2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1．2.6　分段函数

1．2.6　分段函数
分段函数
如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数．
1．y＝是三个函数，对吗？
[提示]　不对，它是分段函数，该函数分成了三段，是一个函数．
2．处理分段函数的图象及函数值时，应注意什么？
[提示]　处理分段函数的图象时，要按其定义域，一段一段地处理，求函数值时，应先观察变量是在哪一段上，然后代入哪一段的解析式．
分段函数的求值问题
[例1]　已知函数f(x)＝
(1)求f的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
[思路点拨]　(1)首先判断自变量所在范围，然后代入相应的解析式，对于求f，应按“由里到外”的顺序处理．
(2)求x的值应分类讨论x的范围，代入相应解析式．
[解]　(1)因为f ＝－2＝－，
所以f ＝f ＝＝.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，则|x－1|－2＝，
得x＝或x＝－.
因为|x|≤1，所以x的值不存在；
若|x|>1，则＝，得x＝±，符合|x|>1.
所以若f(x)＝，x的值为±.
借题发挥
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)像本题中含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理.
　　
1．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
解析：选C　当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．综上，f ＝6.
作分段函数的图象
[例2]　作出下列函数的图象，并指出其定义域、值域．
(1)f(x)＝
(2)f(x)＝
[思路点拨]　作分段函数的图象时，可根据函数的定义域，在同一直角坐标系中一段一段的作出来；其定义域是各段定义域的并集；值域是各段值域的并集．
[解]　(1)这个函数的图象由两部分组成：
当0当x≥1时为y＝x图象的一段，函数图象如图①.
定义域为{x|x>0}，值域为{y|y≥1}．
(2)该函数的图象为：
其定义域为R，值域为(－∞，2].
借题发挥
一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作分段函数图象时，首先确定各段上函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，分段函数图象要注意分段画出，并在画图象时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等，并注意每段定义域端点的虚实.
2．函数y＝f(x)在[－1,2]上的图象如图所示，求该函数的解析式．
解：当－1≤x≤0时，设y＝ax＋b，
由图象过点(－1,0)和(0,1)，得a＝1，b＝1，
即当－1≤x≤0时，y＝x＋1.
同理，当0∴y＝
分段函数的应用
[例3]　如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x cm，试写出l左侧图形的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
[思路点拨]　
[解]　过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H，如图所示．
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2 cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.
又BC＝7 cm，所以AD＝GH＝3 cm.
(1)当点F在BG上时，即x∈(0,2]时，y＝x2；
(2)当点F在GH上时，即x∈(2,5]时，
y＝×2×2＋2(x－2)＝2x－2；
(3)当点F在HC上时，即x∈(5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF
＝×(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综上，面积y关于x的解析式为
y＝
画出y＝f(x)的图象如图所示.
借题发挥
(1)由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段．求解析式时，先分段分别求出它的解析式，再综合在一起即可．
(2)注意求分段函数的解析式时，最后要把各段综合在一起写成一个函数．分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数.
　　
3．甲、乙两地相距150千米，某货车从甲地运送货物到乙地，以每小时50千米的速度行驶，到达乙地后将货物卸下用了1个小时，然后以每小时60千米的速度返回甲地．从货车离开甲地起到货车返回甲地为止，设货车离开甲地的时间和距离分别为x小时和y千米，试写出y与x的函数关系式．
解：由题意，可知货车从甲地前往乙地用了3小时，而从乙地返回甲地用了2.5小时．
(1)当货车从甲地前往乙地时，由题意，
可知y＝50x(0≤x≤3)；
(2)当货车卸货时，y＝150(3(3)当货车从乙地返回甲地时，由题意，知
y＝150－60(x－4)(4≤x≤6.5)
所以y＝.
1．已知函数f(x)＝则f ＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选B　∵f ＝f ＝f ＝＋1＝.
2．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．[0，＋∞) B．R
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
解析：选D　当0≤x≤1时，0≤y≤2，
当1当x≥2时，y＝3，
∴该函数的值域为[0,2]∪{3}．
3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的图象是(　　)
解析：选A　当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．故选A.
4．已知f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.
解析：当x≤0时，由x2＋4＝10，
得x＝－，x＝(舍)，
当x>0时，由－3x＝10，得x＝－(舍)．
答案：－
5．已知函数f(x)＝则f(f(f(5)))＝________.
解析：∵5>4，∴f(5)＝－5＋3＝－2.
∴f(f(5))＝f(－2)＝－2＋5＝3.
又∵0<3≤4，∴f(f(f(5)))＝f(3)＝8.
答案：8
6．若函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f[f(－)]的值；
(2)若f(m)>m，求m的取值范围．
解：(1)f(－5)＝－5＋2＝－3，
f(－)＝(－)2＝3，
f[f(－)]＝f(3)＝2×3＝6.
(2)①若m≤－2，则f(m)>m?m＋2>m恒成立．
∴m≤－2成立；
②若－2m?m2>m，即
m(m－1)>0，解得m<0，或m>1.
∴－2③若m≥2，则f(m)>m?2m>m，
解得m>0，
∴m≥2成立．
综上所述，m<0，或m>1成立．
解决分段函数需要注意哪些方面的问题？
求分段函数的有关函数值域，关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，用虚线作其图象，再用实线保留定义内的一段图象即可．
一、选择题
1．下列图形是函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象的是(　　)
解析：选B　∵y＝－|x|＝
∴函数y＝－|x|(x∈[－2,2])的图象为B.
2．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．±
C.，1 D.
解析：选D　当x≤－1时，令x＋2＝3，则x＝1，不合题意，舍去；
当－1∴x＝或x＝－(舍去)；
当x≥2时，令2x＝3，x＝舍去，
综合可知：x＝.
3．函数f(x)＝的值域是(　　)
A．R B．(0，＋∞)
C．(0,2)∪(2，＋∞) D．[0,2]∪[3，＋∞)
解析：选D　当0≤x≤1时，0≤2x2≤2；
当1当x≥2时，x＋1≥3，
∴f(x)的值域为[0,2]∪[3，＋∞)．
4．已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
解析：选C　要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
必须同时满足3个条件：
①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；
②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；
③g(1)≥h(1)．
所以所以≤a<.
二、填空题
5．设f(x)＝g(x)＝则f[g(π)]＝________，g[f(2)]＝________.
解析：∵g(π)＝2，
∴f [g(π)]＝f(2)＝3×2＋1＝7，
又∵f(2)＝3×2＋1＝7，
∴g[f (2)]＝g(7)＝2.
答案：7　2
6．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)．仿此，分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝________.
解析：由f(x)＝f(x)＝的表达式可知f(x)＝
可表示为f(x)＝(6＋x＋|x－6|)．
答案：(6＋x＋|x－6|)
三、解答题
7．已知函数f(x)＝
求：(1)f{f[f(－2)]}；
(2)f(3x－1)．
解：(1)∵f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，
f(－1)＝(－1)2＋1＝2，f(2)＝1＋＝，
∴f{f[f(－2)]}＝f[f(－1)]＝f(2)＝.
(2)当3x－1>1，即x>时，
f(3x－1)＝1＋＝；
当－1≤3x－1≤1，即0≤x≤时，
f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；
当3x－1<－1，即x<0时，
f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1.
∴f(3x－1)＝
8.如右图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式．
解：当点P在线段BC上运动时，有
0≤x≤4，y＝；
当点P在线段CD上运动时，有4y＝＝；
当点P在线段DA上运动时，
有8∴y＝