2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1．2.5　函数的定义域和值域

1．2.5　函数的定义域和值域
函数的定义域
1．实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形．
2．若只写函数的表达式，略去函数的定义域，那么这个函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围．
求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
[提示]　(1)要使函数有意义，自变量x须满足：

解得：x≥1且x≠2.
∴函数的定义域为[1,2)∪(2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，x须满足：
即
解得x>－2且x≠0.
∴函数的定义域为(－2,0)∪(0，＋∞).
函数的值域
把图象上的点向y轴上作投影，投影点集合对应的数集，就是函数的值域．
函数y＝(x∈R)的值域是________．
[提示]　y＝＝1－，
∴y的值域为[0,1)．
答案：[0,1)
求函数的定义域
[例1]　求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝(x∈Z)．
[思路点拨]　解答本题可根据函数解析式的结构特点，构造使解析式有意义的不等式(组)，进而解不等式求解．
[解]　(1)要使函数有意义，需满足|x|－2≠0.|x|≠2，即x≠±2，
所以原函数的定义域为{x|x≠±2}．
(2)要使函数有意义，需满足，即，
∴只有x＝5使函数有意义，所以原函数的定义域是{5}．
(3)要使函数有意义，需满足
即
∴－6＜x＜0且x≠－1，又x∈Z，
∴x＝－5，－4，－3，－2.因此，
所求函数的定义域为{－5，－4，－3，－2}.
借题发挥
求函数定义域的方法
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数x的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式且不在分母上，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；若偶次根式在分母上，则定义域为使根号内的式子大于0的实数x的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．
函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视.
1．求下列函数的定义域．
(1)y＝＋；(2)y＝.
解：(1)使y＝＋有意义，
则∴
∴y＝＋的定义域是{x|x≥－1且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则
解得∴x≥1，
∴函数y＝的定义域为[1，＋∞).
求函数的值域
[例2]　求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}；
(2)y＝1－x2；
(3)y＝1＋(x>0)．
[思路点拨]　求函数的值域就是求函数值的取值集合．
[解]　(1)x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝7；x＝4时，y＝9.
所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．
(2)因为1－x2≤1，
所以y＝1－x2的值域为(－∞，1]．
(3)∵x＋1>1，∴0<<1，
∴1<1＋<2，
∴y＝1＋的值域为(1,2).
借题发挥
求一次函数、二次函数以及简单的无理函数、分式函数等的值域时，可以从定义域出发，按照对应法则，结合方程、不等式等求得.
2．求下列函数的值域．
(1)y＝；(2)y＝x2－6x＋6，x∈[1,6)．
解：(1)y＝＝2－.
∵x＋3≠0，∴≠0，∴y≠2.
∴函数的值域为{y|y∈R，y≠2}．
(2)法一：配方，得y＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3.
∵x∈[1,6)，∴0≤(x－3)2<9，
∴－3≤y<6.
∴函数的值域为{y|－3≤y<6}．
法二：配方，得y＝(x－3)2－3.
∵x∈[1,6)，结合图，
∴函数的值域为{y|－3≤y<6}．
1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为(　　)
A．{－1,0,3}　　　　　　 B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
解析：选A　由对应关系y＝x2－2x得，0→0,1→－1,2→0，3→3，所以值域为{－1,0,3}．
2．函数f(x)＝＋＋2的定义域为(　　)
A．(－∞，4] B．(1,4]
C．(－∞，－1)∪(1,4) D．(－∞，1)∪(1,4]
解析：选D　要使函数f(x)＝＋＋2有意义，需满足解得即x<1或1∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1,4]．
3．函数f(x)＝(x>0)的值域是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C. D.
解析：选C　∵f(x)＝＝＝1－在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)∈.
4．函数f(x)＝＋的定义域是(用区间表示)________．
解析：只要，∴
∴定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,4]．
答案：(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,4]
5．函数y＝x＋的值域是________．
解析：因y＝x＋为增函数，且x≥－1，则y≥－1.
答案：[－1，＋∞)
6．已知函数f(x)＝＋的定义域为A，函数g(x)的定义域为B＝[－1,1)，求A∩B，A∪B，B∪(?RA)．
解：由已知得，∴－2＜x≤1.
∴A＝(－2,1]．∴?RA＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)．
又∵B＝[－1,1)，
∴A∩B＝[－1,1)，A∪B＝(－2,1]，
B∪(?RA)＝(－∞，－2]∪[－1,1)∪(1，＋∞)．
求函数值域常用的方法有哪些？
观察法：对于一些简单的函数，通过对解析式的简单变形和观察，来求出函数的值域；
隔离常数法：对于分式函数y＝(ad≠bc)，可先分离出一个常数，即y＝＋，所以其值域为.
配方法：对于二次函数在其定义域范围内的值域问题，可用配方法来求．同时要结合二次函数的图象来求解，注意给定区间可能在对称轴同侧或包含对称轴．
一、选择题
1．已知f(x)＝，则f[f(x)]的定义域为(　　)
A．{x|x∈R且x≠－2}
B．{x|x∈R且x≠－1}
C．{x|x∈R且x≠－1且x≠－2}
D．{x|x∈R且x≠0且x≠－1}
解析：选C　∵f [ f (x)]＝＝＝(x＋1≠0)，
∴f [ f (x)]有意义，则
∴其定义域{x|x∈R且x≠－1且x≠－2}．
2．函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1}　　　　　　　 B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1}
解析：选D　使y＝＋有意义，则
∴0≤x≤1，
∴该函数的定义域为{x|0≤x≤1}．
3．函数y＝的值域是(　　)
A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析：选B　对函数y＝隔离常数得，
y＝1－，
∴y≠1，即值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
4．若函数f(x)＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是(　　)
A．(0,4]　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C　由二次函数的对称性可求得．
二、填空题
5．已知f(x＋1)的定义域为[1,2]，则f()的定义域为________．
解析：∵f(x＋1)的定义域为[1,2]．
∴1≤x≤2,2≤x＋1≤3.∴f(x)的定义域为[2,3]．
∴f()中2≤≤3，∴4≤x≤9.
答案：[4,9]
6．将长为a的铁丝折成矩形，则面积y与一边长x的函数关系式为________，定义域为________．
解析：由于边长为x，则邻边长为，
∴y＝x，∵x>0，－x>0，
∴0答案：y＝－x2＋x　
三、解答题
7．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝·；
(3)y＝；
(4)y＝＋.
解：(1)由题意得
解得
∴函数的定义域为.
(2)由题意得解得x＝1.
∴函数的定义域为{x|x＝1}．
(3)由题意得解得
∴函数的定义域为{x|x≤1且x≠0}．
(4)由题意得解得
∴函数的定义域为{x|≤x≤或－≤x≤－}．
8．求函数f(x)＝－(1≤x≤4)的值域．
解：因为函数y＝和y＝－在区间[1,4]上都单调递减，所以函数f(x)＝－在区间[1,4]上是减函数．于是f(4)≤f(x)≤f(1)，即值域为.