2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1．2.1　第一课时 映射

1．2函数的概念和性质
1．2.1　对应、映射和函数
第一课时　映　射
映射的概念
请思考并分析下面给出的对应关系，它们有什么共同特点？
(1)集合A＝{全班同学}，集合B＝{全班同学的姓}，对应关系是：集合A中的每一个同学在集合B中都有一个属于自己的姓．
(2)设集合A＝{0，－3,2,3，－1，－2,1}，集合B＝{9,0,4,1,5}，对应关系是：集合A中的每一个数，在集合B中都有其对应的平方数(如图所示)．
1．映射的定义
设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合A到集合B的映射，记作f：A→B.
2．像与原像
在映射f：A→B中，集合A叫做映射的定义域，与A中元素x对应的B中的元素y叫x的像，记作y＝f(x)，x叫作y的原像．
已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是(　　)
[提示]　A、B、D都是映射，对于C，元素a对应两个元素0,1.不满足唯一性，不是映射．故选C.
映射的概念及应用
[例1]　下列给出的对应，哪些是从A到B的映射：
(1)A＝N，B＝N＋，f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，f：x→y＝x；
(3)A＝{x||x|≥3，x∈N}，B＝{a|a≥0，a∈Z}，
f：x→a＝x2－2x＋4.
[思路点拨]　首先明确对应关系，然后从映射的定义出发，考查A中任意一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应．
[解]　(1)集合A＝N中元素1在对应关系f：x→|x－1|下为0，而0?N＋，即A中元素1在对应关系f下，B中没有元素与之对应，故不是映射．
(2)A中元素6在对应关系f：x→y＝x下为3.而3?B，故不是映射．
(3)对A＝{x||x|≥3，x∈N}中的任意元素，总有整数x2－2x＋4＝(x－1)2＋3∈B与之对应．故是从A到B的映射.
借
题
发
挥
理解映射这个概念，应注意以下几点：
(1)集合A到B的映射，A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；
(2)对应关系有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
(3)与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集.
　　
1．已知A＝{1,2,3，…，9}，B＝R，从集合A到集合B的映射f：x→.
(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？
(2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？
解：(1)A中元素1，即x＝1，代入对应关系得＝＝，即与A中元素1相对应的B中的元素是.
(2)B中元素，即＝，解得x＝4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.
像与原像
[例2]　设f：A→B是从A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)，那么A中元素(－1,2)的像是________，B中元素(－1,2)的原像是________．
[思路点拨]　首先要理解映射、像、原像的概念，然后从像与原像的概念出发进行思考．
[解]　当x＝－1，y＝2时，有x－y＝－3，x＋y＝1，
因此(－1,2)的像是(－3,1)，
解方程组得
∴(－1,2)的原像是.
借题发挥
解决映射一类问题时要注意回到定义去，需要深刻理解概念，已知像求原像时，要借助方程思想，通过建立和解方程组求解.
　　
2．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6,2)在此映射下与集合A中的元素(3,1)对应，求k与b的值．
解：当时，?故k＝2，b＝1.
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应法则中，其中A到B的映射是(　　)
A．(1)(2)　　　　　　 B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(2)(4)
解析：选A　∵(1)(2)中，A中任意一个元素在B中都有唯一一个元素与之对应，∴(1)(2)是映射．
而(3)集合A中元素4没有元素与之对应，(4)中元素3在B中有两个元素与之对应．
2．设集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,9,25,49,81,100}，下面的对应关系f能构成A到B的映射的是(　　)
A．f：x→(2x＋1)2 B．f：x→(2x－3)2
C．f：x→－2x－1 D．f：x→(2x＋1)3
解析：选B　∵A选项中A中元素5→(2×5＋1)2＝112?B，
C选项中A中元素1→－2×1－1＝－3?B，
D选项中A中元素1→(2×1＋1)3＝27?B，
∴B选项正确．
3．给定映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，在映射f下(3,1)的原像为(　　)
A．(1,3) B．(1,1)
C．(3,1) D.
解析：选B　依题意得：∴
4．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则A到B的一一映射有________个．
解析：A→B的映射有2个，如图．
答案：2
5．已知映射f：A→B，其中A＝{－2，－1,1,2,3}，集合B中的元素都是A中元素在f下的像，且对任意a∈A，f(a)＝，则集合B中的元素有________个，若1∈B，则1的原像是________．
解析：依题意有：－2→＝－1，－1→＝－1，1→＝1,2→＝1,3→＝1，∴B中的元素有2个，若1∈B，则1的原像有3个，且是1,2,3.
答案：2　1,2,3
6．已知集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→，试问集合A中的元素最多有几个？写出元素最多时的集合A.
解：∵f：x→是集合A到集合B的映射，
∴A中每一个元素在集合B中都应该有像．
令＝0，该方程无解，所以0没有原像．
分别令＝1,2,3.解得x＝±2，±，±.
故集合A中的元素最多有6个
即A＝.
通过对映射的学习，你觉得映射有哪些特性？
映射是一种特殊的对应，它满足“存在性(即集合A中的每一个元素在集合B中都有对应元素)”和“唯一性(集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一元素与之对应)”；但集合B中的元素未必有原象，即使有也未必唯一．映射中的两个集合A，B可以是数集、点集或由图形组成的集合等．
封闭性：A中元素的对应元素必在集合B中，如集合A＝{1,2,3,4}，B＝{1,2,3,4,5}，对应法则f：x→x－1，这组对应不是映射．
有序性：“A到B”的映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射一般不是同一个映射．
整体性：映射不是只有集合A或者集合B，而是集合A、B以及对应法则f的整体，是一个系统，记作f：A→B.有时，当映射为f：A→B时，集合A中的元素a对应集合B中的元素b，也可表示为f：a→b＝f(a)或者直接写成b＝f(a)．
一、选择题
1．已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中元素映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中都有和它对应的元素|a|，则集合B中的元素的个数有(　　)
A．4　　　　　　　　 B．5
C．6 D．7
解析：选A　由对应法则可知，B中的元素有1、2、3、4，∴B中的元素有4个．
2．已知集合A＝N＋，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a和B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A的元素为(　　)
A．3 B．5
C．17 D．9
解析：选D　由对应法则有：17＝2a－1，∴a＝9.
3．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：
①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；
③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；
④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中是映射的有________，是函数的有________，是一一映射的有________．(　　)
A．3个，2个，1个 B．3个，3个，2个
C．4个，2个，2个 D．2个，2个，1个
解析：选C　由映射、函数、一一映射的定义可知：①②③④是映射，②③是函数，②④是一一映射．
4．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B可能是(　　)
A．? B．?或{1}
C．{1} D．?或{2}
解析：选B　依题设知：A可能为：{1，}，{1，－}，{－1，}，{－1，－}，{1，，－1}，{1，－1，－}，{1，，－}，{－1，，－}，{－1,1，，－}，{1}，{－1}，{}，{－}．
∴A∩B可能为?，可能为{1}．
二、填空题
5．已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原像分别为3和10，则5在f下的像是________．
解析：由题知∴
∴f：x→y＝x－2，则5－2＝3.
答案：3
6．已知映射f：A→B，其中A＝R＝B，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原像，则k的取值范围是________．
解析：∵y＝－x2＋2x＝－x2＋2x－1＋1＝－(x－1)2＋1，
∴y≤1.则B＝(－∞，1]，
∵k∈R，且在集合A中不存在原像，∴k>1.
答案：k>1
三、解答题
7．设A＝{(x，y)|x＋y<3，且|x|<2，x∈Z，y∈N＋}，B＝{0,1,2}，f：(x，y)→x＋y，判断f是否为A到B的映射．
解：列举法写出集合A.
A＝{(0,1)，(0,2)，(1,1)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)}，
B＝{0,1,2}，f为A到B的映射．
8．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x＋y－1，x－2y＋1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由；
(2)判断这个映射是不是一一映射？
解：(1)以自己为像的元素(a，b)满足方程组
解得
∴存在元素使它的像仍是自己．
(2)设B中的元素(a，b)在A中原像是(x，y)，
则解得
说明方程组有唯一解．
即(a，b)在A中的原像唯一．
所以该映射是一一映射．