2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.2 2．2.2　换底公式

2．2.2　换底公式
换底公式
1．换底公式
logaN＝(a>0，a≠1，c>0，c≠1，N>0)
2．几个常见结论：
(1)logab·logba＝1；
(2)loganbn＝logab；
(3)logambn＝logab；
(4)logab·logbc·logcd＝logad.
1．换底公式如何证明？
[提示]　设x＝logab，则ax＝b，
两边取以c为底的对数得
logcax＝logcb即xlogca＝logcb，
所以x＝，即logab＝.
2．写出下面几个式子的值．
(1)log28；(2)log416；(3)log4；(4)log32；(5)log6416.
[提示]　(1)3　(2)2　(3)4　(4)　(5)
对数式的求值
[例1]　求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[思路点拨]　先利用换底公式化同底，再运用运算性质．
[解]　(1)因为log23＝，log35＝，
log516＝.
所以log23·log35·log516＝··
＝＝＝4.
(2)原式＝
＝＝·＝.
借题发挥
换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而化简、计算与证明，在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简和求值.
　　
1．计算：
(1)log927；
(2)log89·log2732；
(3)log2·log3·log5.
解：(1)log927＝＝＝＝.
(2)log89·log2732＝·
＝·＝·＝.
(3)log2·log3·log5
＝log25－3·log32－5·log53－1
＝－3log25·(－5log32)·(－log53)
＝－15···＝－15.
条件等式的求值与证明
[例2]　设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，证明：＋＝.
[思路点拨]　解答本题可以先令3a＝4b＝6c＝k，两边取对数后，表示出a，b，c，再用换底公式代入证明．
证明：法一：设3a＝4b＝6c＝k(a，b，c均为正数，k>0)，
则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k.
∴＝logk3，＝logk4，＝logk6，
∴2logk3＋logk4＝2logk6，
即＋＝.
法二：对3a＝4b＝6c同时取以10为底的对数，
得lg3a＝lg4b＝lg6c，
∴alg3＝blg4＝clg6，
∴＝＝log63，＝＝log64，
∵2log63＋log64＝log636＝2，
即＋＝2，∴＋＝.
借题发挥
换底公式的主要作用就是化不同底为同底，只有化同底后方可使用对数的运算性质，在条件求值中，常常是把所求靠拢已知，根据已知的条件，逐步消除已知与未知之间的差异，使问题顺利解决.
　　
2．已知2x＝3，log4＝y，求x＋2y的值．
解：因为2x＝3，所以x＝log23.
所以x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋log2＝log23＋log28－log23＝log223＝3.
1.的值为(　　)
A．2　　　　　　　　 B．3
C. D.
答案：D　
2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B　log36＝＝＝.
3．已知log34·log48·log8m＝log416，则m的值为(　　)
A. B．9
C．18 D．27
解析：选B　由题知··＝，
∴＝＝2，∴lgm＝lg32＝lg9，m＝9.
4．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
解析：logab·log3a＝·＝＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，所以b＝34＝81.
答案：81
5．已知logax＝1，logbx＝2，logcx＝4，则logabcx＝________.
解析：由已知得logxa＝1，logxb＝，logxc＝.
∴logabcx＝＝＝＝.
答案：
6．求(log23＋log89)(log34＋log98＋log32)的值．
解：原式＝(log23＋log2332)(log322＋log3223＋log32)
＝＝.
已知log189＝a,18b＝5，求log3645，你能用不同的方法解决这个问题吗？
让我来试试吧！
∵18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝＝＝.
看我的！
∵18b＝5，∴log185＝b，
于是log3645＝＝
＝.
我也能解．
∵log189＝a,18b＝5，
∴lg9＝alg18，lg5＝blg18.
∴log3645＝＝＝
＝＝.
一、选择题
1．下列各式中正确的是(　　)
A．log23·log8116＝1　　　　 B.＝－1
C．lg4·lg9＝lg36 D．(log5)3＝－3
解析：选A　log23·log8116＝·＝·＝1.
2．若log37·log29·log49a＝log4，则a的值等于(　　)
A. B.
C. D．4
解析：选B　原方程可化为log37·2log23·log7a＝－，
即log2a＝－，∴a＝2＝.
3．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg等于(　　)
A.(a＋2b－1) B．a＋b－1
C.(2a＋b－1) D．a＋b
解析：选A　lg＝lg(0.1×9×2)
＝(lg2＋lg9＋lg0.1)＝(a＋2b－1)．
4．已知lga、lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两根，则2的值是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C　lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×＝2.
二、填空题
5．已知函数f(x)＝那么f的值为________．
解析：f ＝log2＝－2，f(－2)＝3－2＝.
答案：
6．已知2x＝72y＝A，且＋＝1，则A得值是________．
解析：∵2x＝72y＝A，∴x＝log2A,2y＝log7A
∴＋＝＋＝logA2＋2logA7
＝logA2＋logA49＝logA98＝1.
∴A＝98.
答案：98
三、解答题
7．(1)计算log53·log27125；
(2)计算log2·log3·log5.
解：(1)log53·log27125＝·＝·＝1.
(2)log2·log3·5＝－log225·log38·log59＝－··＝－12.
8．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.
设t＝lg x，
则方程化为2t2－4t＋1＝0，
∴t1＋t2＝2，t1·t2＝.
又∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴t1＝lg a，t2＝lg b，
即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba )＝12.