2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1.2.3&1.2.4　从图象看函数的性质　从解析式看函数的性质

1．2.3&1.2.4　从图象看函数的性质　从解析式看函数的性质
函数的性质
1．函数图象的对称性与奇偶性
(1)图象关于原点中心对称的函数称为奇函数．
(2)图象以y轴为对称轴的函数称为偶函数．
2．从函数的图象看函数的单调性
(1)函数值y随自变量x的增大也随之增大，这样的函数叫作单调递增函数．
(2)函数值y随自变量x的增大而随之减小，这样的函数叫作单调递减函数．
(3)递增函数和递减函数统称为单调函数．
3．从函数的图象看函数的最值
在函数的图象中最高点和最低点所对应函数值分别叫作函数的最大值和最小值，取得最大值和最小值时的自变量x的值分别叫做最大值点和最小值点，最大值和最小值统称为最值.
有界函数与函数的最大值
下列是函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，观察并分析函数的几何特征，并回答下列问题：
(1)f(－4)、f(3)、f(6)的大小关系是________．
(2)图象有无最高点？若有，最高点对应的函数值是________．
(3)当x∈[－4,7]时，f(x)与f(3)、f(－4)、f(6)的大小关系分别是________，你可以得出什么结论？
1．有界函数的定义
如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界；如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．
有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数．
2．函数的最大(小)值定义
(1)如果a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．
(2)如果a∈D，使得不等式f(x)≥f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最小值N＝f(a)，称N为f(x)的最小值，a为f(x)的最小值点．
1．所谓函数的最大值，实际上是指函数值域中的最大数，对吗？
[提示]　正确．函数的最大值M，首先是一个函数值，它是值域的一个元素，同时是值域中的最大者．
2．若对任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么M一定是y＝f(x)的最大值，对吗？
[提示]　不对．M不一定是值域中的一个元素，如函数f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(x)≤3，但3不是值域中的数．
3.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　)
A．f(－2)，0　　　　 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
[提示]　C
4．函数y＝2x2＋1，x∈N＋的最小值为________．
[提示]　3
函数的单调性定义
如图是某市2018年4月20日24小时气温变化图，气温θ是关于时间t的函数，记为θ＝f(t)．观察这个气温变化图，说出气温在哪些时段内是逐渐升高的或下降的．
怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增加气温逐渐升高”这一特征？
1．函数图象的“上升”或“下降”反映了函数的一个基本性质—单调性．
2．如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间．
1．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数，对吗？
[提示]　不对，如函数f(x)＝x2，(－1＜x＜1)，
存在x1＝－，x2＝显然x1＜x2，
有f(x1)＝＜f(x2)＝，
但f(x)＝x2在(－1,1)上不是增函数．
2．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)使得x1＜x2时有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上是增函数，对吗？
[提示]　不对，如上述函数f(x)＝x2(－1＜x＜1)．
3．若f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则f(x)在A∪B上也为减函数，对吗？
[提示]　不对，如函数f(x)＝(x≠0)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上也为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．
由图象判断函数的性质
[例1]　(1)函数f(x)的图象如图，则函数的最大、最小值分别为(　　)
A．f ，f 
B．f(0)，f 
C．f(0)，f 
D．f(0)，f(3)
(2)函数f(x)＝x＋的图象如图，通过观察图象可以看出该函数在哪个区间上是递减的(　　)
A．(0,1)
B．(－1,0)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－1,0)和(0,1)
[答案]　(1)C　(2)D
借题发挥
图象的应用在高中数学解题中占有重要地位，有的函数的性质在图象中呈现的非常直观，故会作图、识图是非常重要的.
　　
1．观察下列函数的图象，哪一个函数可能是偶函数(　　)
答案：A
证明或判断函数的单调性
[例2]　证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．
[思路点拨]　根据增函数和减函数的定义进行证明．
[证明]　设0＜x1＜x2＜1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝.
已知0＜x1＜x2＜1，
则x1x2－1＜0，x1－x2＜0.
即f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)＞f(x2)．
∴f(x)＝x＋在(0,1)上为减函数．
同理，当x2＞x1＞1时，x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴＜0.即f(x1)－f(x2)＜0.
∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数.
借题发挥
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子；
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性.
　　
2．判断并证明函数f(x)＝－x2＋2x在R上的单调性．
解：利用图象可判定f(x)在(－∞，1]上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，
下面用定义加以证明．
设x1，x2∈(－∞，1)，且x1＜x2.
则f(x1)－f(x2)
＝(－x＋2x1)－(－x＋2x2)
＝2(x1－x2)－(x1＋x2)(x1－x2)
＝(x1－x2)[2－(x1＋x2)]，
∵x1∴x1－x2<0，x1＋x2<2.
∴2－(x1＋x2)>0，
∴(x1－x2)[2－(x1＋x2)]<0
即f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上单调递增．
同理可证，f(x)＝－x2＋2x在(1，＋∞)上单调递减.
求函数的单调区间
[例3]　求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．
[思路点拨]　解答本题先化简函数的解析式并作出函数的图象，再根据图象确定单调区间．
[解]　当x≥0时，
f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
当x<0时，f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
即f(x)＝
作函数图象，如图所示，
在(－∞，－1)和(0,1)上，函数是增函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数.
借题发挥
(1)由函数图象确定函数单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可以利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．
(2)一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．
(3)求函数的单调区间不能忽视定义域，单调区间是定义域的子集.
　　
3．求函数y＝|x|·(1－x)的单调区间．
解：y＝
即y＝
作出函数的图象，如图，由图象可知，函数的单调增区间是，
减区间是(－∞，0)和.
函数单调性的应用
[例4]　(1)求函数f(x)＝的最小值．
(2)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[思路点拨]　(1)首先利用单调性的定义判断f(x)的单调性，然后根据单调性求解．
(2)利用单调性的定义求参数的范围．
[解]　(1)已知函数式可化为f(x)＝x＋－2.
设0则f(x1)－f(x2)
＝－
＝.
因为0所以f(x1)－f(x2)>0，即函数f(x)在上是减函数．
所以f(x)≥f＝，即f(x)的最小值为.
(2)设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞).
借题发挥
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.
　　
4．已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围．
解：∵函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，∴2x－3>5x＋6，解得x<－3.∴x的取值范围为(－∞，－3)．
1．如图是函数y＝f(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由图象，可知函数y＝f(x)的单调递减区间有2个．故选B.
2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5]上的最大值、最小值分别为(　　)
A．42,12 B．42，－
C．12，－ D．无最大值，最小值－
解析：选B　f(x)＝2－，
对称轴为x＝－.
所以[f (x)]最大值＝f(5)＝2－＝42.
[ f (x)]最小值＝f ＝－.
3．已知定义域为R的函数y＝f(x)是减函数，则(　　)
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)>f(a)
C．f(a2＋a)解析：选D　∵(a2＋1)－a＝2＋>0.
∴a2＋1>a.
又y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴f(a2＋1)4．函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的单调递增区间分别是(　　)
A．(－∞，0]和(－∞，1]
B．(－∞，0]和[1，＋∞)
C．[0，＋∞)和(－∞，1]
D．[0，＋∞)和[1，＋∞)
解析：选C　函数f(x)＝|x|的单调递增区间为[0，＋∞)，函数g(x)＝x (2－x)＝－(x－1)2＋1的单调递增区间为(－∞，1]．
5．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________.
解析：f(x)的图象的对称轴为x＝＝－2，
∴m＝－8.
∴f(x)＝2x2＋8x＋3.
∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
答案：13
6．求函数y＝＋的值域．
解：由x≥0，且x－1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)．
而函数y＝和y＝在[1，＋∞)上都是增函数，则y＝＋也是增函数，当x＝1时，它取得最小值，故y＝＋的最小值为1，所以它的值域为[1，＋∞)．
你会研究函数f(x)＝的单调性吗？
可以用定义法来研究．
设x1＝，
当x1，x2∈(－∞，－1)时，x2－x1>0，
x1＋1<0，x2＋1<0，可得f(x1)－f(x2)>0，
即f(x)在区间(－∞，－1)上是减函数，
当x1，x2∈(－1，＋∞)时，x2－x1>0，
x1＋1>0，x2＋1>0.可得f(x1)－f(x2)>0，
即f(x)在区间(－1，＋∞)上是减函数．
函数f(x)＝是一个复合函数，它是由函数y＝，t＝x＋1(x≠－1)复合而成．
由于函数y＝在区间(－∞，0)上是减函数，t＝x＋1在区间(－∞，－1)上是增函数，
所以函数f(x)＝在区间(－∞，－1)上是减函数．
由于函数y＝在区间(0，＋∞)上是减函数，t＝x＋1在区间(－1，＋∞)上是增函数．
所以函数f(x)＝在区间(－1，＋∞)上是减函数．
复合函数y＝f[g(x)]的单调性与构成它的简单函数μ＝g(x)和y＝f(μ)的单调性有关系．
若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．可归纳为“同增异减”．
一、选择题
1．已知f(x)、g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)≠0则(　　)
A．f(x)＋g(x)为减函数
B．f(x)－g(x)为增函数
C．f(x)·g(x)为减函数
D.为增函数
解析：选B　∵g(x)为减函数，
∴－g(x)为增函数，
又f(x)为增函数．
∴f(x)－g(x)必为增函数．
2．函数y＝1－(　　)
A．在(－1，＋∞)内单调递增
B．在(－1，＋∞)内单调递减
C．在(1，＋∞)内单调递减
D．在(1，＋∞)内单调递增
解析：选D　可知y＝在(1，＋∞)内单调递减，
∴y＝1－在(1，＋∞)内单调递增．
3．函数f(x)＝x2－2mx与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则m的取值范围是 (　　)
A．[2,3)　　　　　　　 B．[2,3]
C．[2，＋∞) D．(－∞，3)
解析：选A　g(x)＝＝m＋，
要使f(x)和g(x)都在区间[1,2]上是减函数，
则解得2≤m<3.
4．若不等式－x＋a＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－
解析：选D　若－x＋a＋1≥0对一切x∈恒成立，则a≥x－1对任意x∈恒成立，
设f(x)＝x－1，则a≥最大值．
可知f(x)在上单调递增．
∴[f (x)]最大值＝f ＝－1＝－.
∴a≥－.
二、填空题
5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．
解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．
答案：[－1.5,3]和[5,6]
6．已知函数y＝f(x)是定义在区间(－2,2)上的减函数，若f(m－1)>f(1－2m)，则m的取值范围是________．
解析：由题意得解得－答案：
三、解答题
7．求函数f(x)＝，x∈[3,5]的最大值和最小值．
解：设x1，x2∈[3,5] 且x1∵f(x)＝＝＝2－，
∴f(x1)－f(x2)
＝－
＝－＝，
∵3≤x1∴x1－x2<0，(x2＋1)(x1＋1)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[3,5]上为增函数．
∴[ f (x)]最大值＝f(5)＝，
[ f (x)]最小值＝f(3)＝.
8．函数f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x<0时，f(x)<1，
(1)求f(0)；
(2)求证：f(x)在R上为增函数；
(3)若f(4)＝7，解不等式f(2x＋1)<4.
解：(1)由f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1，
得f(0)＝1.
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x2由题意，有f(x2)＝f(x2－x1＋x1)
＝f(x1)＋f(x2－x1)－1，
∵x2－x1<0，
∴f(x2－x1)<1，
∴f(x2)(3)∵f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，
∴f(2)＝4.
∴2x＋1<2，∴不等式解集为.