2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 章末小结与测评

　 　 　章 末 小 结 与 测 评 
比较大小问题
利用指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质比较大小是指数函数、对数函数、幂函数应用的重要体现，是学生必备的一项基本数学技能，也是高考考查内容之一．其基本方法是：将两个需要比较大小的实数看成某类函数的函数值，然后利用该类函数的单调性进行比较；有时也采用搭桥法、图象法、特殊值法、作图法等方法．
[例1]　设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．aC．b[解析]　因为函数y＝0.6x是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b[答案]　C
函数的定义域、值域问题
定义域、值域是函数的两个重要要素，也是高考的一个热点，求函数的定义域时，要找出使解析式有意义的式子，常见的有：分母不为零；偶次根式中，被开方的式子非负；零的零次幂和负数次幂无意义等．对于值域的求法，极其灵活，常用的方法有：直接观察法、分离系数法、换元法、不等式法、函数单调法、数形结合法等．
[例2]　函数f(x)＝的定义域为______．
[解析]　要使f(x)有意义，须满足?x≥3.
[答案]　[3，＋∞)
[例3]　已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.
[解析]　当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．
当0[答案]　－
[例4]　若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
[解析]　当x≤2时，y＝－x＋6≥4.
∵f(x)的值域为[4，＋∞)，
∴当a＞1时，3＋logax＞3＋loga2≥4，∴loga2≥1，
∴1＜a≤2；
当0＜a＜1时，3＋logax＜3＋loga2，不合题意．
故a∈(1,2]．
[答案]　(1,2]
函数的零点与方程根的关系应用
函数与方程的思想密切相关，相互转化，渗透到中学数学的各个领域，在解题中存在着广泛的应用，函数的零点实质上就是对应的方程的根，方程的根的问题可以借助于相应函数的性质来解决，而函数的零点也可以由对应方程的根进行研究．
1．函数零点的个数问题：
[例5]　已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0 B．－2,0
C. D．0
[解析]　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．
综上所述，函数零点为0.
[答案]　D
2．根的分布问题：
[例6]　已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．
[解]　令f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，
若抛物线与x轴的交点落在区间(0,1)内，如图所示．则
?
所以－＜m≤1－.
函数模型的应用
把握函数模型的应用实例类型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实例问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．
[例7]　某商场经营一批进价30元每件的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
销售单价x/元
30
40
45
50
日销售量y/件
60
30
15
0
(1)根据表中提供的数据在坐标系中描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润．
[解]　(1)实数对(x，y)对应的点如图所示，由图可知y是x的一次函数．
设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则
解得
∴f(x)＝－3x＋150,30≤x≤50.
(2)P＝(x－30)(－3x＋150)
＝－3x2＋240x－4 500,30≤x≤50，
∴P为开口向下的二次函数，
对称轴x＝－＝40，且40∈[30,50]．
∴当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是(　　)
A．f(x)＝lnx 　　　　 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ex
解析：选A　由y＝可得定义域是x>0.f(x)＝lnx的定义域x>0；f(x)＝的定义域是x≠0；f(x)＝|x|的定义域是x∈R；f(x)＝ex定义域是x∈R.
2．若幂函数f(x)＝xm－1在(0，＋∞)上是减函数，则(　　)
A．m>1 B．m<1
C．m＝1 D．无法确定
解析：选B　由α<0时，幂函数在(0，＋∞)内单调递减可得m－1<0，解得m<1.
3．已知集合A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝yy＝x，x>2，则A∩B等于(　　)
A. B.
C. D．?
解析：选A　当x>1时，log2x>log21＝0，
当x>2时0<x<2，
∴A＝(0，＋∞)，B＝，∴A∩B＝.
4．函数y＝log2的图象(　　)
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析：选A　本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为(－2,2)关于原点对称，又f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．
5．某城市为保护环境，维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费；每月超过8吨，超过部分加倍收费，某职工某月缴费20元，则该职工这个月实际用水(　　)
A．10吨 B．13吨
C．11吨 D．9吨
解析：选D　设该职工该月实际用水为x吨，易知x＞8.
则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，∴x＝9.
6．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
解析：选C　∵－2<1，
∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.
∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6.
∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
7．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x，若f(x0)＝－9，则x0的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选B　∵当x<0时，f(x)＝x>0，
而f(x0)＝－9<0，
∴x0>0，则－x0<0，∴f(－x0)＝－x0，
又f(x)为奇函数，∴f(－x0)＝－f(x0)．
∴f(x0)＝－f(－x0)＝－－x0
＝－9?3x0＝32?x0＝2.
8．设a＝log2，b＝log23，c＝0.3，则(　　)
A．aC．b解析：选B　由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<0,01.
9．已知函数f(x)＝ax，g(x)＝xa，h(x)＝logax，其中a>0且a≠1，在同一平面直角坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，则正确的是(　　)
解析：选B　本题综合考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，分a>1和010．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ln x，则f 的值为(　　)
A. B．－
C．－ln 2 D．ln 2
解析：选C　设x<0，则－x>0，于是有f(－x)＝ln(－x)．因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝ln(－x)，所以f(x)＝－ln(－x)，x<0.所以f(x)＝则f ＝f(－2)＝－ln 2.
11．已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－4,4) B．[－4,4)
C．(－4,4] D．[－4,4]
解析：选C　∵g(x)＝x2－ax＋3a在[，＋∞)上单调递增，故≤2?a≤4.又g(2)＝22－2a＋3a>0?a>－4.
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0,2)单调递增
B．f(x)在(0,2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称
解析：选C　由题易知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x (2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，所以排除A、B；
又f ＝ln＋ln ＝ln，
f ＝ln＋ln ＝ln，
所以f ＝f ＝ln，所以排除D.故选C.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若xlog23＝1，则f(x)＝3x＋9x的值为________．
解析：由xlog23＝1得x＝＝log32，
∴f(x)＝3log32＋9log32＝2＋(3log32)2＝2＋4＝6.
答案：6
14．若函数f(x)＝lg(－x)为奇函数，则实数a的值为________．
解析：∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＋f(x)＝0，即lg(＋x)＋lg(－x)＝0，
∴lg[(x2＋a)－x2]＝0?lga＝0?a＝1.
答案：1
15．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.
解析：可知A＝(0,4]，若A?B即(0,4]?(－∞，a)，
则a>4，而a的取值范围为(c，＋∞)，∴c＝4.
答案：4
16．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 018)＋f(2 019)的值为________．
解析：f(－2 018)＝f(2 018)＝f(0＋2×1 009)＝f(0)，
f(2 019)＝f(1＋2×1 009)＝f(1)，
∴f(－2 018)＋f(2 019)＝log21＋log22＝0＋1＝1.
答案：1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求值：
(1)0＋2－2·|－0.064－；
(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＋(log33)2＋ln－lg 1.
解：(1)原式＝1＋×－＝－.
(2)原式＝·＋＋－0
＝·＋＝＋＝2.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，
所以函数图象过点(－3,0)，(2,0)，
所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0，②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.
因为a≠0，a＝－3，所以b＝a＋8＝5.
所以f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－32＋，图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
所以函数f(x)在[0,1]上为单调递增函数，
所以fmin(x)＝f(1)＝12，fmax(x)＝f(0)＝18，
所以函数f(x)的值域是[12,18]．
19．(本小题满分12分)设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
解：(1)因为f(x)＝＋是R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，即＋＝＋，故(ex－e－x)＝0，又ex－e－x不可能恒为0，所以当－a＝0时，f(x)＝f(－x)恒成立，故a＝1.
(2)证明：在(0，＋∞)上任取x1则f(x1)－f(x2)＝e＋－e－
＝(e－e)＋
＝(e－e)＋(e－e)·
＝，
又e>1，x1>0，x2>0，所以1所以e－e<0，ee－1>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3 x的反函数经过点(18，a＋2)，设g(x)＝3ax－4x的定义域为区间[－1,1]，
(1)求g(x) 的解析式；
(2)若方程g(x)＝m有解，求m的取值范围．
解：(1)∵f(x)的反函数过点(18，a＋2)．
∴f(x)的图象过点(a＋2,18)．
∴f(a＋2)＝3a＋2＝18，∴3a＝2，
∴g(x)＝2x－4x，x∈[－1,1]．
(2)g(x)＝－(2x)2＋2x＝－2＋，
∵－1≤x≤1∴≤2x≤2，
设2x＝t，可知－2＋在t∈上单调递减，
∴当t＝时，g(x)取最大值为，
t＝2 时， g(x)取最小值为－2.
要使方程g(x)＝m有解，
只要使m∈，
故m 的取值范围为.
21．(本小题满分12分)某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p(件)与销售价格x(元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．
(1)写出周销售量p(件)与销售价格x(元)的函数关系式；
(2)写出利润周利润y(元)与销售价格x(元)的函数关系式；
(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
解：　(1)由题设知，当12≤x≤20时，设p＝ax＋b，
则∴a＝－2，b＝50.
∴p＝－2x＋50，
同理得，当20＜x≤28时，p＝－x＋30，
所以p＝
(2)当12≤x≤20时，
y＝(x－12)(－2x＋50)－20＝－2x2＋74x－620；
当20＜x≤28时，y＝(x－12)(－x＋30)－20＝－x2＋42x－380.
∴y＝
(3)当12≤x≤20时，y＝－2x2＋74x－620，
∴x＝时，y取得最大值.
当20＜x≤28时，y＝－x2＋42x－380，
∴x＝21时，y取得最大值61.
∵＞61，∴该消费品销售价格为时，周利润最大，最大周利润为.
22．(本小题满分12分)函数f(x)＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，如[1.6]＝1，[2.2]＝2，已知0≤x<4.
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)记函数g(x)＝x－f(x)，在平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象；
(3)若方程g(x)－loga＝0(a>0，且a≠1)有且仅有一个实根，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝
(2)g(x)＝x－f(x)＝图象如图所示．
(3)方程g(x)－loga＝0有且仅有一个实根等价于g(x)与h(x)＝loga的图象有且仅有一个交点，作出函数图象如图所示．
由图象可知当0＜a＜1时，h(1)＝loga≥1＝logaa，
解得≤a＜1；当a＞1时，h(2)＝loga＞1＝logaa或
解得1＜a＜或＜a≤.
综上，a的取值范围是∪∪.