A＝{4}，求A∪B.
解：由(?IA)∩B＝{2}，∴2∈B且2?A.
由A∩(?IB)＝{4}，
∴4∈A且4?B.
分别代入得，
∴p＝－7，q＝6，
∴A＝{3,4}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{2,3,4}．
1．下列四个推理：①a∈(A∪B)?a∈A；②a∈(A∩B)?a∈(A∪B)；③A?B?A∪B＝B；④A∪B＝A?A∩B＝B.其中正确的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C　②、③、④正确．
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选B　因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
3．设I＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(?IB)＝(　　)
A．{x|0≤x<1} B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
解析：选B　?IB＝{x|x≤1}，∴A∩(?IB)＝{x|04．集合A＝{x|x<－3或x>3}，B＝{x|x<1或x>4}，则A∩B＝________，A∪B＝________.
答案：{x|x<－3或x>4}　{x|x<1或x>3}
5．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：因为A∪B＝R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以有a≤1.
答案：(－∞，1]
6．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|2(1)求A∪B；(2)求(?RA)∩B；
(3)若A∩C＝A，求a的取值范围．
解：
(1)借助数轴可知：
A∪B＝{x|2(2)?RA＝{x|x<3或x>7}．
∴借助数轴可知，
(?RA)∩B＝{x|2(3)∵A∩C＝A，
∴A?C，结合数轴可知a>7.
在集合的运算中，重视并掌握数学的一些思想方法和解答策略是非常重要的，可以起到化难为易，简单快捷的作用．你能否归纳出在集合的运算中有哪些常用的数学思想方法和策略？它们的使用特点是什么？
集合运算中常用的是数形结合的思想，主要是把满足条件的集合借助数轴，或Venn图，或平面直角坐标系的图形表示出来，从而求集合的交集，并集和补集，既简单又直观，实现了集合语言向图形语言的转化．
补集的思想也是常用的解答策略，当某一问题从正面解决较困难时，可以从其反面入手解决，这种“正难则反”策略运用的正是补集的思想，如已知全集I，求子集A，若直接求A较困难，可先求?IA，再由?I(?IA)＝A，求得A.
其实，补集的思想就是数学中转化化归的思想，尤其在涉及到交集与并集的运算性质的应用时，通常使用等价转化的思想解决，如A∪B＝A?B?A，可把问题转化为两集合的包含关系，从而可求得题目中的参数范围，但应注意一定要考虑B＝?和B≠?两种情况．
一、选择题
1．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C之间的关系必有(　　)
A．A?C　　　　　　　　 B．C?A
C．A＝C D．以上都不对
解析：选A　A∩B＝A?A?B，B∪C＝C?B?C，
∴A?C.
2．(2017·天津高考)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A．{2} B．{1,2,4}
C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B　A∪B＝{1,2,4,6}，又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝{1,2,4}．
3．A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：选D　∵A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0,1,2,4,16}，则得a＝4.
4．已知全集I＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有(　　)
A．3个 B．2个
C．1个 D．无穷多个
解析：选B　由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3，
则M∩N＝{1,3}，有2个．
二、填空题
5．若I＝{n|n是不大于9的正整数}，A＝{n∈I|n是奇数}，B＝{n∈I|n是3的倍数}，则?I(A∪B)＝________.
解析：I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∴A＝{1,3,5,7,9}．B＝{3,6,9}．
∴A∪B＝{1,3,5,6,7,9}．
∴?I(A∪B)＝{2,4,8}．
答案：{2,4,8}
6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：既喜爱篮球运动又喜欢乒乓球运动的有x人，则只喜欢篮球运动而不喜欢乒乓球运动的有(15－x)人，只喜欢乒乓球运动而不喜欢篮球运动的有(10－x)人，依题意得：(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30.解得：15－x＝12(人)．
答案：12
三、解答题
7．已知全集I＝{x|－3≤x≤3}，M＝{x|－1解：将全集I，及集合?IN，M分别表示在数轴上，如图．
N＝{x|－3≤x≤0或2≤x≤3}，
M∩(?IN)＝{x|0M∪N＝{x|－3≤x<1或2≤x≤3}．
8．已知集合A＝{x|－3解：∵A∪B＝A，∴B?A，
①当B＝?时，k＋1>2k－1，∴k<2.
②当B≠?，则根据题意如图所示：
根据数轴可得解得2≤k≤.
综合①②可得k的取值范围为.