2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：模块综合检测（二）


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是(　　)
A．A?B　　　　　　　 B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1,2,3,4,5} D．A∩(?UB)＝{1}
解析：选D　A显然错误；A∩B＝{2,3}，B错；A∪B＝{1,2,3,4}，C错，故选D.
2．(2017·山东高考)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：选D　由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，
B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．
3．设f(x)＝则f(f(2))＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　∵f(2)＝log3(22－1)＝1.
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2－2 D．y＝logx
解析：选A　∵y＝x－1是奇函数，y＝logx不具有奇偶性，故排除B、D，又函数y＝x2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C，只有选项A符合题意．
5．函数y＝log2|1－x|的图象是(　　)
解析：选D　函数y＝log2|1－x|可由下列变换得到：y＝log2x→y＝log2|x|→y＝log2|x－1|→y＝log2|1－x|.故选D.
6．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则log2f(2)的值为(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选A　设f(x)＝xα，则＝α，
∴α＝，f(2)＝2，
所以log2f(2)＝log22＝.
7．函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,10)
C．(10,100) D．(100，＋∞)
解析：选B　∵f(1)＝－1＜0，
f(10)＝1－＝＞0，f(100)＝2－＞0，
∴f(1)·f(10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间为(1,10)．
8．设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．c解析：选B　∵a＝60.4>1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4<0，
∴a>b>c.故选B.
9.如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是下列图象中的(　　)
解析：选B　开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.
10．已知函数f(x)＝，则有(　　)
A．f(x)是奇函数，且f ＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且f ＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f ＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且f ＝f(x)
解析：选C　∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，排除A、B.
又f ＝＝＝－f(x)，故选C.
11．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选A　因为f(x)＝m＋2log2x在[1,2]是增函数，且由f(x)≤4，得f(2)＝m＋2≤4，得m≤2.
12．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　)
A．(1,10) B．(5,6)
C．(10,12) D．(20,24)
解析：选C　作出f(x)的大致图象．
由图象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨设a于是lg a＋lg b＝0.
故ab＝1.因而abc＝c.
由图知10二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设U＝R，已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}，且(?UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：∵A＝{x|x＞1}，
∴?UA＝{x|x≤1}．
由B＝{x|x＞a}，(?UA)∪B＝R可知a≤1.
答案：(－∞，1]
14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)
解析：设n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n≤0.2，即2n≥15，解得n≥log215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．
答案：4
15．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a等于________．
解析：∵0＜1，∴f(0)＝20＋1＝2.
∵2＞1，∴f(2)＝4＋2a，
∴f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，
∴a＝2.
答案：2
16．如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．
解析：∵对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．
①函数y＝ex＋x在定义域上为增函数，满足条件．
②函数y＝x2在定义域上不单调．不满足条件．
③y＝当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为①.
答案：①
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|2＜2x＜8}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若B??RA，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，A＝{x|2＜2x＜8}＝(1,3)，B＝{x|a≤x≤a＋3}＝[2,5]，
故A∩B＝[2,3)．
(2)?RA＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．
故由B??RA知，a＋3≤1或a≥3，
故实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)．
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；
(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．
解：(1)由已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4,2)，
则2＝loga4，即a2＝4，
又a＞0且a≠1，所以a＝2.
(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)
＝log2(1－x)＋log2(1＋x)．
由
得－1＜x＜1，定义域为(－1，1)．
(3)g(x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，其单调减区间为[0,1)．
19．(本小题满分12分)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y>0，满足f ＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f <2.
解：(1)在f ＝f(x)－f(y)中，令x＝y＝1，
则有f(1)＝f(1)－f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)∵f(6)＝1，
∴f(x＋3)－f <2＝f(6)＋f(6)．
∴f(3x＋9)－f(6)即f ∵f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，
∴解得－3即不等式的解集为(－3,9)．
20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x(元)(60≤x≤300，x∈N＋)，用y(元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？
解：(1)当60≤x≤90，x∈N＋时，
y＝750x－1 725；当90＜x≤300，x∈N＋时，
y＝[750－3(x－90)]x－1 725，
故f(x)＝
(2)对于y＝750x－1 725,60≤x≤90，x∈N＋，
∵y在[60,90](x∈N＋)上单调递增，
∴当x＝90时，ymax＝65 775.
对于y＝－3x2＋1 020x－1 725＝－3(x－170)2＋84 975，
90＜x≤300，x∈N＋，
当x＝170时，ymax＝84 975.
∵84 975＞65 775，
∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．
21．(本小题满分12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1.
(1)求f(3)＋f(－1)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若x∈A，f(x)∈[－7,3]，求区间A.
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(3)＋f(－1)＝f(3)－f(1)
＝23－1－2＋1＝6.
(2)设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝2－x－1，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋1，
∴f(x)＝
(3)作出函数f(x)的图象，如图所示．
根据函数图象可得f(x)在R上单调递增，
当x＜0时，－7≤－2－x＋1＜0，
解得－3≤x＜0；
当x≥0时，0≤2x－1≤3，
解得0≤x≤2；
∴区间A为[－3,2]．
22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足f(x)－f(x＋1)＝－2x且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[－1,1]时，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的范围；
(3)设G(t)＝f(2t＋a)，t∈[－1,1]，求G(t)的最大值．
解：(1)令f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，代入已知条件，
得
解得故f(x)＝x2－x＋1，
(2)当x∈[－1,1]时，f(x)>2x＋m恒成立，
即x2－3x＋1>m恒成立；
令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，x∈[－1,1]．
则对称轴：x＝?[－1,1]，g(x)min＝g(1)＝－1，
∴m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．
(3)G(t)＝f(2t＋a)＝4t2＋(4a－2)t＋a2－a＋1，t∈[－1,1]，对称轴为：
t＝.
当≥0，即a≤时，如图①：G(t)max＝G(－1)＝4－(4a－2)＋a2－a＋1＝a2－5a＋7.
当<0，即a>时，如图②：
G(t)max＝G(1)＝4＋(4a－2)＋a2－a＋1＝a2＋3a＋3，
综上所述：
G(t)max＝