2019年数学湘教版必修1新设计同步（讲义）：第二章 2.4 2．5 函数模型及其应用

2．5函数模型及其应用
三种函数模型的性质
回顾指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，并填写下表
　 函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增
增
增
增长的速度
快
慢
相对平稳
图象的变化
随x增大逐渐与y轴平行
随x增大逐渐与x轴平行
随n值而不同
三种函数的增长速度比较
1．一个叫杰米的百万富翁，一天他碰到了一件奇怪的事．一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，在整整一月(按31天计)中，我每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，以后每天给我的钱是前一天的两倍．”杰米非常高兴，他同意订立这样的合同．
(1)请通过计算比较，谁将在这个合同中获利？
(2)这两人的获利计算，各适用于什么函数？通过计算结果你有何发现与体会？
2．试在同一坐标系中作出以下函数的图象，并观察比较这三个函数的函数值的变化和大小情况：
①y＝2x　②y＝log2x　③y＝x2，其中x＞0.
你可以得出什么结论，能推广到一般吗？
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝ax(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．
(3)存在一个x0，使得当x＞x0时，有logax＜xn＜ax.
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　)
A．y＝100x　　　　　 B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
[提示]　随着x的增大，一定存在一个实数x0，使log100x＜x100＜100x.
并且也一定存在一个实数x0′，使100x0′＜100x.
2．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．2x＞x＞lgx B．2x＞lgx＞x
C．x＞2x＞lgx D．lgx＞x＞2x
[提示]　A
几种常见的函数模型
函数模型
表达式
一次函数模型
f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)＝a·bx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0且b＞1)
对数函数模型
f(x)＝m·logax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝a·xn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
一次函数模型
[例1]　某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)
A．10元　　　　　　 B．20元
C．30元 D.元
[思路点拨]　由题意知，所求函数为一次函数模型(直线型)，可用特定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．
[解析]　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，
∴k2－k1＝；t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
[答案]　A
借题
发挥
函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键.
　　
1．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，
得所以所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.
(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.所以给出的这套桌椅是配套的.
二次函数模型
[例2]　某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．
(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．
(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？
[思路点拨]　由题目条件可获得以下主要信息：
①f(x)为前x个月内对某种商品的需求总量；
②g(x)为第x个月的需求量．
从而得g(x)＝f(x)－f(x－1)．进而化为二次函数求解．
[解]　(1)由题意知：
g(x)＝f(x)－f(x－1)
＝·x(x＋1)(35－2x)－(x－1)x[35－2(x－1)]
＝x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]
＝x(72－6x)＝x(12－x)．
∴g(x)＝x(12－x)(x∈N且x≤12)．
(2)g(x)＝(12－x)
＝－(x2－12x＋36－36)
＝－[(x－6)2－36]＝－(x－6)2＋，
∴当x＝6时，g(x)有最大值.
即第六个月需求量最大，为万件.
借题
发挥
本题已给出了函数模型．因此解答本题的关键是仔细审题，准确地理解题意，同时注意f(x)、g(x)的含义，以及它们的关系，正确建立函数关系，进而利用二次函数解答实际问题.
　　
2．本题条件不变，问题改为：如果将该商品每月都投放市场P万件，要保持每月都满足供应，则P至少为多少万件？
解：为了要保持每个月都满足供应，
则每月投放市场的商品数P(万件)应满足xP≥f(x)，
∴xP≥x(x＋1)(35－2x)，
∴P≥(x＋1)(35－2x)(该不等式应对x∈N且x≤12均成立)．
(x＋1)(35－2x)
＝(－2x2＋33x＋35)
＝，
∵x∈N，∴当x＝8时，(x＋1)(35－2x)有最大值1.14(万件)．
∴P至少为1.14万件.
指数函数模型
[例3]　某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年)．
(1.01210＝1.127,1.01215＝1.196,1.01216＝1.210)
[思路点拨]　由人口增长规律建立y与x的函数关系式，将x＝10代入，可得城市人口总数，然后列方程可求得(3)题结果．
[解]　(1)1年后该城市人口总数为
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．
2年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2.
3年后该城市人口总数为
y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2×(1＋1.2%)
＝100×(1＋1.2%)3.
…
x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(x∈N)．
(2)10年后人口数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．
(3)设x年后该城市人口将达到120万人，
即100×(1＋1.2%)x＝120，x＝log1.0121.20≈16(年)．
因此，大约16年以后该城市人口将达到120万人.
借题
发挥
指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中，有关人口增长，银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·(1＋p)x(其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式．另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.
　　
3．某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？一种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5＝153.86万元．
由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元.
对数函数模型
[例4]　我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．声音的强度用I瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L1表示，它们满足以下公式：L＝10 lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．
回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？
[思路点拨]　利用函数关系式L＝10lg，代入强度I的值即可求得强度水平．再根据对数函数的性质，求得声音强度I的范围．
[解]　(1)由题意知，树叶沙沙声的强度水平为
L1＝10lg＝10lg1＝0；
耳语声的强度水平为L2＝10lg＝10lg102＝20；
恬静的无线电广播的强度为L3＝10lg＝10lg104＝40.
(2)由题意知0≤L＜50，即0≤10lg＜50，
所以1≤＜105，即1×10－12≤I＜1×10－7.
所以新建的安静小区的声音强度I不小于1×10－12W/m2，同时小于1×10－7W/m2.
借题发挥
解答本题，须彻底理解题意，灵活运用对数以及对数的有关知识解决．切忌未审好题意就匆忙“下手”．以免导致错误的解答及结果.
　　
4．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，
代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：
v＝5log2＝5 log28＝15(m/s)．
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)
A．一次函数　　　　　　　 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：选D　一次函数保持均匀的增长，不能体现题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．
2．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是(　　)
A．y＝50 B．y＝1 000x
C．y＝2x－1 D．y＝ln x
解析：选C　指数函数模型增长速度最快．
3．有一组实验数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是(　　)
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：选C　通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台售价25万元，则生产者不亏本的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：选C　当总收入不低于总成本时生产者不亏本．
则25x≥3000＋20x－0.1x2，即：x2＋50x－30000≥0.
解得x≥150或x≤－200(舍去)，故最低产量为150台．
5．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应．此时取入R＝________.
解析：D＝a－A＝－(－)2＋，
∴当＝即A＝时，D最大．此时R＝a＝.
答案：　
6．某林场现有木材3万立方米，如果每年平均增长5%，问大约经过多少年该林场木材量可以增加到4万立方米？
解：设x年后木材拥有量为y万立方米．
则y＝3(1＋5%)x，令y＝4.∴1.05x＝，
∴x＝log1.05＝＝≈6.
故大约经过6年林场木材量可增加到4万立方米．
通过本节的学习，你如何理解常见函数模型的含义？解决实际应用问题的关键是选择和建立恰当的函数模型．你认为应如何建模？需要把握哪些关口？
一次函数模型即直线模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等，其增长特点是直线上升(x的系数k＞1)，通过图象可以直观地认识它．
而能用指数函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a＞1)，常形象地称为“指数爆炸”．
但是应注意，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，而这里函数的增长，是底数a＞1的情况．结合其图象的变化可以清楚地看到“爆炸”的威力．
一楼理解到位，good！我谈谈对数函数与幂函数模型．
能用对数函数表达的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a＞1)，函数值增大的速度越来越慢．对数增长在现实生活中也有广泛的应用．
对于幂函数模型，那么也就是能用幂函数表达的模型喽！幂函数模型中最常见也是我们最熟知的二次函数y＝x2的模型，它的应用最为广泛．
我认为：根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型，同时，要注意利用函数图象的直观性，作出散点图，来确定适合题意的函数模型．
而建立数学模型应把握三个关口：
①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口；
②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系；
③数理关：在构建数学模型的过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学问题．
一、选择题
1．细胞分裂时由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，经x次分裂后，得到的细胞个数y与x的关系是(　　)
A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
解析：选D　x＝1时，y＝22；x＝2时，y＝22×2＝23；x＝3时，
y＝23×2＝24，
…当经x次分裂后，细胞个数y＝2x＋1.
2．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到(　　)
A．300只 B．400只
C．500只 D．600只
解析：选A　由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
3．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表所示：
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
解析：选C　通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，变量y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，变量y1随x的变化符合此规律．故选C.
4．四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：选D　显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x，故选D.
二、填空题
5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克，火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料的质量是火箭质量的____倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：由题意知，12000＝2000·ln，
∴ln＝6,1＋＝e6.得＝e6－1.
答案：e6－1
三、解答题
7.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的计量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；
(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？
解：(1)依题意得y＝
(2)设第二次服药时在第一次服药后t1小时，则－t1＋＝4，解得t1＝4，因而第二次服药应在11：00.
设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服药应在16：00.
设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－·(t3－4)＋－(t3－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服药应在20：30.
8．某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台．现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．
(1)设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；
(2)若总运费不超过9 000元，问共有几种调运方案；
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
解：(1)依题意，得
y＝400×(10－x)＋800×[12－(10－x)]＋300x＋500×(6－x)，
即y＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈Z)．
(2)由y≤9 000，解得x≤2，
∵x∈Z,0≤x≤6，
∴x＝0,1,2.∴共有三种调运方案．
(3)由一次函数的单调性知，当x＝0时，总运费y最低，ymin＝8 600(元)．
即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的总运费最低，最低运费为8 600元．