2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.4 2．4.1　方程的根与函数的零点

2．4函数与方程
2．4.1　方程的根与函数的零点
实系数一元二次方程的根
给定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且a，b，c∈R)，它的判别式是Δ＝b2－4ac，
(1)当Δ<0时，方程无实数根
(2)当Δ＝0时，方程有两个重根
(3)当Δ>0时，方程有两个不等实根
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数为________．
[提示]　2
2．若方程x2＋ax＋b＝0的两个实根分别为－1和6，则a、b的值分别为________．
[提示]　－5，－6
函数的零点
1．解方程x2－x－2＝0.
2．作出函数f(x)＝x2－x－2的图象，观察该函数的图象与x轴交点的横坐标与方程x2－x－2＝0的解之间的关系．
方程f(x)＝0的实数根叫作函数y＝f(x)的零点．
1．函数的“零点”是一个点吗？
[提示]　不是，函数的“零点”是一个数，实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．若函数f(x)＝ax＋2的零点是2，则a＝________.
[提示]　由f(2)＝0，得a＝－1.
二次函数零点的分布
[例1]　方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根分别在区间(2,3)和(3,4)之间，求m的取值范围．
[思路点拨]　函数的零点即为方程f(x)＝0的根，即x1∈(2,3)，x2∈(3,4)，结合根与系数的关系可解得m的取值范围．
[解]　设f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m.
由图中f(x)图象与x轴的交点在区间(2,3)和(3,4)之间．
∴
即
解得－借题发挥
1.这类题目为方程的实根分布问题，解决此类问题，通常是结合图象，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图象的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件；
2.函数问题与方程问题可以相互转化，使用数形结合的方法解决问题.
1．若函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数，求实数a的取值范围．
解：函数f(x)＝x2－x＋a至少有一个零点为非负实数等价于方程x2－x＋a＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况．
函数f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为x＝，
∴方程x2－x＋a＝0不可能有两个负实根，
∴当方程x2－x＋a＝0无实根时，
Δ＝1－4a<0，
∴a>.
设A＝，
则?RA＝，
即满足题意的实数a的取值范围是.
函数的零点
[例2]　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；
(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－log3x.
[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，
所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.
(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，
所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，
所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．
(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.
所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.
(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，
所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.
借题发挥
函数零点的求法
求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点.
　　
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)
A.，0　　　　　　　 B．－2,0
C. D．0
解析：选D　当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.
3．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
解析：选A　根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A.
函数零点个数的判定
[例3]　判断下列函数零点的个数．
(1)f(x)＝x2－4x－5；(2)f(x)＝x2－.
[思路点拨]　可通过解方程或画图象来判断零点的个数．
[解]　(1)由f(x)＝0，即x2－4x－5＝0得
Δ＝(－4)2－4×(－5)＝36>0，
∴方程x2－4x－5＝0有两个不相等的实根．
函数f(x)有两个零点，分别是－1,5.
(2)法一：由x2－＝0，得x2＝.
令h(x)＝x2(x≠0)，
g(x)＝.
在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，可知两图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－只有一个零点．
法二：令f(x)＝0，即x2－＝0，
∵x≠0，∴x3－1＝0，
∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0，
∴x＝1或x2＋x＋1＝0.
∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式
Δ＝12－4＝－3<0，
∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．
∴函数f(x)只有1个零点1.
借题发挥
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数?抛物线f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的个数，一般可以通过Δ>0，Δ＝0，Δ<0判断．若Δ表达式中含有字母，则要对字母进行讨论．
对于(2)这类非二次函数可用解方程法来判定零点个数，也可以转化成基本初等函数图象的交点个数来求．清楚方程的解与函数零点的关系是解决本题的关键.
　　
4．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．
解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，
∴Δ＝－3b2＜0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．
∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．
答案：0
5．函数f(x)＝的图象和函数g(x)＝log2x的图象的交点个数是________．
解析：作出g(x)与f(x)的图象如图，由图知f(x)与g(x)有3个交点．
答案：3
1．已知函数f(x)＝ax2＋4x＋a有两个相同的零点，则a的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2
C．±2 D．不确定
解析：选C　∵f(x)＝ax2＋4x＋a有两个相同零点，
∴
∴a＝±2.
2．函数f(x)＝2x2－mx－3有一零点是3，则f(－1)＝(　　)
A．－4 B．0
C．4 D．5
解析：选C　∵f(x)＝2x2－mx－3有一零点是3，
∴f(3)＝2×32－3m－3＝0，∴m＝5，
f(x)＝2x2－5x－3，
∴f(－1)＝2×(－1)2－5×(－1)－3＝2＋5－3＝4.
3．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间是(　　)
A．(0,0.5) B．(0.5,1)
C．(1,1.5) D．(1.5,2)
解析：选B　∵函数的零点?f(x)＝0的实根?y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，
∴从图象中可以看出f(x)的零点区间应为(0.5,1)．
4．函数f(x)＝2x－的零点是________．
解析：令f(x)＝0得2x－＝0，
∴x＝1或x＝－1，
∴f(x)的零点是±1.
答案：±1
5．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴∴∴－1＜b＜0.
答案：(－1,0)
6．设函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．
解：∵f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，
∴方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，
由根与系数之间的关系知：

∴
∴g(x)＝－6x2－5x－1，
又∵方程－6x2－5x－1＝0?6x2＋5x＋1＝0?(2x＋1)(3x＋1)＝0，
∴x＝－或－，
即g(x)＝－6x2－5x－1的两个零点为－与－.
函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点之间有何关系？函数零点存在性的判定方法有哪些？
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根．函数y＝f(x)的零点也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
也就是说，函数y＝f(x)的零点?方程f(x)＝0的实数根?y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，求方程根，就是寻找函数的零点，也就是寻找函数图象与x轴的交点的横坐标．
法一：解方程，函数y＝f(x)的零点可通过解方程f(x)＝0作判断．如函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点，可利用方程ax2＋bx＋c＝0的实数解的情况解决．
法二：画出函数的图象，利用基本初等函数(如一次、二次函数、反比例函数)图象与x轴的交点情况作判断．
一、选择题
1．函数y＝x＋a与y＝x2＋a(a∈R)的图象的交点个数为(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．0 D．无数个
解析：选B　由可解得

∴两函数图象有2个交点．
2．若函数f(x)在定义域{x|x≠0}上是偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，f(－5)＝0，则函数零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．多于2 D．无法确定
解析：选B　可画出f(x)的草图，由图象可看出零点有2个．
3．对于定义在R上的函数y＝f(x)，若f(m)·f(n)＞0(m，n∈R，且m＜n)，则函数y＝f(x)在(m，n)上(　　)
A．只有一个零点 B．至少有一个零点
C．无零点 D．无法确定有无零点
解析：选D　对于条件f(m)·f(n)＞0(m，n∈R，且m＜n)，根据下列三种函数图象可知D正确．
4．函数f(x)＝x3－16x的零点为(　　)
A．(0,0)，(4,0) B．0,4
C．(－4,0)，(0,0)，(4,0) D．－4,0,4
解析：选D　令x3－16x＝0，得x＝0，－4,4.
又函数f(x)＝x3－16x的零点，
即满足f(x)＝0的对应x值，易知D对．
二、填空题
5．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2 019，则x1＋x2＋…＋x2 019＝________.
解析：∵y＝f(x)为奇函数且其零点有奇数个，
∴x1，x2，x3，…，x2 019必有一个为零且其余的互为相反数，
∴x1＋x2＋…＋x2 019＝0.
答案：0
6．已知函数f(x)＝ex＋x－m在(1,2)内有零点，g(x)＝ln(x－m)在(3,6)内有零点，若m为整数，则m的值为________．
解析：令g(x)＝ln(x－m)＝0, 得x－m＝1，即x＝m＋1.由题意可知30，f(2)＝e2－1>0，不符合题意；当m＝4时，f(x)＝ex＋x－4，f(1)＝e－3＜0，f(2)＝e2－2＞0，所以f(x)在(1,2)内有零点．
综上，m的值为4.
答案：4
三、解答题
7．已知函数f(x)＝2(m－1)x2－4mx＋2m－1.
(1)m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同的交点？
(2)如果函数的一个零点在原点，求m的值．
解：(1)依题意，知
Δ＝(－4m)2－8(m－1)(2m－1)>0且m－1≠0，
∴m>且m≠1.
(2)x＝0为方程的一个根，
∴2(m－1)×02－4m×0＋2m－1＝0，
∴m＝.
8．当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内．
解：(1)当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．
(2)当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1，
∵方程ax2－2x＋1＝0的根，即函数f(x)的零点分别在区间(0,1)，(1,2)内，
∴，即，
解得(3)当a<0时，设方程的两根为x1，x2，
则x1·x2＝<0，x1，x2一正一负不符合题意．
综上，a的取值范围为