2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第一章 章末小结与测评

　 　 　章 末 小 结 与 测 评 
集合的概念与运算
集合是数学中最基本的概念，学习集合知识一是要注意把集合知识作为一种语言来学习，集合语言是用集合的有关概念和符号来描述问题的语言，集合语言能简洁、准确地表达相关的数学内容．二是要注意使用集合间的运算法则或运算思想，解决一些逻辑关系较复杂的问题，例如运用补集思想解决问题等．
1．集合的概念问题
集合的概念与运算是历年高考的必考内容之一，属于容易题，但一般是新信息题，不细心极易出错，应给予足够的重视．
[例1]　(1)由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)
A．1　　　　　　　　 B．－2
C．6 D．2
(2)定义实数集合A，B的一种运算“※”，A※B＝{P|P＝x×y，x∈A，y∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A※B中所有元素的积为________．
[解析]　(1)由题设知，a2,2－a,4互不相等，即解得a≠－2，a≠1，且a≠2.
当实数a的取值是6时，三个数分别为36，－4,4，可以构成集合．
(2)∵A※B＝{P|P＝x×y，x∈A，y∈B}，∴A※B＝{1,2,3,4,6}，从而所有元素的积为1×2×3×4×6＝144.
[答案]　(1)C　(2)144
2．集合的基本运算
集合的运算与解不等式、方程、函数等知识紧密联系，这类题除考查集合的交、并、补运算外，还考查不等式的解法、解方程、求函数的定义域等知识，这类题一般出现在选择题、填空题中．
[例2]　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝(　　)
A．{1} B．{1,2}
C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}
(2)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
(3)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)的元素个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　(1)因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1(2)因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}．
(3)由已知条件，得U＝A∪B＝{1,2,3,4,5}，
A∩B＝{3,4}，
∴?U(A∩B)＝{1,2,5}，即集合?U(A∩B)的元素有3个，故选C.
[答案]　(1)C　(2)C　(3)C
3．集合运算性质的综合应用
集合的运算性质易与方程的解集，不等式的解集等结合考查，主要作为命题的条件，求其中参数的值或范围等问题，解答该类问题应熟知集合的一些运算性质及其含义．
如A∩B＝B?B?A；A∪B＝B?A?B等．实际解决问题时应注意空集这个特殊的集合，含参数问题往往需要分类讨论．
[例3]　设集合M＝{x|－2[解]　由M∩N＝N得N?M，故当N＝?，
即2t＋1≤2－t，t≤时，M∩N＝N成立；
当N≠?时，如图所示，得
解得综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}.
函数的概念问题
函数的定义域、值域和对应关系是构成函数的三要素，而正确理解函数的概念，是用函数思想解答相关问题的前提．因此，对函数的定义域、值域、函数值以及对应关系的考查也是高考的命题热点，常以选择、填空题的形式出现，属低档题．
[例4]　(1)函数y＝＋的定义域为(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是(　　)
A．[0,1] B．[0,1)
C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)
[解析]　(1)要使函数有意义，须使，
即0(2)∵f(x)的定义域为[0,2]，∴0≤2x≤2，∴0≤x≤1.
又x－1≠0，即x≠1，∴g(x)的定义域为[0,1)．
[答案]　(1)D　(2)B
[例5]　(1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝(　　)
A．13 B．2
C. D.
(2)设函数f(x)＝则f 的值为(　　)
A. B．－
C. D．18
[解析]　(1)∵f(x)·f(x＋2)＝13.且f(1)＝2.
∴f(3)＝＝，f(5)＝＝2.
f(7)＝＝.f(9)＝＝2…，
∴f(2n－1)＝
∴f(99)＝f(2×50－1)＝.
(2)f(2)＝22＋2－2＝4，
∴f ＝f ＝1－2＝.
[答案]　(1)C　(2)A
函数的图象及应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．
函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．在历届高考试题中，常出现有关函数图象和利用图象解题的试题．
[例6]　设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，
(1)证明f(x)是偶函数；
(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
[解]　(1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，
即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当x≥0时，
f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
即f(x)＝
根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．
(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，
在[－1,0)，[1,3]上为增函数．
(4)当x≥0时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，
最大值为f(3)＝2；
当x＜0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，
最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2].
函数的奇偶性与单调性
函数的单调性与奇偶性都是函数的重要性质，是高考的重点内容之一，主要考查利用定义判断函数的单调性、奇偶性，利用函数的单调性与奇偶性之间的关系解决比较大小、求值或求最值、解方程(组)等方面的问题．高考题型有选择题、填空题，也有解答题，既有容易题与中等题，也有综合性的难题．
[例7]　已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
[解析]　由于f(x)是偶函数，故f(x)＝f(|x|)，
∴得f(|2x－1|)得|2x－1|<，解得[答案]　A
[例8]　若f(x)满足f(－x)＝f(x)，且在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)
A．f ＜f(－1)＜f(2)
B．f(－1)＜f ＜f(2)
C．f(2)＜f(－1)＜f 
D．f(2)＜f ＜f(－1)
[解析]　由已知可得函数f(x)是偶函数且在区间[1，＋∞)上是减函数，f ＝f ，f(－1)＝f(1)．∵1＜＜2，∴f(1)＞f ＞f(2)，即f(2)＜f ＜f(－1)．
[答案]　D
含参数的二次函数的最值问题
解决二次函数的最值问题主要采用图象法或根据单调性求解，若问题中含参数，往往需要分类讨论，该类问题概括起来主要有两类：一是二次函数的解析式确定(不含参数)，而定义域为不定区间；二是定义域确定，而解析式中含参数，无论哪一类应视抛物线和方向，就对称轴与给出的区间的位置进行讨论．
[例9]　已知函数f(x)＝－x2＋6x－5，x∈[t，t＋1]，求f(x)的最大值．
[解]　f(x)＝－(x－3)2＋4，对称轴为x＝3.
(1)当t＋1≤3即t≤2时，
可知f(x)在[t，t＋1]上单调递增．
∴[ f (x)]最大值＝f(t＋1)＝－(t－2)2＋4.
(2)当t<3[ f (x)]最大值＝f(3)＝4.
(3)当t≥3时，可知f(x)在[t，t＋1]上单调递减，
∴[ f (x)]最大值＝f(t)＝－(t－3)2＋4.
综上，[ f (x)]最大值＝
常见数学思想的应用
1.数形结合思想的应用
数形结合思想是数学重要的思想方法之一，数形结合的解题方法的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的界线，有较强的综合性，加强这方面的学习和训练，是巩固数学知识、打好基础、提高能力的重要的一环．
集合问题大都比较抽象，解题时要尽量运用Venn图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活、直观地获解．
[例10]　已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a[解]　∵a<1，∴2a由B?A知，a＋1<－1，或2a≥1.
即a<－2，或a≥.
由已知a<1，∴a<－2，或≤a＜1.
即所求a的取值范围是(－∞，－2)∪.
2．分类讨论思想的应用
分类的通俗说法是按照一定的标准把研究对象分成几个部分或几种情况．它采取的是一种“化整为零，各个击破”的策略．
分类讨论思想是中学数学的基本思想方法之一，是历年高考的重点．它具有明显的逻辑特点，一般覆盖知识点较多．解分类讨论问题需要有一定的分析能力和分类技巧，解分类讨论问题实质上是把整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设条件，解分类讨论问题的步骤是：
(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；
(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；
(3)逐类讨论：即对各类问题逐类讨论，逐步解决；
(4)归纳总结：将各类情况总结归纳，得出结论．
[例11]　已知y＝2x2－2ax＋3在区间[－1,1]上的最小值为g(a)，试求g(a)的解析式，并指出函数y＝g(a)的单调性．
[解]　令f(x)＝y＝2x2－2ax＋3
＝22－＋3.
当<－1，即a<－2时，f(x)min＝f(－1)＝5＋2a；
当－1≤≤1，
即－2≤a≤2时，f(x)min＝f ＝3－；
当>1，即a>2时，f (x)min＝f(1)＝5－2a.
∴g(a)＝f(x)min＝
易知当a∈(－∞，0]时，g(a)为增函数，当a∈(0，＋∞)时，g(a)为减函数．
3．转化思想的应用
数学问题中，已知条件是结论成立的保证．但有的问题已知条件和结论之间距离比较大，难以解出．因此，如何将已知条件经过转化，逐步向所求结论靠拢，这就是解题过程中经常要做的工作．变更条件就是利用与原条件等价的条件去代替，使得原条件中隐含的因素显露出来，使各种关系明朗化，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间的内在联系，以便应用数学规律、方法将问题解决．
[例12]　对任意x∈[1，＋∞)，不等式x2＋2x－a>0恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　由已知x∈[1，＋∞)，x2＋2x－a>0恒成立，
即a令g(x)＝x2＋2x，x∈[1，＋∞)，
则原问题可转化为a小于g(x)在[1，＋∞)上的最小值．
∵g(x)＝(x＋1)2－1，图象的对称轴为x＝－1，
∴函数g(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴x＝1时，g(x)取最小值g(1)＝3.∴a<3.
即所求a的取值范围是(－∞，3)．
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选D　因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故满足条件的集合C的个数为4.
2．如图所示，阴影部分表示的集合是(　　)
A．(?UB)∩A　　　　　　 B．(?UA)∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
解析：选A　由图可知阴影部分属于A，不属于B，故阴影部分为(?UB)∩A.
3．已知集合M＝{y|y＝－x2＋2，x∈R}，集合N＝{x|y＝＋} ，则(?RM)∩N＝(　　)
A．{x|1≤x≤2} B．{x|2C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<4}
解析：选B　∵y＝－x2＋2≤2，∴M＝{y|y≤2}，
函数y＝＋的定义域为N＝{x|1≤x≤4}，
∴(?RM)∩N＝{y|y>2}∩{x|1≤x≤4}＝{x|24．若f[g(x)]＝9x＋3，g(x)＝3x＋1，则f(x)的解析式为(　　)
A．3x B．3
C．27x＋10 D．27x＋12
解析：选A　f[g(x)]＝f(3x＋1)＝9x＋3＝3(3x＋1)，
∴f(x)＝3x.
5．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥2x的解集为(　　)
A．(－∞，] B．[－2，]
C．[－2,1] D．[－1,2]
解析：选A　由题意得f(x)≥2x等价于
(1)或(2)
解不等式组(1)得x≤0；解不等式组(2)得0＜x≤，因此原不等式解集为.
6．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选A　∵f(x)＝x⊙(2－x)＝
∴f(x)的值域为(－∞，1]．
7．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－4，＋∞)
B．(－∞，2)
C．[－4，－2)∪(－2，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(－4,2)∪(2，＋∞)
解析：选C　解得x≥－4且x≠－2.
8．集合M＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，函数f(x)＝＋的定义域为T，若全集I＝R，则T∪(?IM)＝(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(1，＋∞) D．(1,2)∪(2，＋∞)
解析：选C　由，得x≥2，
所以T＝[2，＋∞)，
又?IM＝(1,2)，于是T∪(?IM)＝(1，＋∞)．
9．若函数f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定义在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函数，则
f ＝(　　)
A．1 B．3
C. D.
解析：选B　因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a－2b＝0，即b＝1，
所以f(x)＝2x2＋1.于是f ＝f(1)＝3.
10．若p(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝ap(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有(　　)
A．最小值－5 B．最大值－5
C．最小值－1 D．最大值－3
解析：选C　因为p(x)，g(x)都是奇函数，
所以f(x)－2＝ap(x)＋bg(x)为奇函数．
又f(x)有最大值5，
所以f(x)－2在(0，＋∞)上有最大值3.
所以f(x)－2在(－∞，0)上有最小值－3，
所以f(x)在(－∞，0)上有最小值－1.
11．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0，且x1＋x2>0，则(　　)
A．f(x1)>f(x2)
B．f(x1)＝f(x2)
C．f(x1)D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小
解析：选C　∵x1<0且x1＋x2>0.
∴－x2又f(x)在(－∞，0)上为减函数，
∴f(－x2)>f(x1)，
而f(x)又是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)，
∴f(x1)12．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0.则(　　)
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)解析：选A　由＜0等价于
(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，
知f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
又因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，
即f(1)>f(－2)>f(3)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．当A，B是非空集合，定义运算A－B＝{x|x∈A，且x?B}，若M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝x2，－1≤x≤1}，则M－N＝________.
解析：集合M：{x|x≤1}，集合N：{y|0≤ y≤1}，
∴M－N＝{x|x∈M且x?N}＝{x|x<0}．
答案：{x|x<0}
14．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)＝________.
解析：设g(x)＝ax3＋bx，显然g(x)为奇函数，则f(x)＝ax3＋bx－4＝g(x)－4，于是f(－2)＝g(－2)－4＝－g(2)－4＝2，所以g(2)＝－6，所以f(2)＝g(2)－4＝－6－4＝－10.
答案：－10
15．下列对应关系f中，能构成从集合A到集合B的映射的是________．(填序号)
①A＝{x|x>0}，B＝R，f：x→|y|＝x2；
②A＝{－2,0,2}，B＝{4}，f：x→y＝x2；
③A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝；
④A＝{0,2}，B＝{0,1}，f：x→y＝.
解析：对于①，集合A中元素1在集合B中有两个元素与之对应；对于②，集合A中元素0在集合中无元素与之对应；对于③，集合A中元素0在集合B中无元素与之对应．只有④符合映射的定义．
答案：④
16．对a，b∈R，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{x2,2x＋3}(x∈R)的最小值是________；单调递减区间为________．
解析：由题意知，当x2≥2x＋3即x≥3或x≤－1时，f(x)＝x2；
当x2<2x＋3即－1f(x)＝2x＋3.
即f(x)＝
.
作出f(x)的图象(如图)．
可知，f(x)的最小值为f(－1)＝1，
递减区间为(－∞，－1]．
答案：1　(－∞，－1]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．
(1)求a的值及集合A，B；
(2)设全集U＝A∪B，求(?UA)∪(?UB)；
(3)写出(?UA)∪(?UB)的所有子集．
解：(1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0和x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5,2}．
(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.
由补集的概念易得?UA＝{－5}，?UB＝.
所以(?UA)∪(?UB)＝.
(3)(?UA)∪(?UB)的所有子集即为集合的所有子集：?，，{－5}，.
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1a}，U＝R.
(1)求A∪B，(?UA)∩B；
(2)若A∩C≠?，求a的取值范围．
解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1∵?UA＝{x|x<2或x>8}，∴(?UA)∩B＝{x|1(2)∵A∩C≠?，如图易知，只要a在8的左边即可，
∴a<8，即a的取值范围为(－∞，8)．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)(x∈R)的最小值为f(－1)＝0，
(1)求实数a、b的值；
(2)当x∈[－2,2]时，求函数φ(x)＝ax2＋btx＋1的最大值g(t)．
解：(1)由题意可得
f(－1)＝a－b＋1＝0且－＝－1，解得：a＝1，b＝2.
(2)由第(1)可得a＝1，b＝2，
因此φ(x)＝x2＋2tx＋1，
其对称轴为x＝－t；
当t≤0时，对称轴x≥0，
此时g(t)＝φ(－2)＝5－4t，
当t>0时，对称轴x<0，
此时g(t)＝φ(2)＝5＋4t，
∴g(t)＝
20．(本小题满分12分)设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－2)2＋2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．
解：(1)若x<0，则－x>0，f(x)＝f(－x)＝－(－x－2)2＋2＝－(x＋2)2＋2，
则f(x)＝
(2)图象如图所示，
(3)由于方程f(x)－k＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与直线y＝k的交点的横坐标，观察函数y＝f(x)图象与直线y＝k的交点情况可知，当－221．(本小题满分12分)经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受的能力，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，有以下的公式：
f(x)＝
(1)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强呢？
(2)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？
(3)若讲解这道数学题需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？
解：(1)∵f(5)＝53.5，f(20)＝47，
∴f(5)>f(20)
即开讲后5分钟学生的接受能力强．
(2)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1(x－13)2＋59.9，
∵0＜x≤10，∴f(x)max＝f(10)＝59，
当10＜x≤16时，f(x)＝59，
所以开讲后10分钟，学生的接受能力最强，
能维持6分钟．
(3)当0要使f(x)≥55，则6≤x≤20，
但因为0＜x≤10，
所以6≤x≤10；
当10＜x≤16时，f(x)＝59；
当16＜x≤30时，要使f(x)≥55，则16＜x≤.
所以若f(x)≥55时，6≤x≤，即学生在55接受能力下能持续11分20秒，故该老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1图象的上方，试确定实数m的取值范围．
解：(1)由题意设f(x)＝a(x－1)2＋1，
将点(0,3)的坐标代入得a＝2，
所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由(1)知f(x)的对称轴为直线x＝1，
所以2a<1所以0即实数a的取值范围为.
(3)f(x)－2x－2m－1＝2x2－6x－2m＋2，
由题意得2x2－6x－2m＋2>0对于任意x∈[－1,1]恒成立，
所以x2－3x＋1>m对于任意x∈[－1,1]恒成立，
令g(x)＝x2－3x＋1，x∈[－1,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－1，
所以m<－1，故实数m的取值范围为(－∞，－1)．