2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.1 2．1.2　第一课时 指数函数的图象和性质

2．1.2　指数函数的图象和性质
第一课时　指数函数的图象及性质
指数函数的定义
1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个．……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x之间，构成一个函数关系，你能写出x与y之间的函数关系式吗？
2．质量为1的某种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的50%，那么这种物质的剩留量y与时间x(单位：年)有何函数关系？
观察以上两个函数的形式特点，它们有何共同特征？你能类比得出这类函数的解析式的一般形式吗？
指数函数的定义
函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．
1．给出下列函数：
①y＝2－x；②y＝2x＋1；③y＝3·2x；④y＝－2x；
⑤y＝(－2)x；⑥y＝x2；⑦y＝πx；⑧y＝(a－1)x(a>1且a≠2)．
其中是指数函数的是________．(填序号)
[提示]　根据指数函数的定义判断，只有⑦、⑧是指数函数．
2．你能概括出指数函数解析式的结构特征吗？
[提示]　(1)底数：大于零且不等于1的常数；
(2)指数：只含自变量x；
(3)系数：等于1.
指数函数的图象与性质
试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝x(x∈R)的图象，并仔细观察图象，回答：
(1)这两个函数的图象具有什么几何特征？
(2)它们的值域是什么？
(3)你能归纳出它们具有怎样的性质？推广到一般呢？
指数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域
R
值域
R＋
过定点
过点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值
的变化
当x>0时，y>1；
当x<0时，0当x>0时，0当x<0时，y>1.
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
1．若函数y＝(a－1)x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
[提示]　根据指数函数的单调性可知，0∴12．若函数y＝f(x)是指数函数，且其图象过(－2,9)．则该函数的解析式是________．
[提示]　设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
则f(－2)＝a－2＝9，
即2＝9，∴是9的平方根．
又>0，∴＝3，得a＝.∴f(x)＝x.
指数函数概念的理解应用
[例1]　(1)下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.
其中，指数函数的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
(2)已知函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，试求a的值．
[思路点拨]　根据指数函数的定义求解．
[解]　(1)选B　①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，y＝3x,3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．
(2)∵y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数．
∴解得：，
∴a＝2.
借题发挥
判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构，否则就不是指数函数．其中，规定底数a大于零且不等于1的原因：
①如果a＝0，则.
②如果a<0，则对于一些函数，比如y＝(－4)x，当x＝，x＝…时，在实数范围内函数值不存在．
③如果a＝1，则y＝1x＝1是个常量，就没有研究的必要了.
　　
1．下列函数一定是指数函数的是(　　)
A．y＝(a2－a＋1)x(a为常数)
B．y＝22x＋1
C．y＝(|m|＋2)x(m为常数)
D．y＝x2
解析：选C　对于A，a2－a＋1＝2＋≥，有可能等于1.故不一定是指数函数；对于B，是复合函数．而C中，|m|＋2≥2，符合指数函数的定义；对于D，自变量x在底数上，不是指数函数．
有关指数函数的定义域和值域
[例2]　求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝2；
(2)y＝－|x|.
[思路点拨]　可利用换元法将函数转化为指数函数，然后根据指数函数的定义域结合图象求其值域．
[解]　(1)令t＝，
∵x∈R且x≠4.∴t≠0.
∴y＝2t∈(0,1)∪(1，＋∞)，
故原函数的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，
值域为(0,1)∪(1，＋∞)．
(2)令t＝－|x|，可知x∈R，∴|x|≥0，t≤0.
∴y＝t∈[1，＋∞)
故原函数的定义域为R，值域为[1，＋∞).
借题发挥
指数型函数的定义域、值域的求法
(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型，前者的定义域是R，后者的定义域与f(x)的定义域一致，而求y＝型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．
(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性.
　　
2．求下列函数的定义域和值域．
(1)y＝5；(2)y＝ .
解：(1)令t＝，则y＝5t.
∵1－x≥0.∴x≤1，而t≥0.∴5t≥1，
∴原函数的定义域为(－∞，1]，值域为[1，＋∞)．
(2)∵2－x≥0，∴x≤2，
即x≥－1，
∴函数y＝ 的定义域为[－1，＋∞)．
令t＝x，∴0＜t≤2，
∴0≤2－t<2，
0≤<，
∴y＝ 的值域为[0，)．
指数函数图象的简单应用
[例3]　如图是指数函数①y＝ax(a>0，且a≠1)，②y＝bx(b>0，且b≠1)，③y＝cx(c>0，且c≠1)，④y＝dx(d>0，且d≠1)的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A．aC．1[思路点拨]　可根据图象的变化特征结合指数函数的单调性初步确定与1的大小，再根据对数的性质判定具体的大小关系．也可令x取特值，观察特殊点的高底来确定．
[解析]　法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右侧，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有b法二：设直线x＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A，B，C，D，则
其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c>d>1>a>b.
[答案]　B
借题发挥
当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近于x轴．简称x>0时，底大图象高.
　　
3．如图是指数函数f(x)＝ax的图象，已知a的值取，，，，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的选项依次是(　　)
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
解析：选D　法一：可分两类：C3，C4的底数一定大于1，C1，C2的底数小于1，然后再分别比较C3，C4的大小及C1，C2的大小．
法二：令x＝1，由图可知：C4>C3>C2>C1.
1．下列函数中指数函数的个数为(　　)
①y＝x－1；②y＝2·3x；③y＝ax(a>0且a≠1，x≥0)；④y＝1x；⑤y＝2x－1.
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．4 D．5
解析：选A　由指数函数的定义可判定，只有③正确．
2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b＜0　　 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0　D．0＜a＜1，b＜0
解析：选D　从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
3．若函数f(x)与g(x)＝x的图象关于y轴对称，则满足f(x)>1的x的取值范围是(　　)
A．R B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C　根据对称性作出f(x)的图象，由图象可知，满足f(x)>1的x的取值范围为(0，＋∞)．
4．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，则该函数的值域是________．
解析：f(2)＝a＝，
∴f(x)＝x－1(x≥0)，
令t＝x－1，由x≥0知t≥－1，
∴0<t≤－1＝2.
∴f(x)的值域为(0,2]．
答案：(0,2]
5．设f(x)＝则f(f(－2))＝________.
解析：因为－2<0，
所以f(－2)＝2－2＝>0，
所以f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝.
答案：
6．定义一种新的运算“?”：a?b＝作出函数y＝2x?2－x的图象，并写出该函数的定义域与值域．
解：当x≤0时，2x≤2－x，y＝2x，
当x>0时，2x>2－x，y＝2－x，
所以y＝ 其定义域为
R，值域(0,1]，
图象如图所示．
作函数的图象除了利用列表描点的方法之外，往往我们还可以利用较为熟悉的函数图象，经过平移、对称变换等手段得到．已知函数f(x)＝x，你能用图象变换的方式作出函数f(x＋1)，－f(x)，f(－x)和f(x＋1)＋2的图象吗？怎样才能得到？并且是否能得出一个一般性的结论？
要想得到f(x＋1)和f(x＋1)＋2的图象，可以利用f(x)＝x的图象经过平移变换得到，其变换途径如下：
f(x)＝x的图象f(x＋1)的图象f(x＋1)＋2的图象．
函数－f(x)和f(－x)的图象可由f(x)＝x的图象通过对称变换得到．首先作出f(x)的图象，再作f(x)关于x轴对称的图象即是－f(x)的图象；作f(x)关于y轴对称的图象，即得f(－x)的图象．
可以得出一般性的结论：
(1)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
所以以上函数的图象可以通过对称变换得到．
(2)由y＝f(x)的图象得y＝f(x＋a)＋b的图象，可通过平移变换得到，其途径为：
y＝f(x)的图象
一、选择题
1．函数y＝＋2的定义域是(　　)
A．{x|－≤x≤}　　　　 B．{x|1≤x≤}
C．{x|x≥1} D．R
解析：选B　由得1≤x≤.
2．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象只能是下列图中的(　　)
解析：选A　抛物线的对称轴为x＝－.
由y＝x的图象可知，0<<1.
∴－<－<0，观察抛物线图象可知选A.
3．当x>0时，指数函数f(x)＝(a－1)x<1恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(1,2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析：选B　由于x>0时，(a－1)x<1恒成立，结合指数函数的图象可知，04．函数y＝的值域是(　　)
A.∪(0，＋∞)
B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
D.∪(2，＋∞)
解析：选A　由y＝得：2x＝，
∵2x>0.∴>0.∴y>0或y<－.
二、填空题
5．函数y＝ax＋1(a>0且a≠1)的图象必经过点________(填点的坐标)．
解析：∵指数函数y＝ax恒过定点(0,1)．
∴y＝ax＋1的图象必过点(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)且f(1)＝3，则f(0)＋f(1)＋f(2)＝________.
解析：∵f(1)＝a＋a－1＝3.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)
＝(a0＋a－0)＋(a＋a－1)＋(a2＋a－2)
＝5＋(a＋a－1)2－2＝3＋32＝12.
答案：12
三、解答题
7．已知指数函数f(x)＝ax在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：由指数函数的概念知a>0，a≠1.
当a>1时，函数f(x)＝ax在区间[1,2]上是增函数，所以当x＝2时，
f(x)取最大值a2，
当x＝1时，f(x)取最小值a，
由题意得a2＝a＋，即a2＝a，
因为a>1，所以a＝；
当0综上可知，a的值为或.
8．求下列函数的值域．
(1)y＝；
(2)y＝4x＋2x＋2＋5.
解：(1)令t＝，
由－x2＋2x≥0得0≤x≤2，
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
∴0≤－x2＋2x≤1，即0≤t≤1，
∵函数y＝t是减函数．
∴≤t≤1，∴函数的值域为.
(2)y＝4x＋2x＋2＋5＝(2x)2＋4×2x＋5，
令2x＝t，t>0，
则t2＋4t＋5＝(t＋2)2＋1，
∵函数(t＋2)2＋1在t>0上为增函数，
∴t2＋4t＋5>5，
即y＝4x＋2x＋2＋5的值域为(5，＋∞)．