2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.2 2．2.1　对数的概念和运算律

2．2对数函数
2．2.1　对数的概念和运算律
对数的概念
1．对数及相关概念
如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的底，N叫作对数的真数．
2．对数恒等式
(1)alogaN＝N.
(2)b＝logaab.
把下列各等式化为相应的对数式或者指数式．
(1)53＝125；
(2)－2＝16；
(3)log8＝－3.
[提示]　利用指数式与对数式间的等价关系．
(1)∵53＝125，∴log5125＝3.
(2)∵－2＝16，∴log16＝－2.
(3)∵log8＝－3，∴－3＝8.
对数的运算法则
(1)计算下列各式的值：
①log24，log28，log232，
②log39，log327，log334.
(2)你发现，log232＝log2(4×8)＝________.
log3(9×27)＝________.
(3)若logaM＝x，logaN＝y，其中a>0且a≠1，M，N>0，你可以猜想loga(MN)＝________.
(4)同类似的方法，你可以猜想loga，logaMn各等于什么吗？若你能肯定你的猜想正确，你能给出推理证明吗？
对数的运算性质：
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，
(2)logaMn＝nlogaM，
(3)loga＝logaM－logaN.
1．logab＝1成立的条件是(　　)
A．a＝b　　　　　　　 B．a＝b且b>0
C．a>0且a≠1 D．a>0，a＝b≠1
[提示]　D
2．判断下列各式的正误并说明理由：
(1)lg[(－8)×(－3)]＝lg(－8)＋lg(－3)；
(2)log2(4＋8)＝log24·log28；
(3)log525＝log552＝(log55)2.
[提示]　(1)，(2)，(3)均不正确，(1)是真数小于零没有意义，(2)(3)是使用运算性质不正确.
常用对数和自然对数
(1)以10为底的对数称为常用对数，以e为底的对数称为自然对数．
(2)为了方便通常将常用对数和自然对数简写为：
log10N＝lgN，logeN＝lnN.
用对数表示下列关系式中的x.
(1)2x＝32；(2)x＝8；(3)ex＝8.27；(4)10x＝1 000.
[提示]　(1)x＝log232；(2)x＝log8；(3)x＝ln8.27；
(4)x＝lg1 000.
指数式与对数式的互化
[例1]　将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)43＝64；(2)3－2＝；(3)－3＝64；
(4)log216＝4；(5)log27＝－3；(6)logx＝6.
[思路点拨]　依据ax＝N?x＝logaN进行转化．
[解]　(1)log464＝3.
(2)log3＝－2.
(3)log64＝－3.
(4)24＝16.
(5)－3＝27.
(6)()6＝x.
借题发挥
(1)对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值N，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图．
(2)在指数式ab＝N中，若已知a，N，求幂指数b，便是对数运算b＝logaN.
　　
1．若logx＝z，则(　　)
A．y7＝xz　　　　　　　　 B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
解析：选B　logx＝z?xz＝?y＝(xz)7＝x7z.
对数的概念与基本性质的应用
[例2]　求下列各式中x的值．
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)x＝log27；(4)x＝log16.
[思路点拨]　解答时，可利用对数的性质求解．
[解]　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
(3)由x＝log27，得27x＝，∴33x＝3－2，∴x＝－.
(4)由x＝log16，得x＝16，
∴2－x＝24，∴x＝－4.
借题发挥
(1)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
(2)求解简单对数方程可利用对数定义化为指数式求解.
　　
2．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求·y的值．
解：∵log2(log3(log4 x))＝0，
∴log3(log4 x)＝1，
∴log4x＝3，∴x＝43＝64.
由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，
∴y＝24＝16.
因此·y＝×16＝8×8＝64.
对数的运算性质的应用
[例3]　计算或化简下列各式．
(1)log3＋lg25＋lg4＋7＋(－9.8)0；
(2)lg52＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；
(3)loga－loga＋loga(a>0且a≠1)．
[思路点拨]　利用积、商、幂的对数的运算法则求解．
[解]　(1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1
＝＋lg102＋3＝＋2＋3＝.
(2)法一：原式＝2lg5＋2lg2＋lg5·(1＋lg2)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)
＝2＋lg5＋lg2＝2＋1＝3.
法二：原式＝2lg5＋lg23＋lg5(lg22＋lg5)＋(lg2)2
＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2
＝2＋(lg5＋lg2)2
＝2＋1＝3.
(3)法一：原式＝logaa－logaa－n＋logaa
＝logaa＋nlogaa－logaa
＝＋n－＝n.
法二：原式＝loga＝logaan＝nlogaa＝n.
借题发挥
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(2)在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，避免出现log5(－10)2＝2log5(－10)等形式的错误．另外对数运算性质是可逆的，注意公式的逆用在解题中的作用．
(3)除了教材中介绍的对数的三个运算性质外，logabm＝logab在解题中也较常用.
　　
3．求下列各式的值：
(1)7；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；
(3).
解：(1)原式＝7＝7＝.
(2)法一：原式＝2＋2lg2－(lg2)2
＝(1－lg2)2＋2lg2－(lg2)2
＝1－2lg2＋(lg2)2＋2lg2－(lg2)2＝1.
法二：原式＝[(lg5)2－(lg2)2]＋2lg2
＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2
＝lg10·(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5－lg2＋2lg2
＝lg5＋lg2＝lg10＝1.
(3)原式＝
＝＝＝1.
1．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是(　　)
A．x≥1
B．x<1
C．x<－2且x≠2
D．x>1且x≠2
解析：选D　由对数的定义知，
得：x>1且x≠2.
2．化简log612－2log6的结果为(　　)
A．6　　　　　　　　 B．12
C．log6 D.
解析：选C　法一：原式＝log6(6×2)－2log62
＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.
法二：原式＝log6－log62＝log6＝log6.
3．计算÷100＝________.
解析：÷100＝－2÷＝－20.
答案：－20
4．已知a＝(a>0)，则loga＝________.
解析：设loga＝x，则a＝x，
又a＝，
∴＝2，即＝2，
∴＝2，解得x＝3.
答案：3
5．计算下列各式的值：
(1)lg12.5－lg＋lg；
(2)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
(3)log2(log264)．
解：(1)原式＝lg＝lg10＝1.
(2)原式＝lg[25×2×10×(10－2)－1]
＝lg(5×2×10×102)＝lg10＝.
(3)原式＝log2(log226)＝log26＝1＋log23.
在使用对数运算性质解题时应注意什么？
在运算过程中避免出现以下错误：
loga(MN)＝logaM·logaN.loga＝.
logaNn＝(logaN)n.logaM±logaN＝loga(M±N)．
要特别注意它的前提条件：a>0，a≠1，M>0，N>0，尤其是M，N都是正数这一条件，否则M，N中有一个小于或等于0，就导致logaM或logaN无意义，另外还要注意，M>0，N>0与M·N>0并不等价．
一、选择题
1．已知a＝log32，用a表示log38－2log36是(　　)
A．a－2　　　　　　　　 B．5a－2
C．3a－(1＋a)2 D．3a－a2－1
解析：选A　log38－2log36
＝log323－2log3(2×3)
＝3log32－2(log32＋1)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.
2．化简：的结果是(　　)
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C　由对数运算可知：
lg(lga100)＝lg(100lga)＝2＋lg(lga)，∴原式＝2.
3．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则等于(　　)
A. B.
C．10 D．100
解析：选B　lg＝lg b－lg a＝1.431 0－2.431 0＝－1，∴＝.
4．已知方程x2＋xlog26＋log23＝0的两根为α、β，则α·β＝(　　)
A. B．36
C．－6 D．6
解析：选B　由题意知：α＋β＝－log26，α·β＝α＋β＝＝4log26＝2＝36.
二、填空题
5．已知log7[log3(log2x)]＝0，则x＝________.
解析：由已知得：log3(log2x)＝1?log2x＝3?x＝23，
∴x＝(23)＝2＝＝.
答案：
6．计算：＝________.
解析：原式＝＝＝＝1.
答案：1
三、解答题
7．计算下列各式的值：
(1)lg2＋lg50＋3；
(2)2＋＋lg20－lg2＋(－1)lg1.
解：(1)原式＝lg2＋lg＋3×3
＝lg2＋(2－lg2)＋3×3
＝2＋3×3
＝2＋3×2＝2＋.
(2)原式＝＋＋lg＋1
＝＋－1＋lg10＋1＝3.
8．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log2的值．
解：原等式可化为loga[(x2＋4)(y2＋1)]
＝loga[5(2xy－1)]．
∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)，
整理得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0.
配方得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0.
∴∴＝2，
∴log2 ＝log22＝1.