2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1．2.7　二次函数的图象和性质——增减性和最值

1．2.7　二次函数的图象和性质——增减性和最值
二次函数的增减性与最值定理
定理　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当a>0(a<0)时，在区间上递减(递增)，在上递增(递减)，图象曲线开口向上(下)，在x＝－处取到最小(大)值f ＝－，这里Δ＝b2－4ac.
试求二次函数y＝x2＋2x－3的单调区间和最值．
[提示]　在区间(－∞，－1]上是减函数，在[－1，＋∞)上为增函数，当x＝－1时，y有最小值，ymin＝－4.
二次函数的单调性及应用
[例1]　已知函数f(x)＝2x2－3x＋1，
(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴；
(2)求这个函数的最小值；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－1)和f(1)的大小．
[思路点拨]　配方后确定单调区间，利用单调性求解．
[解]　配方，得y＝22－.
(1)顶点坐标为，对称轴为x＝.
(2)因为2>0，所以抛物线开口向上，
所以当x＝时，ymin＝－.
(3)∵函数y＝2x2－3x＋1的对称轴为x＝，
∴f ＝f .
∴f(－1)＝f ＝f ＝f .
又∵函数f(x)在上是增函数，>1>，
∴f >f(1)，即f(－1)>f(1).
借题发挥
配方法是解决二次函数单调性和最值的较好方法，在求函数的最值前往往需要确定函数的单调性.
　　
1．函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是单调函数的条件是(　　)
A．a∈(－∞，1]　　　　 B．a∈[2，＋∞)
C．a∈[1,2] D．a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：选D　f(x)＝x2－2ax－3＝(x－a)2－a2－3，
若f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上是单调函数，
∴a≤1或a≥2.
2．已知函数y＝(m2－3m)xm2－2m＋2是二次函数，则m＝________，该函数的值域为________．
解析：由题意，得
解得所以m＝2，所以y＝－2x2.
故值域为{y|y≤0}．
答案：2　{y|y≤0}
二次函数的最值及应用
[例2]　某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部出租；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少元？
[思路点拨]　建立二次函数模型求解．
[解]　(1)当每辆的月租金为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，
所以这时租出了100－12＝88(辆)．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则月收益
f(x)＝(x－150)－×50
＝－x2＋162x－21 000
＝－(x－4 050)2＋307 050.
∴当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为307 050.
即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司收益最大，最大收益为307 050元.
借题发挥
二次函数是我们接触最早的基本初等函数，建立二次函数模型可以解决生活中的最值优化问题，值得注意的是在求二次函数最值时，切记要注意自变量的取值范围.
　　
3．某商店已按每件80元成本购进某种上装1000件，根据市场预测，当每件售价100元时，可全部售完，若定价每提高1元时，销售量就减少5件，若要获得最大利润，则销售价应定为(　　)
A．110元 B．130元
C．150元 D．190元
解析：选D　设每件涨价x元，利润函数为：
y＝(100＋x－80)(1000－5x)
＝(20＋x)(1000－5x)
＝－5x2＋900x＋20000.
当x＝90时，y取最大值，故销售价定为190元．
1．函数y＝－x2＋1的单调增区间是(　　)
A．[0，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，0]
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选B　∵y＝－x2＋1为开口向下，对称轴为x＝0的抛物线，
∴该函数y＝－x2＋1在(－∞，0]上递增．
2．函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内递减，则a的取值范围是(　　)
A．[3，＋∞) B．(－∞，3]
C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]
解析：选D　∵f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内递减，
∴－≥6，即a≤－3.
3．若y＝－x2＋4x＋k的最大值为2，则k＝________.
解析：∵y＝－x2＋4x＋k
＝－(x2－4x＋4)＋4＋k＝－(x－2)2＋4＋k，
∴其最大值为4＋k＝2，∴k＝－2.
答案：－2
4．已知一次函数y＝ax＋b的图象不经过第一象限，且在区间[－2,1]上的最大值和最小值分别为1和－2，求函数f(x)＝x2－ax＋b在[－2,1]上的最大、最小值．
解：∵y＝ax＋b不经过第一象限，且最大、最小值不等，∴a<0，
从而有ymax＝－2a＋b＝1，ymin＝a＋b＝－2，
∴a＝－1，b＝－1，即f(x)＝x2＋x－1＝2－.
∵x≤－时，f(x)单调递减，
而x≥－时，f(x)单调递增．
∴在[－2,1]上，
f(x)max＝f(－2)＝f(1)＝1，f(x)min＝f ＝－.
简述二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x＝h，h＝－，k＝；
当a>0时，抛物线开口向上，函数在x＝h处取最小值k＝f(h)；在区间(－∞，h]上是减函数，在区间[h，＋∞)上是增函数；
当a<0时，抛物线开口向下，函数在x＝h处取最大值k＝f(h)；在区间(－∞，h]上是增函数，在区间[h，＋∞)上是减函数．
一、选择题
1．函数y＝x2－3x＋2的单调递减区间为(　　)
A．[0，＋∞)　　　　　　　 B．[1，＋∞)
C．[1,2] D．(－∞，]
答案：D
2．若f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3的图象关于y轴对称，则f(x)在(－3,1)上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选C　∵f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3的图象关于y轴对称
∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，
∴f(x)在(－3,1)上先增后减．
3．某商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为(　　)
A．45元 B．55元
C．65元 D．70元
解析：选D　设当商品定价为x元时，商店的销售利润为y元，则有
y＝(x－40)[500－10(x－50)](x≥50)
＝(x－40)(1000－10x)
＝－10x2＋1 400x－40 000(x≥50)，
∴当x＝70时，y有最大值．
4．函数f(x)＝9－ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为(　　)
A．9 B．9(1－a)
C．9－a D．9－a2
解析：选A　f(x)＝－ax2＋9开口向下，在[0,3]上单调递减，所以在[0,3]上最大值为9.
二、填空题
5．用一根长为12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．
解析：设矩形一边长为x m，
则另一边长为＝(6－x) m，
∴面积S＝x(6－x)＝－x2＋6x(0∴当x＝3时，Smax＝－32＋18＝9.
答案：9 m2
6．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调减区间是(－∞，4]，则a的值为________．
解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2.
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．
又∵f(x)的单调递减区间是(－∞，4]，
∴1－a＝4，即a＝－3.
答案：－3
三、解答题
7．求下列函数的值域：
(1)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(2)y＝2x－.
解：(1)配方：y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴如图所示：
函数的值域为[2,11)．
(2)函数的定义域是{x|x≥1}．
令＝t，则t≥0，x＝t2＋1，
∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2，
问题转化为y(t)＝2t2－t＋2在t∈[0，＋∞)值域的问题．用配方法解决，
∴y＝2(t－)2＋，
∵t≥0，如图，则ymin＝，
∴所求函数的值域为[，＋∞)．
8．已知f(x)＝x2＋ax＋3在[－1,1]上的最小值为－3，求a的值．
解：当－>1，即a<－2，
ymin＝f(1)＝4＋a＝－3，∴a＝－7.
当－1≤－≤1，即－2≤a≤2，
ymin＝f ＝＝－3，
∴a＝±2(舍去)．
当－<－1，即a>2时，
ymin＝f(－1)＝4－a＝－3，
∴a＝7.综上可知，a＝±7.