2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.4 2．4.2　计算函数零点的二分法

2．4.2　计算函数零点的二分法
二分法求函数零点的步骤
限定时间内猜一品牌手机的价格，如果猜中，就把手机奖励给选手．
手机价格在500～1 000元之间，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
已知函数y＝f(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x的近似值x，使它与零点的误差不超过正数ε，即使得|x－x0|≤ε.
下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤．
第一步　在D内取一个闭区间[a，b]?D，使f(a)与f(b)异号，即f(a)·f(b)<0.令a0＝a，b0＝b.
第二步　取区间[a0，b0]的中点，则此中点对应的横坐标为x0＝a0＋(b0－a0)＝(a0＋b0)．计算f(x0)和f(a0)．
判断：(1)如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
(2)如果f(a0)·f(x0)<0，则零点位于区间[a0，x0]内，令a1＝a0，b1＝x0；(3)如果f(a0)·f(x0)>0，则零点位于区间[x0，b0]内，令a1＝x0，b1＝b0.
第三步　对区间[a1，b1]，按第二步中的方法，可以得到区间[a2，b2]，且它的长度是区间[a1，b1]长度的一半．
如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间[a0，b0]，[a1，b1]，[a2，b2]，[a3，b3]，…，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半．
实施上述步骤，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当|an－bn|<2ε时，区间[an，bn]的中点xn＝(an＋bn)就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点与真正零点的误差不超过ε.
求函数y＝3x3－10x2－12x＋40的一个正的零点时，误差不超过0.08，由于f(3)＝－5<0，f(4)＝24>0，可取区间[3,4]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
中点坐标
中点函数值的符号
取区间
[3,4]
x＝＝3.5
f(3.5)>0
[3,3.5]
x1＝＝3.25
f(3.25)<0
[3.25,3.5]
x2＝＝3.375
f(3.375)>0
[3.25,3.375]
x3＝3.3125
f(3.3125)<0
[3.3125,3.375]
x4＝3.34375
f(3.34375)>0
[3.3125,3.34375]
观察上表可知该近似值为________．
[提示]　利用二分法的求解原理可知，近似值为3.328.
变号零点
[例1]　判断下列函数是否有变号零点：
(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1.
[思路点拨]　判断二次函数是否有变号零点，可结合图象进行．
[解]　(1)∵y＝x2－5x－14＝(x＋2)(x－7)，
∴有两个零点－2,7.
由二次函数的图象知，－2,7都是变号零点．
(2)∵y＝x2＋x＋1＝2＋>0恒成立．
∴此函数没有零点．
借题发挥
判断二次函数是否有变号零点，可观察图象是否穿过x轴，若图象穿过x轴，则函数有变号零点，否则没有变号零点.
1．下图中的各函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　)
解析：选D　∵选项D中不是变号零点，
∴它不宜用二分法求交点的横坐标．
函数零点存在性的判断
[例2]　求证：函数y＝5x2－7x－1＝0的零点一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．
[思路点拨]　由于f(x)＝5x2－7x－1的图象是不间断的，因此，只需再证明f(－1)f(0)<0，f(1)f(2)<0即可．
[解]　设f(x)＝5x2－7x－1，
则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，
f(1)·f(2)＝(－3)×5＝－15<0.
而二次函数f(x)＝5x2－7x－1是连续的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有零点．
即方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上.
借题发挥
判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)f(b)<0，若存在，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点，要确定函数有多少个零点，还必须结合函数的图象和性质(如单调性).
2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根落在区间(　　)
A．(1,1.25)　　　　　　 B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：选B　∵f(x)＝3x＋3x－8在(1,2)上的图象是连续不断的，
又∵f(1.25)<0，f(1.5)>0
∴f(1.25)·f(1.5)<0，
∴f(x)在(1.25,1.5)内有零点.
函数零点的近似解的求法
[例3]　求方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)上的一个近似解(误差不超过0.001)．
[思路点拨]　首先确定初始区间，再使用二分法进行求解．
[解]　考察函数f(x)＝2x3＋3x－3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．
经试算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在[0,1]内有解．
列表计算：
N
an
f(an)
bn
f(bn)
xn＝
1
0
－3
1
2
0.5
2
0.5
－1.25
1
2
0.75
3
0.5
－1.25
0.75
0.093 75
0.625
4
0.625
－0.636 718 75
0.75
0.093 75
0.687 5
5
0.687 5
－0.287 597 656
0.75
0.093 75
0.718 75
6
0.718 75
－0.101 135 253
0.75
0.093 75
0.734 375
7
0.734 375
－0.004 768 372
0.75
0.093 75
0.742 187 5
8
0.734 375
－0.004 768 372
0.742 187 5
0.044 219 017
0.738 281 25
9
0.734 375
－0.004 768 372
0.738 281 25
0.019 657 731
0.736 328 125
10
0.734 375
－0.004 768 372
0.736 328 125
0.007 427 827
0.735 351 563
11
0.734 375
－0.004 768 372
0.735 351 563
0.001 325 523
0.734 863 315
由于|b11－a11|<0.002＝2ε，计算停止，取＝x11＝0.734 863 315≈0.735.
借题发挥
用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．
求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的．
二分法仅适用于函数变号零点近似值的求解.
3．用二分法求x3－x－1＝0在区间[1,1.5]的一个实根(误差不超过0.01)．
解：设f(x)＝x3－x－1，
∵f(1)＝－1<0，f(1.5)＝0.875>0，
∴在[1,1.5]内，f(x)＝0有实数解．
取[1,1.5]为初始运算区间，用二分法逐次计算列表如下：
n
an
bn
bn－an
f(an)
f(bn)
xn＝
1
1
1.5
0.5
－1
0.875
1.25
2
1.25
1.5
0.25
－0.296 875
0.875
1.375
3
1.25
1.375
0.125
－0.296 875
0.224 609 375
1.312 5
4
1.312 5
1.375
0.062 5
－0.051 513 671
0.224 609 375
1.343 75
5
1.312 5
1.343 75
0.031 25
－0.051 513 671
0.082 611 083
1.328 125
6
1.312 5
1.328 125
0.015 625
－0.051 513 671
0.014 575 958
1.320 312 5
7
1.320 312 5
1.328 125
0.007 812 5
－0.018 710 613
0.014 575 958
1.324 218 75
由于bn－an<2ε，计算停止，取＝1.324 218 75≈1.324.
1．用二分法求得的函数零点(　　)
A．一定是近似解　　　　 B．一定是准确解
C．一定是变号零点 D．以上都不对
解析：选C　由二分法的定义可知，用二分法求得的函数零点一定是变号零点．
2．若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)f(b)<0，f(a)f>0.则(　　)
A．f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点 D．f(x)在上无零点
解析：选B　∵f(a)f(b)<0，f(a)f>0，
∴f(b)f<0，因此f(x)在上有零点．
3．下列函数的图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中交点横坐标的是(　　)
解析：选B　∵只有变号零点才能用二分法求零点．
∴选B.
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．
解析：∵f(x)＝x3＋3x－1的图象是不间断地且f(0)f(0.5)<0
∴x0∈(0,0.5)
依二分法可知，第二次应计算f(0.25)．
答案：(0,0.5)　f(0.25)
5. 若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内：
①函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；
②函数f(x)在(3,5)内无零点；
③函数f(x)在(2,5)内有零点；
④函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；
⑤函数f(x)的零点必在(1,5)内．
以上说法错误的是________(将标号填在横线上)．
解析：由于函数有唯一零点，依题意必在(1,5)内．故①在(1,2)或(2,3)内不正确，而②在(3,5)内无零点，不正确；③在(2,5)内有零点也不正确，而④零点不一定在(2,4)上，正确；故①②③是错误的．
答案：①②③
6．为求函数f(x)＝ln x＋2x－6在(2,3)内的零点的近似值(误差不超过0.01)，已得到数据如下表：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
第1次
2
－1.306 9
3
1.098 6
第2次
2.5
－0.083 709 268
3
1.098 6
第3次
2.5
－0.083 709 268
2.75
0.511 600 912
第4次
2.5
－0.083 709 268
2.625
0.215 080 896
第5次
2.5
－0.083 709 268
2.562 5
0.065 983 344
第6次
2.531 25
－0.008 786 748 127
2.562 5
0.065 983 344
第7次
2.531 25
－0.008 786 748 127
2.546 875
0.028 617 117
根据以上数据确定f(x)取(2,3)内的近似零点．
解：由表中数据可得b7－a7＝0.015 625<2ε，
计算停止，取＝＝2.539 062 5≈2.539.
你对二分法求方程近似解是如何理解的？用二分法求方程近似解应注意什么问题？
所谓二分法就是通过不断的把函数零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，是数学算法的一种，它体现极限逼近的思想．
(1)看清题目的精确度，它决定着二分法步骤的结束．
(2)根据f(a0)·f(b0)<0确定初始区间，高次方程要先确定有几个解再确定初始区间．
(3)取区间中点c计算中点函数值f(c)，确定新的零点区间．直至所取区间[an，bn]中，an与bn按精确要求取值相等．这个相等的近似值即为所求近似解．
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)是定义在R上的连续函数，且f(1)·f(2)>0，则y＝f(x)(　　)
A．在区间[1,2]上没有零点
B．在区间[1,2]上有2个零点
C．在区间[1,2]上零点个数为偶数个
D．零点个数不确定
解析：选D　画图象知，函数零点不确定．
2．方程log2(x＋4)＝3x的实根的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：选C　在同一直角坐标系中，
画出y＝log2(x＋4)与y＝3x的图象，
从图象上可以看出图象有两个交点，
即方程log2(x＋4)＝3x有两个实数根．
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
11.238
由表可知函数f(x)＝0存在实数解的区间有(　　)
A．0个 B．1个
C．3个 D．4个
解析：选D　∵f(2)f(3)<0，∴(2,3)之间有一个零点，
同理可知(3,4)，(4,5)，(6,7)内各有一个零点．
4．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间内一定有零点
B．函数f(x)在区间或内有零点
C．函数f(x)在区间内无零点
D．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是
解析：选D　由二分法求函数零点的原理知，D选项正确．
二、填空题
5．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：最多需要称________次就可以发现这枚假币．
解析：由二分法的原理可得，最多需要4次．
答案：4
6．方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内有实数根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：设f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝23－2×2－5＝－1<0，
f(3)＝33－2×3－5>0，f(x0)＝f(2.5)＝2.53－2×2.5－5>0，∴f(2)f(2.5)<0，
故下一个有根区间为[2,2.5]．
答案：[2,2.5]
三、解答题
7．试证明方程x3－4x－2＝0在区间[－2，－1]，[－1,0]，[2,3]内分别各有一根．
证明：设f(x)＝x3－4x－2，则f(x)的图象是连续曲线．
又f(－2)＝－2<0，f(－1)＝1>0，
f(0)＝－2<0，f(2)＝－2<0，f(3)＝13>0，
因此函数满足f(－2)f(－1)<0，f(－1)·f(0)<0，f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在[－2，－1]，[－1,0]，[2,3]内分别存在一个零点，即x3－4x－2＝0.
在区间[－2，－1]，[－1,0]，[2,3]内分别各有一根．
8．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个近似解(误差不超过0.01)．
解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，见表如下：
次数
左端点
左端点函数值
右端点
右端点函数值
第1次
1
－2
2
5
第2次
1
－2
1.5
0.375
第3次
1.25
－1.046 9
1.5
0.375
第4次
1.375
－0.400 4
1.5
0.375
第5次
1.437 5
－0.029 5
1.5
0.375
第6次
1.437 5
－0.029 5
1.468 75
0.168 4
第7次
1.437 5
－0.029 5
1.453 125
0.068 38
第8次
1.437 5
－0.029 5
1.445 312 5
0.019 2
第9次
1.441 406 25
－0.005 3
1.445 312 5
0.019 2
第10次
1.441 406 25
－0.005 3
1.443 359 375
0.006 931
因为b10－a10＝1.443 359 375－1.441 406 25＝0.001 953 125＜2ε，∴＝1.442 382 813≈1.442.