2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.1 2．1.1　指数概念的推广

2．1指数函数
2．1.1　指数概念的推广
n次方根及根式的概念
1．4的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？
2．－27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？
3．一般地，实常数a的平方根、立方根是怎么定义的？
4．如果x4＝a，x5＝a，x6＝a，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？
同学们思考一下，上面的问题推广到一般情形，a的n次方根应该怎样定义？
根式及相关概念
1．a的n次方根的定义
若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，就说x是a的n次方根．
(1)当n是奇数时，数a的n次方根记作.
(2)当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，其中正的n次方根叫作算术根，记作.
2．式子叫作根式(n∈N，n≥2)，n叫做根指数，a叫作被开方数．
1．下列说法正确的个数是(　　)
①64的6次方根是2；②的运算结果是±2；③负数没有偶次方根．
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
[提示]　64的6次方根是±2；＝2；③正确，选B.
2．若(x－1)4＝a(a>0)，则x＝________.
[提示]　x－1＝±，∴x＝1±.
根式的性质
1．()3，()5，()4分别等于什么？一般地()n等于什么？
2.，，，分别等于什么？一般地等于什么？
根式的性质
(1)当n为奇数时，＝a；
(2)当n为偶数时，＝|a|.
下列各式正确的个数是(　　)
① ＝－3；②[]2＝－3；③()3＝；④＝－.
A．1 B．2
C．3 D．4
[提示]　＝＝3，
[]2＝9.
()3＝－4＝，
＝＝－2＝－.
故③、④正确．故选B.
正数的分数指数幂
观察以下各式是否正确，若正确，你可以得出什么结论？
(1) ＝＝34＝3；
(2) ＝＝53＝5；
(3)＝ ＝3；
(4)＝＝3.
当a>0，m，n∈N且n≥2时，规定＝a，＝a.
1．下列各式正确的是(　　)
A.＝　　　　 B.＝a
C.＝ D．a0＝1
[提示]　＝＝；
＝|a|＝；
a0＝1，但a≠0，只有C正确．
2．下面各等式中成立的是(　　)
A．a＝ B．a＝
C．a＝± D．a＝(a>0)
[提示]　a＝，a＝，a＝.故选A.
有理指数幂的运算性质
1．如果规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，那么，在a>0时，对于任意有理数m，n仍有公式：
am·an＝am＋n，＝am－n，
(am)n＝amn，(ab)m＝ambm.
()m＝(b≠0)．
2．ar与1的大小关系
(1)对任意的正有理数r和正数a，若a>1，则ar>1，若a<1，则ar<1.
(2)对任意的负有理数r和正数a，若a>1，则ar<1，若a<1则ar>1.
用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)．
(1) ·；(2) ；
(3) · ；(4)()2·.
[提示]　(1) ·＝a·a＝a＝a；
(2) ＝a·a·a＝a＝a；
(3)·＝a·a＝a＝a；
(4)()2·＝(a)2·(ab3)
＝a·ab
＝ab＝ab.
根式的化简与求值
[例1]　计算或化简下列各式．
(1) ＋＋；
(2) ；
(3) (x＜π，n∈N＋)．
[思路点拨]　根据根式的性质直接求解，注意根指数的奇偶性．
[解]　(1)原式＝－6＋|－4|＋(－4)
＝－6＋4－＋－4＝－6.
(2)原式＝|a－b|＝
(3)∵x＜π，∴x－π＜0.
当n为偶数时，
＝| x－π|＝π－x；
当n为奇数时，
＝x－π.
综上可知，＝
借题发挥
对于
当n为奇数时，无需考虑a的正负，恒有＝a；当n为偶数时，＝|a|＝，可见n的奇偶性对的值会产生影响，为避免出错，当n为偶数时，去掉根号后应先加绝对值，然后根据绝对值的意义去绝对值号，对此应注意理解，并能熟练应用.
　　
1．若 ＝1－2a，则a的取值范围是________．
解析： ＝＝|2a－1|＝1－2a.
∴2a－1≤0，得a≤.
答案：
2．化简 ＋ .
解：原式＝ ＋ 
＝＋
＝＋＝2π.
根式与分数指数幂的互化
[例2]　将下列根式化成分数指数幂的形式．
(1) (a>0)；
(2)；
(3)() (b>0)．
[思路点拨]　根据分数指数幂的意义以及运算性质转化．
[解]　(1)原式＝ ＝＝(a)＝a.
(2)原式＝＝＝
借题发挥
(1)此类问题应熟练应用a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)，当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
(2)分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化.
　　
3．化简下列各式．
(1)[]；(2) .
根式、分数指数幂的综合运算
[例3]　计算下列各式．
(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0.
(2)－＋＋[(0.064)－2.5]－π0.
(3)(2ab)(－6ab)÷(－3a·b)．
[思路点拨]　先把根式化为分数指数幂，然后根据指数幂的运算性质进行计算．
[解]　(1)原式＝(－1)＋－＋1
＝＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝－＋＋－1＝－＋＋－1－1＝3.
(3)原式＝4a·b＝4ab0＝4a.
借题发挥
(1)指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
(2)根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.
　　
1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)
A．(－1)和(－1)　　 B．0－2和0
C．2和4 D．4和－3
解析：选C　选项A中，(－1)和(－1)均符合分数指数幂的定义，但(－1)＝＝－1，(－1)＝＝1，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4和－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，2＝，4＝＝2＝，满足题意．故选C.
2．若(1－2x)有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x∈R B.∪
C. D.
解析：选D　(1－2x)＝，
∴1－2x>0，得x<.
3．下列根式和分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝(－x)(x≠0)
B．x＝－(x≠0)
C.＝(x，y>0)
D.＝y(y<0)
解析：选C　－中，x>0，则(－x)＝无意义，A不正确；x＝＝≠－，B不正确；C正确．
对于D，∵y<0，∴＝|y|＝|y|＝－y，D不正确．
4．已知＋b＝1，则＝________.
解析：利用＋b＝1的关系消去b，即＝32a×3×3＝3＝3.
答案：3
5．设|a|<3，化简－＝________.
解析：原式＝|a－1|－|a＋3|，
又－3当1答案：
6．计算下列各式．
(1)(0.027)－(6)＋(2)－3－1＋π0；
(2)  ÷.
解：(1)原式＝－＋(2)－＋1
＝－＋－＋1＝－.
(2)原式＝(aa)÷(a·a)＝(a)÷(a)＝a.
某同学给出了下列两道题的具体解法，你发现该同学的解答是否有错误？若有，你能指出错点及错因并给出正确的解法吗？
(1)化简： ＋|3－x|.
解：原式＝ ＋|3－x|＝x－2＋3－x＝1.
(2)化简：(1－a)[(a－1)－2(－a)].
解：原式＝(1－a)(a－1)－1(－a)＝－(－a).
(1)题有错误．错在去根号与去绝对值号上，错因在于未准确理解偶次方根和绝对值的意义，误认为＝a，|a|＝a.
(2)题也有错误，错在乘方的运算上，认为[(a－1)－2]＝(a－1)－1.错因在于忽略了题中(－a)成立的条件，实际上，－a≥0，则a≤0，那么[(a－1)－2] ＝(1－a)－1.
正确解法是：
(1)原式＝＋|3－x|
＝|x－2|＋|x－3|＝，
(2)由(－a)知－a≥0，
即a≤0，∴a－1<0.
∴原式＝(1－a)·(1－a)－1·(－a)
＝(1－a)0·(－a)＝(－a).
一、选择题
1．下列等式一定成立的是(　　)
A．a·a＝a　　　　 B．a·a＝0
C．(a3)2＝a9 D．a÷a＝a
2.＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞)
B．[2,4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析：选B　要使原式有意义，应满足
得a≥2且a≠4.
3．若102x＝25，则10－x等于(　　)
A．－ B.
C. D.
解析：选D　由102x＝25得：(10x)2＝25，
∴10x是25的平方根．
由于10x>0，∴10x＝5，
∴10－x＝＝.
二、填空题
5．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
解析：由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
答案：　2
6．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝________.
解析：(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝4x－33－4x＋4＝－23.
答案：－23
三、解答题