2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.1 2．1.2　第二课时　指数函数及其性质的应用

2．1.2　指数函数的图象和性质
第二课时　指数函数及其性质的应用
利用指数函数的单调性比较大小
[例1]　比较下列各组数的大小．
(1)0.80.5与－0.4；(2)40.9,80.48，－1.5；
(3)0.6－2与.
[思路点拨]　(1)(2)化为同底后利用函数单调性进行比较．(3)中引入中间数1.
[解]　(1)－0.4＝0.4＝0.80.4，
∵函数y＝0.8x在定义域R上是减函数，
又∵0.5>0.4，∴0.80.5<0.80.4，即0.80.5<()－0.4.
(2)∵40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定义域R上为增函数，
∴21.8>21.5>21.44，即40.9>－1.5>80.48.
(3)∵0.6－2>0.60＝1，<0＝1，
∴0.6－2>.
借题发挥
比较函数值的大小的常见方法：(1)利用函数单调性比较，此法用于可化为同底的式子；(2)中间值法，即当两个数不易比较时，可找介于两值中间且与题中两数都能比较大小的一个中间值，进而利用中间值解决问题.
　　
1．比较下列各组数的大小：
(1)0.90.1与0.90.2；
(2)－π与1；
(3)2.3－0.28与0.67－3.1.
解：(1)0.90.1,0.90.2可看作函数y＝0.9x
的两个函数值，
由于底数0.9<1，所以指数函数y＝0.9x
在R上是减函数，
因为0.1<0.2，所以0.90.1>0.90.2.
(2)考察函数y＝x，∵0<<1，
∴函数y＝x在(－∞，＋∞)上是减函数．
又－π<0，∴－π>0＝1.
(3)由指数函数的性质，知
2．3－0.28<2.30＝1,0.67－3.1>0.670＝1，
所以2.3－0.28<0.67－3.1.
解简单的指数不等式
[例2]　已知不等式a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)，试求x的取值范围．
[思路点拨]　根据指数函数的单调性，就a的取值分类讨论求解．
[解]　(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，由于a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，x的取值范围是
当0当a>1时，x≤－6.
借题发挥
解af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为：
　　
2．解不等式：≤2.
解：∵＝(2－1)＝2，
∴原不等式等价于2≤21.
∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤1，
∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．
与指数函数有关的复合函数的单调性问题
[例3]　已知a>0且a≠1，讨论函数f(x)＝a的单调性．
[思路点拨]　这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性的题目，指数－x2＋3x＋2＝－2＋，当x≥时是减函数；当x<时是增函数，而f(x)的单调性又与a 的取值范围有关，应分类讨论．
[解]　设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，
则当x≥时，u是减函数，
当x<时，u是增函数．
又因为当a>1时，y＝au是增函数，
当0所以当a>1时，原函数f(x)＝a在上是减函数，在上是增函数．
当0借题发挥
求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x) 的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；若两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定要注意复合函数的定义域.
　　
3．函数y＝的单调增区间是________．
解析：令u＝x2－3x＋2＝2－，y＝u在定义内是减函数，而求y＝的增区间，只需求u的减区间，
∴x∈.
答案：
1．已知指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．2
C．4 D.
解析：选B　∵指数函数在其定义域内是单调函数，
∴端点处取得最大、小值，
∴a0＋a＝3，故a＝2.
2．下列不等关系中，正确的是(　　)
A.<1< B.<<1
C．1<< D.<<1
解析：选D　∵函数y＝x在R上是减函数，
而0<<，∴<<0，
即<<1.
3．(2017·北京高考)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：选A　因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，
所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．
又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，
所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．
4．已知函数f(x)＝a－x(a>0且a≠1)满足f(－2)>f(－3)，则函数g(x)＝a的单调增区间是________．
解析：f(－2)>f(－3)，即a2>a3，显然0则y＝at在定义域内单调递减，故应求函数t＝1－x2的减区间，
易知为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
5．若函数f(x)＝ax－1(a>0且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a的值是________．
解析：当a>1时，f(x)为增函数．
∴当0≤x≤2时，
f(0)≤f(x)≤f(2)，
即a0－1≤f(x)≤a2－1，
这时f(x)的值域为[0，a2－1]，
令a2－1＝2得a＝.
当0∴当0≤x≤2时，
f(2)≤f(x)≤f(0)．
即a2－1≤f(x)≤0，显然不合题意，
故a＝.
答案：
6．已知0≤x≤2，试求函数y＝x－x＋1的最大值和最小值．
解：y＝2－x＋1，
令t＝x，则y＝t2－t＋1，
即y＝2＋.
当0≤x≤2时，由于t＝x为减函数．
∴2≤t≤0，即≤t≤1.
结合二次函数的图象可知，
当t＝时，y取最小值为.
当t＝1时，y取最大值为2＋＝1.
故y＝x－x＋1的最大值为1，最小值为.
谈谈你对复合函数单调性的认识？
本课时涉及到形如y＝af(x)的复合函数的单调区间问题，对该类问题的解答，既要考虑f(x)的单调区间，又要讨论a的取值范围，其单调性要看参与复合的两个函数的单调性是否相同，同则增，异则减，即同增异减，可见下表所示：
y＝au
u＝f(x)
?
y＝af(x)
a>1
u∈(－∞，∞)↑
x∈[m，n]↑
x∈[m，n]↓
?
x∈[m，n]↑
x∈[m，n]↓
0u∈(－∞，＋∞)↓
x∈[m，n]↑
x∈[m，n]↓
?
x∈[m，n]↓
x∈[m，n]↑
对于解含有指数函数的复合函数的单调性的判断(或证明)问题，可利用定义法或复合函数单调性法，但应注意中间变量的取值范围以及定义域．如函数y＝4x－2·2x的单调性问题，可由y＝t2－2t及t＝2x的单调性确定，但在求解过程中需要考虑t＝2x在x为何值时大于1，为何值时小于1.
一、选择题
1．下列判断正确的是(　　)
A．2.52.5＞2.53　　　　　 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
解析：选D　∵y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
∴0.90.3＞0.90.5.
2．函数y＝4x－2x的单调递增区间是(　　)
A．[，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(－∞，] D．(－∞，－1]
解析：选B　令t＝2x，则y＝t2－t＝2－(t>0)．
∵t＝2x是增函数，
∴应求y＝t2－t的增区间，
可知为，
令2x≥，得x≥－1，
故所求增区间为[－1，＋∞)．
3．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x(a＞－1且a≠0)在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0) B．(0,1]
C．(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：选B　∵函数t＝1－x在[1,2]上是减函数，
而g(x)在区间[1,2]上为减函数，
∴函数y＝(a＋1)t应为增函数，故a＋1>1即a>0；
f(x)图象的对称轴为x＝a，
由题意知，04．函数f(x)＝的图象(　　)
A．关于原点对称
B．关于y轴对称
C．关于x轴对称
D．关于直线y＝x对称
解析：选B　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
又f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)的图象关于y轴对称．
二、填空题
5．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
解析：∵a2＋a＋2＝2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x.即x>.
答案：
6．若函数f(x)＝则不等式f(x)≥的解集为________．
解析：(1)当x≥0时，由f(x)≥得x≥，
∴0≤x≤1.
(2)当x＜0时，不等式≥明显不成立，综上可知不等式f(x)≥的解集是0≤x≤1.
答案：0≤x≤1
三、解答题
7．比较下列各组数的大小：
(1)－1.5与－2.3；
(2)0.8－2与；
(3)0.4－2.5,2－0.2,21.6.
解：(1)函数单调性法
∵0＜＜1，
∴y＝x在定义域R上是减函数．
又∵－1.5>－2.3，
∴－1.5<－2.3.
(2)中间值法
∵0.8－2>0.80＝1，＜0＝1，
∴0.8－2>.
(3)∵2－0.2<20＝1,0.4－2.5＝2.5，
又2.5＞1.6＞21.6>1，
∴0.4－2.5>21.6>2－0.2.
8．设函数f(x)＝－，
(1)证明函数f(x)是奇函数；
(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
解：(1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－－＋
＝.
因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，
所以f(x)min＝f(1)＝，
f(x)max＝f(2)＝.
所以函数f(x)在[1,2]上的值域为.