2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1．2.2　表示函数的方法

1．2.2　表示函数的方法
函数的表示法
1．在初中我们就已经学过函数的三种表示方法，你能说出是哪三种方法吗？下表给出了y与x的关系，是函数关系吗？若是，使用的是哪种表示方法？
x
1921
1927
1949
19491997
1999
2010
y
1
2
3
4
5
6
7
2.右图表示买某种笔记本x本与所花费的钱数y之间的对应关系，假设这种笔记本的单价一定，你能计算出买60本这样的笔记本需要多少元吗？
你能写出y与x的函数关系式吗？
3．通过以上实例，你能描述出函数的这三种表示法的特点吗？并且能说出它们的优劣吗？
函数的表示法
表示法
定义
解析法
用解析式来表示函数的方法
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法
图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法
1．同一函数是否可以同时用以上三种方法表示？
[提示]　不一定，如函数y＝x＋1，x∈R，不可能用列表法来表示．
2．某教师每周的课时数列表如下：
X(星期)
1
2
3
4
5
Y(节次)
2
4
5
3
1
在这个函数中，定义域为________；值域为________．
[提示]　定义域是{1,2,3,4,5}，值域为{2,4,5,3,1}．
函数的表示法
[例1]　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[解]　(1)列表法：
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
y/元
18 000
21 000
24 000
27 000
30 000
(2)图象法：
(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}.
借
题
发
挥
理解函数的表示法3个关注点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.
　　
1．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
　　
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________；
当g(f(x))＝2时，x＝________.
解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，
∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.
答案：1　1
函数解析式的求法
[例2]　求下列函数的解析式：
(1)f(－1)＝x＋2，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)．
[思路点拨]　(1)令t＝－1→得x＝(t＋1)2→代入已知条件→得f(x)．
(2)设f(x)解析式→代入已知条件→比较系数→得f(x)．
[解]　(1)令t＝－1，则＝t＋1，
∴x＝(t＋1)2，
∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3，
又t＋1＝≥0，∴t≥－1，
故所求解析式为f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，
∴解得或
故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.
借
题
发
挥
求函数解析式的4种常用求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f 或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
　　
2．求下列函数的解析式：
(1)已知f ＝x2＋＋1，求f(x)．
(2)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．
(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)解析式．
解：(1)f ＝2＋2＋1＝2＋3.
∴f(x)＝x2＋3.
(2)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①
∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②
∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝x2－2x.
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
∴2ax＋(a＋b)＝2x，
∴∴∴f(x)＝x2－x＋1.
函数的图象的作法及应用
[例3]　作出下列各函数的图象：
(1)y＝1－x，x∈Z；
(2)y＝2x2－4x－3,0≤x＜3；
(3)y＝|x－1|.
[思路点拨]　根据定义域，结合解析式的特征描点作图．
[解]　(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，
∵x∈Z，从而y∈Z，这些点称为整点(如图(1))．
(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一部分(如图(2))．
(3)所给函数可写成分段函数y＝是端点为(1,0)的两条射线(称为“羊角”)，如图(3)．
借题发挥
(1)图象法是表示函数的方法之一，其优点是能直观、形象地表示出函数的变化情况，便于数形结合求解问题．
(2)一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表画出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等.
　　
3．已知函数f(x)的图象关于y轴对称，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)画出函数f(x)的图象．
(2)依据函数f(x)的图象比较f(－3)与f(4)的大小．
(3)当x1解：
(1)f(x)的图象如图所示。
(2)观察函数图象易知
f(－3)＝f(3)即f(－3)(3)观察函数图象易知在区间(－∞，－1)上，x越大，f(x)越小，∴当x1f(x2)．
1．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝－　　　　　 B．f(x)＝
C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x
解析：选B　设f(x)＝，由f(－3)＝－1，得＝－1，∴k＝3，
∴f(x)＝.
2．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f 等于(　　)
A．1　　　B．3　　　　　C．15　　　　D．30
解析：选C　法一：令t＝1－2x，则x＝，
∴f(t)＝2－1＝2－1，
∴f ＝2－1＝15.
法二：令1－2x＝，则x＝.∴f ＝ 2－1＝42－1＝15.
3．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为(　　)
A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3
解析：选B　设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
由2f(2)－3f(1)＝5得：
2(2a＋b)－3(a＋b)＝5，即a－b＝5①
由2f(0)－f(－1)＝1得：
2b－(－a＋b)＝1，即：a＋b＝1②
①、②联立得：a＝3，b＝－2.∴f(x)＝3x－2.
4．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为________．
解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.
答案：2
5．植物园要建形状为直角梯形的苗圃，两邻边借用夹角为135°的两面墙，另两边总长为30米，设垂直于底边的腰长为x米，则苗圃面积S关于x的函数解析式为________．
解析：如图，设垂直于底边的腰长为x(0＜x＜30)，则另一腰为x，下底为30－x－x＝30－2x.∴S＝[(30－x)＋(30－2x)]×x＝－x2＋30x.
答案：S＝－x2＋30x(0＜x＜30)
6．符号[x]表示不超过x的最大整数，试写出f(x)＝2[x]＋1的函数解析式，并作出函数的图象(－2≤x＜2)．
解：由题意知：f(x)＝.
其图象如图：
函数的三种表示法各有哪些优点和缺点？
解析法的优点是：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式研究函数的性质．
缺点是：不够形象、直观．
图象法的优点是：能够形象直观的表示出函数的变化情况．
缺点是：不能准确求出自变量取所有值时所对应的函数值．
列表法的优点是：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值．
缺点是：只能表示取较少的值的对应关系．
一、选择题
1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　)
答案：A
2.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图)，不含端点，则f ＝(　　)
A．－　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：选B　可求得
f(x)＝
∴f ＝－1＝－，
f ＝f ＝－＋1＝.
3．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．1或－2
解析：选B　因为g(x)＝(x2＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.
4．若f(x)满足关系式f(x)－2f ＝3x，则f(2)的值为(　　)
A．3 B．－3
C．－ D.
解析：选B　以代x得：f －2f(x)＝，
与f(x)－2f ＝3x联立，
消去f 得：f(x)＝－，
∴f(2)＝－＝－3.
二、填空题
5．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则3f(x＋1)＝3[k (x＋1)＋b]＝3kx＋3k＋3b＝6x＋4，所以解得所以f(x)＝2x－.
答案：2x－
6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.
解析：因为f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝.
答案：
三、解答题
7．已知二次函数f(x)满足f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，g(x)＝2f(－x)＋x.
求：(1)f(x)的表达式；
(2)f[g(x)]的表达式．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝0，∴c＝0.
∴f(x)＝ax2＋bx.
∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)
＝ax2＋2ax＋a＋bx＋b
＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b.
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1
＝ax2＋(b＋1)x＋1.
由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1得：
，解得.
∴f(x)＝x2＋x.
(2)g(x)＝2·[(－x)2＋(－x)]＋x＝x2，
∴f[g(x)]＝f(x2)
＝(x2)2＋x2＝x4＋x2.
8．某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠．若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x与每箱所支付的费用y之间的函数关系，并画出其图象．
解：当x＝1时，y＝48×0.9；
当x＝2时，y＝48×0.85；
当x＝3时，y＝48×0.8；
当3∴y＝
即y＝
图象如图所示：