2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 1.2 1．2.8　二次函数的图象和性质——对称性

1．2.8　二次函数的图象和性质——对称性
函数的奇偶性
已知两组函数
(Ⅰ)f(x)＝x2与f(x)＝|x|；
(Ⅱ)f(x)＝x与f(x)＝.
(1)试分别作出它们的图象，并填写下表．
表一
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝x2
f(x)＝|x|
表二
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
f(x)＝x
f(x)＝
(2)观察这两组函数的图象，你能发现这两组函数各有什么几何特征？
(3)观察上面两个表格，你可以得出什么结论？
1．偶函数
如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数．
2．奇函数
如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数．
1．对于函数f(x)，若存在x，使得f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，对吗？若使得f(－x)＝－f(x)呢？
[提示]　不对．必须是对定义域内的任意一个x，使得f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))．
2．函数y＝x|x|，x∈(－1,1]是奇函数，对吗？当x∈[－1,1]且x≠0时呢？由此你能得出什么结论？
[提示]　不对，是非奇非偶函数．因为定义域(－1,1]含1但不含－1，f(－1)无意义．而当x∈[－1,1]且x≠0时，是奇函数，由此可知，具有奇偶性的函数，其定义域必须关于原点对称.
二次函数的对称性
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称性
图　象
a>0
a<0
性　质
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸
(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸
(2)对称轴是x＝－，顶点坐标
是－，
(2)对称轴是x＝－，顶点坐标是－，
试求二次函数y＝x2＋2x－3的开口方向、对称轴、顶点坐标．
[提示]　由y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4知，a＝1>0开口向上，对称轴是x＝－1，顶点坐标为(－1，－4)．
判断函数的奇偶性
[例1]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x＋1|－|x－1|.
(2)f(x)＝(x－1)·.
(3)f(x)＝
[思路点拨]　解答本题可以先确定定义域并考察定义域是否关于原点对称，最后确定f(x)与f(－x)的关系并得出结论．
[解]　(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)．
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
(2)由于≥0，得－1≤x<1，其定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，
f(x)为偶函数.
借题发挥
判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
　　
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝|x|＋；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
解：(1)∵
∴x＝1.定义域为{1}．不关于原点对称，
∴函数f(x)为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝|x|＋＝2|x|，
定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
具有f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)∵
∴x＝±1，这时f(x)＝0，定义域{－1,1}．
∴函数f(x)既是奇函数，又是偶函数．
(4)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝1－x＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－x－1＝－f(x)．
而f(－0)＝f(0)＝－f(0)＝0.
∴f(x)为奇函数．
法二：作出函数f(x)的图象，可知f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数.
奇偶函数的图象及应用
[例2]　(1)奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过点(　　)
A．(a，f(－a))　　　　　　 B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
(2)设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．
[思路点拨]　根据奇函数、偶函数的图象特征(对称性)求解．
[解析]　(1)根据奇函数图象的特征：奇函数的图象关于原点对称，知点(a，f(a))在其图象上，则它关于原点的对称点(－a，－f(a))也必在其图象上．
(2)由于偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)<0的解．∵当x∈[0,5]时，f(x)<0的解为2∴f(x)<0的解是－5≤x<－2或2[答案]　(1)C　(2){x|－5≤x<－2或2借题发挥
(1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
(2)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的对称图形，则这个函数是偶函数.
　　
2．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，作出y轴右侧的图象并求f(3)的值；
(2)如图②，给出偶函数的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并作出它的y轴右侧的图象．
解：(1)奇函数的图象关于原点成中心对称，因此图①为补充右侧图象后的图象，由图知f(3)＝－2.
(2)偶函数的图象关于y轴成轴对称，因此图②为补充右侧图象后的图象．由图象知f(1)>f(3)．
二次函数的对称性与最值
[例3]　已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.
(1)当x∈[－3,0]时，求f(x)的最值．
(2)当x∈[－3,3]时，求f(x)的最值．
(3)当x∈[t，t＋1](t∈R)时，求f(x)的最小值g(t)．
[思路点拨]　把二次函数配方确定对称轴，(1)(2)根据区间直接求最值，(3)利用对称轴和区间的关系，展开分类讨论．
[解]　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－3,0]时，f(x)在[－3,0]上为减函数，
故当x＝－3时，f(x)有最大值f(－3)＝17.
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝2.
(2)当x∈[－3,3]时，f(x)是先减后增，
当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝1.
∵|－3－1|>|3－1|，
∴当x＝－3时，f(x)有最大值f(－3)＝17.
(3)①当t＋1≤1，即t≤0时，由图(1)知，截取减区间上的一段，g(t)
＝f(t＋1)＝t2＋1；
②当1＜t＋1≤2，即0＜t≤1时，正巧将顶点截取在内，g(t)＝f(1)＝1(见图(2))；
③当t＋1＞2，即t＞1时，由图(3)可知，截取增区间上的一段，g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，
g(t)＝
借
题
发
挥
二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解有以下三种情况：
①对称轴与区间[m，n]都是确定的；
②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定．
对于以上三种情况，①采用数形结合，较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分轴在区间的左侧、内部、右侧三类.
　　
3．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
解：函数f(x)的对称轴为x＝a，且开口向上，如图所示，
当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知，f(x)min＝
1．下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是(　　)
A．f(x)＝＋
B．f(x)＝＋
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析：选A　f(x)＝＋的定义域为{1，－1}，
则f(x)＝0.故选A.
2．定义在R上的偶函数f(x)，在x>0上是增函数，则(　　)
A．f(3)B．f(－π)C．f(3)D．f(－4)解析：选C　f(－4)＝f(4)，f(－π)＝f(π)．
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(3)即f(3)3．二次函数y＝1－6x－3x2的顶点坐标和对称轴方程分别为(　　)
A．顶点(1,4)，对称轴x＝1
B．顶点(－1,4)，对称轴x＝－1
C．顶点(1,4)，对称轴x＝4
D．顶点(－1,4)，对称轴x＝4
解析：选B　∵y＝1－6x－3x2＝－3x2－6x＋1＝－3(x2＋2x＋1)＋4＝－3(x＋1)2＋4，
∴y＝1－6x－3x2的顶点坐标为(－1,4)，对称轴方程为x＝－1.
4．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于x＝1对称，则b＝________.
解析：若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于x＝1对称，
∴a＋b＝2.－＝1，
∴a＝－4，∴b＝2－a＝6.
答案：6
5．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)．
即0＝2(1－a)，∴a＝1.
答案：1
6．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是减函数，
所以f(x)在[－2,2]上是减函数．
所以不等式f(1－m)解得－1≤m<.
所以实数m的取值范围为.
通过这节课的学习，你还能总结出奇偶函数的其他一些性质吗？
奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．
奇(偶)函数除有对称性外，还有在公共的定义域内：
①两个奇(偶)函数的和与差仍为奇(偶)函数；
②两个奇(偶)函数的积是偶函数；
③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；
④函数f(x)与有相同的奇偶性．
一、选择题
1．若函数f(x) 是R上的奇函数，则下列关系式恒成立的是(　　)
A．f(x)－f(－x)≥0 　 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)≥0
解析：选C　∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]
＝－[f(x)]2≤0.
2．下列函数：①y＝x2－x；②y＝x2－|x|；③y＝；④y＝5；⑤y＝|3x＋2|－|3x－2|，其中具有奇偶性的为(　　)
A．①③⑤ B．②③④
C．②④⑤ D．③④⑤
解析：选C　对于①，f(－1)＝2，f(1)＝0.
∴f(－1)≠f(1)，且f(－1)≠－f(1)，是非奇非偶函数．对于②，定义域为R，且f(－x)＝x2－|x|＝f(x)，是偶函数；对于③，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，∴不具有奇偶性．④中函数是偶函数．对于⑤，定义域为R，且满足f(－x)＝|－3x＋2|－|－3x－2|＝－(|3x＋2|－|3x－2|)＝－f(x)为奇函数．∴②④⑤具有奇偶性．
3．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)与(2,5)两点，则这个二次函数(　　)
A．过点(0,1) B．顶点为(1，－4)
C．对称轴为x＝－1 D．与x轴无交点
解析：选C　∵y＝x2＋bx＋c的图象经过(1,0)与(2,5)，
∴?，
∴f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴对称轴为x＝－1.
4．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为(　　)
A．f(1)>f(－10) B．f(1)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定
解析：选A　∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．
又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且1<10，
∴f(1)>f(10)，即f(1)>f(－10)．
二、填空题
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.
解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，
又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.
答案：12
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
解析：∵f(x)为偶函数，∴对定义域内的任意实数x都有f(－x)＝f(x)．
∴ax2－bx＋3a＋b＝ax2＋bx＋3a＋b恒成立．∴b＝0.∴f(x)＝ax2＋3a.
又f(x)的定义域为[a－1,2a]，
∴(a－1)＋2a＝0，∴a＝.
答案：　0
三、解答题
7．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．
解：(1)设x<0，则－x>0，所以
f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2，
又∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x2＋2x－2，
又f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如图所示．
由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，
减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
8．已知函数y＝f(x)＝－x2－3x－.
(1)求这个函数的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝，不计算函数值，求f；
(3)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
解：y＝－x2－3x－＝－(x2＋6x＋5)
＝－(x＋3)2＋2.
(1)顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x＝－3.
(2)f ＝f(－3.5)＝f(－3－0.5)
＝f(－3＋0.5)＝f ＝.
(3)f ＝f ＝f ＝f ，
∵－，－∈[－3，＋∞)，
而f(x)在[－3，＋∞)上是减函数．
∴f