2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.2 2．3 幂函数

2．3幂函数
幂函数的概念
试写出下列问题所反映的函数关系式．
(1)张华去商店买笔记本，1元一本，共买了x本，支付y元．写出支付钱数与本数的函数关系式；
(2)制作一个正方形的画板，边长为x cm，面积为y cm2，y是x的函数应如何表达？
(3)小明家里要修一个正方体形状的水箱，边长为x米，存水量为 y 立方米，y是x的函数应如何表达？
(4)对于(2)，我们如果看成边长x是面积y的函数，应如何表达？
(5)如果y与x成反比，比例系数为1，y是x的函数应如何表达？
以上问题中的函数具有什么共同特征？
幂函数的定义
当x为自变量而a为非0实数时，函数y＝xa叫作(a次的)幂函数．
下列函数中不是幂函数的是________．
①y＝－x2　②y＝2x　③y＝xπ　④y＝(x－1)3
⑤y＝x　⑥y＝x2＋　⑦y＝x3＋3　⑧y＝3x3
[提示]　①②④⑥⑦⑧
幂函数的图象与性质
在同一坐标系中，分别作出幂函数y＝x3，y＝x2，y＝x，y＝x－1，y＝x，y＝x－2在第一象限的图象．根据图象分析幂函数在区间[0，＋∞)上的性质．
幂函数的性质
(1)当a>0时，幂函数y＝xa在区间[0，＋∞)上有如下性质：
① 都经过两个点(0,0)和(1,1)，即0a＝0,1a＝1
② 是递增函数
③ 图象与直线y＝x有如下关系：
0x>1
a>1
在下方
在上方
0在上方
在下方
(2)当a<0时，幂函数y＝xa在区间(0，＋∞)上有如下性质：
① 图象都过点(1,1)，即1a＝1.
② 是递减函数
③ 图象向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近．
1．你发现幂函数的图象能过第四象限吗？为什么？
[提示]　不会过第四象限．因为当x>0 时，必有y>0，所以幂函数不会过第四象限．
2．观察上述幂函数的图象，你能发现幂函数在第一象限内指数的变化规律吗？
[提示]　在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小，反之亦然；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小，反之亦然．
幂函数概念的理解应用
[例1]　函数f(x)＝(m2－m－1)x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时， f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
[思路点拨]　首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．
[解]　根据幂函数定义得
m2－m－1＝1, 解得m＝2 或m＝－1，
当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，
当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，
不合要求．故f(x)＝x3.
借题发挥
幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根.
　　
1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)x为幂函数且是奇函数，则实数m的值是________．
解析：∵f(x)为幂函数．∴2m2＋m＝1，
得m＝或m＝－1.
当m＝时，f(x)＝x＝，
定义域为x>0，显然不具有奇偶性；
当m＝－1时，f(x)＝x－1＝，是奇函数．
答案：－1
幂函数性质的应用
[例2]　比较下列各组数的大小．
(1)0.5，0.5；
(2)1.2，1.4，1.42.
[思路点拨]　(1)借助幂函数的性质比较；(2)借助幂函数和指数函数的性质比较．
[解]　(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数，且>，
∴0.5>0.5.
(2)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，且1.2<1.4，
∴1.2<1.4.
又∵y＝1.4x为增函数，且<2，∴1.4<1.42，
∴1.2<1.4<1.42.
借题发挥
(1)比较大小通常利用函数的单调性，不能直接借助函数的单调性的可插入中间量进行比较.
(2)幂函数有如下性质：
①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有意义，并且图象都通过点(1,1)，幂函数图象不过第四象限．
②当α>0时，幂函数的图象都通过点(0,0)、(1,1)；并且在[0，＋∞)上都是增函数．当α<0时，幂函数的图象都通过点(1,1)；在(0，＋∞)上都是减函数，在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近.
　　
2．比较下列各组数中两个数的大小：
(1)0.5与0.5；　(2)－1与－1；
(3)与.
解：(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，∴0.5>0.5.
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，∴－1>－1.
(3)∵函数y1＝x为减函数，
又>，∴>，
又∵函数y2＝x在(0，＋∞) 上是增函数，且>，
∴>，∴>.
1．下列结论中，正确的是(　　)
A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第二象限
C．当幂指数α取1,2,3，时，幂函数是增函数
D．幂函数y＝x－1是减函数
答案：B
2．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值为(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．16
解析：选B　∵在f(x)的图象上．
∴2α＝＝2，∴α ＝－，
∴f(x)＝x.∴f(4)＝4＝2－1＝.
3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为(　　)
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
解析：选A　可知当α＝－1,1,3时，y＝xα为奇函数，
又∵y＝xα的定义域为R，则α＝1,3.
4．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x的图象不过原点，则m的取值是________．
解析：由题意知，m2－3m＋3＝1
即m2－3m＋2＝0，∴m＝1或m＝2，
当m＝1时，y＝x0，则x≠0，
当m＝2时，y＝x3，则x∈R，图象过原点．
∴m＝1.
答案：1
5．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a，b，c的大小关系为________．
解析：∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数．
∴>，即a>b>0.
而c＝(－2)3＝－23<0，∴a>b>c.
答案：a>b>c
6．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
解：f(x)＝
其图象如图
可知单调增区间为(0，＋∞)，减区间为(－∞，0)．
试讨论指出，幂函数与指数函数有何区别？
幂函数y＝xα(α为常数)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1) 在形式上有相近之处，但有本质的不同，幂函数的自变量是底数，而指数函数的自变量在指数位置．
幂函数的定义域视α的取值而定，而指数函数是使其有意义的自变量可取任意实数．
有些幂函数具有奇偶性、对称性，但所有指数函数都不具有奇偶性和对称性．
幂函数在整个定义域上不一定具有单调性，但指数函数均具有单调性．
一、选择题
1．幂函数y＝xn的图象一定经过(0,0)，(1,1)，(－1,1)，(－1，－1)中的(　　)
A．一点　　　　　　　　 B．两点
C．三点 D．四点
解析：选A　当n≥0时，一定过(1,1)点，当n<0时，也一定过(1,1)点．
2．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n<n，则n的取值个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　可逐一考察，易验证n＝－2,1,3时成立．
3．如图，给出幂函数y＝xn在第一象限内的图象，n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为(　　)
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
解析：选B　曲线C3、C4的图象一致下降，n的取值应是负数．
取x＝4，则4－2＝<4＝.
∴n3＝－，n4＝－2.
曲线C1，C2一致上升，则n的取值应是正数．
取x＝4，则4＝2<42＝16，
∴n1＝2，n2＝.
于是相应于曲线C1，C2，C3，C4的值依次为
2，，－，－2.
4．设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B　由y＝x3与y＝x－2的图象特征知，
当x当x>x0时，x3>x－2.
而当x＝1时，x3＝1<x－2＝2，
x＝2时，x3＝8>x－2＝1，
∴x0∈(1,2)．
二、填空题
5．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a 的取值范围是________．
解析：(a＋1)＝[(a＋1)2]
＝|a＋1|，
(3－2a)＝[(3－2a)2]
＝|3－2a|，
而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递减，
∴|a＋1|>|3－2a|>0，
即(a＋1)2>(3－2a)2且a≠，
解得，答案：∪
6．定义max{a，b}＝，若f(x)＝max{x2，x－2}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f(x)的最小值是________．
解析：x2－x－2＝x2－
＝，
则当x<－1或x>1时，x2>x－2；
当－1∴f(x)＝，
作出f(x)的图象(如图)．
由图象可知，[f(x)]最小值＝f(1)＝1.
答案：1
三、解答题
7．比较下列两组数值的大小：
(1)－8和－；
(2)4.1，3.8和(－1.9).
解：(1)∵－8＝－，又∵>0，
∴函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数．
又>，则>，
从而－<－，
从而－8<－.
(2)∵－<0，
∴函数y＝x在(0，＋∞) 上为减函数．
∴0<3.8<1＝1.
又∵4.1>1，∴4.1>1.
又∵(－1.9)<0，
∴4.1>3.8>(－1.9).
8．已知幂函数f(x)＝x (m∈N＋)
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋，而m与m＋1中必有一个为偶数，
∴m(m＋1)为偶数．
∴函数f(x)＝x (m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.
由f(2－a)＞f(a－1)得解得1≤a＜.
∴实数a的取值范围为.