2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1．2.1　第二课时　函数的概念

1．2函数的概念和性质
1．2.1　对应、映射和函数
第二课时　函数的概念
函数的概念
在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：
(1)某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)随时间的变化如下表：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
7
9
10
12
你能根据这个表说出这个地区城乡居民人民币储蓄存款的规律吗？
(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？
(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图．
①上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
②在什么时刻，气温为0℃？
③在什么时段内，气温在0℃以上？
如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？
1．函数的定义
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，这样的对应f叫作定义于A取值于B的函数，记作f：A→B或者y＝f(x)(x∈A，y∈B)．
2．函数的定义域、值域
在函数的定义中，集合A叫作函数的定义域，与x∈A对应的数y叫x的像，记作y＝f(x)，由所有x∈A的像组成的集合叫作函数的值域．
3．函数的三要素为定义域，对应法则，值域．
举出几个有关函数的例子，并用定义加以描述，指出函数的定义域和值域．
[提示]　(1)下表记录了几个不同气压下水的沸点.
气压/(105 Pa)
0.5
1.0
2.0
5.0
10
沸点/(℃)
81
100
121
152
179
这张表给出了沸点与气压之间的函数关系，定义域是{0.5,1.0,2.0,5.0,10}，值域是{81,100,121,152,179}．
(2)如图是匀速直线运动路程s随时间变化的函数关系图，它的定义域是{t|t≥0}，值域是{s|s≥0}．
函数概念的理解
[例1]　下列对应关系是否为A到B的函数．
(1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
(3)A＝R，B＝Z，f：x→y＝；
(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
[思路点拨]　可根据函数的定义直接判断．
[解]　(1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；
(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数；
(3)A中元素负数没有平方根，故在B中没有对应的元素且不一定为整数，故此对应关系不是A到B的函数；
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数.
借
题
发
挥
1.判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2.根据图形判断对应是否为函数的方法
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
　　
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是(　　)
解析：选D　A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
2．下列对应或关系式中是A到B的函数的是(　　)
A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1
B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，
对应关系如图：
C．A＝R，B＝R，f：x→y＝
D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
解析：选B　A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数.
“f”的含义及函数值问题
[例2]　已知f(x)＝(x≠－1)．求：
(1)f(0)及f 的值；
(2)f(1－x)及f(f(x))．
[思路点拨]　将f(x)中的x分别赋值或式子，代入中化简即得．
[解]　(1)f(0)＝＝1，f ＝＝，
∴f ＝f ＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)．
f(f(x))＝f ＝＝x(x≠－1).
借题发挥
(1)在函数y＝f(x)中，x为自变量，f为对应关系，f(x)是按“f”与x对应的函数值，所以求函数值时，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即可；
(2)求f(f(x))时，一般应遵循由里到外的原则.
　　
3．已知函数f(x)＝x2－2x，求：
(1)f(－2)；
(2)f(x≠0)；
(3)若f(x)＝3，求x的值．
解：(1)f(－2)＝(－2)2－2·(－2)＝8.
(2)f＝2－2
＝
＝＝－1(x≠0)．
(3)若f(x)＝3，则x2－2x＝3，x＝－1或x＝3.
1．若f(x)＝的定义域为M，g(x)＝|x|的定义域为N，令全集U＝R，则M∩N＝(　　)
A．M　　　　　　　　　　 B．N
C．?RM D．?RN
解析：选A　M＝{x|x>0}，N＝R，∴M∩N＝M.
2．下列图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　)
解析：选B　根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不正确．
3．下列各对函数中，图象完全相同的是(　　)
A．y＝x与y＝()3 B．y＝()2与y＝|x|
C．y＝与y＝x0 D．y＝与y＝
解析：选C　若函数的图象相同，则是相同的函数．
对于A，y＝()3＝|x|，所以对应关系不同；对于B，y＝()2＝x(x≥0)，所以两函数定义域与对应关系均不同；对于C，y＝＝1(x≠0)，而y＝x0＝1(x≠0)，定义域与对应关系均相同，是相同的函数；对于D，y＝＝＝，其中x2≠1，即x≠±1，
而y＝中x≠1，定义域不同，不是相同函数．
4．已知f(x)＝，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝________，f[g(2)]＝________.
解析：f(2)＝＝，g(2)＝22＋2＝6，
∴f[g(2)]＝f(6)＝＝.
答案：　
5．已知函数f(x)＝x2－x，若f()＝2，则a的值是________．
解析：f()＝()2－＝2.即(－2)(＋1)＝0，a＝4.
答案：4
通过这节课的学习，你对函数符号“y＝f(x)”有了哪些新的认识？
对应关系f是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系所施加的对象；f是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y＝f(x)仅仅是函数符号，不能理解为“y等于f与x的乘积”．
f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，表示的是变量．
虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但是，由于f施加的对象不同(一个为x，而另一个为x－1)，因此两个函数的解析式是不同的．
一、选择题
1．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出如下四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　)
解析：选D　由函数的定义可以判断只有D正确．
2．函数f(x)定义在区间[－2,3]上，则y＝f(x)的图象与直线x＝2的交点个数为(　　)
A．0　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．不确定
解析：选B　∵2∈[－2,3]，由函数的定义可知，y＝f(x)的图象与x＝2只能有一个交点．
3．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　　)
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝
解析：选C　对选项C，当x＝4时，y＝>2不合题意，故选C.
4．下列说法错误的是(　　)
A．函数定义域中的任一元素在其值域中都有它的对应
B．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集
C．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了
D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
答案：B
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(1)＝________.
解析：∵f(x)＝x2＋|x－2|，
∴f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2.
答案：2
6．若f(2x)＝x3，则f(1)＝________.
解析：令2x＝1，则x＝，∴f(1)＝()3＝.
答案：
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x2＋x－1，求：
(1)f(2)；
(2)f；
(3)若f(x)＝5，求x的值．
解：(1)f(2)＝4＋2－1＝5.
(2)f＝2＋－1
＝＋＋1.
(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.
由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3.
8．已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f ，f(3)＋f 的值；
(2)求证：f(x)＋f 是定值；
(3)求f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 019)＋f 的值．
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f ＝＋＝1，
f(3)＋f ＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f ＝＋
＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，
∴f(2)＋f ＝1，f(3)＋f ＝1，
f(4)＋f ＝1，…，f(2 019)＋f ＝1.
∴f(2)＋f ＋f(3)＋f ＋…＋f(2 019)＋f ＝2 018.