2019年数学湘教版必修1新设计同步(讲义):第一章 1.1 1.1.1 集合的含义和表示

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名称 2019年数学湘教版必修1新设计同步(讲义):第一章 1.1 1.1.1 集合的含义和表示
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资源类型 教案
版本资源 湘教版
科目 数学
更新时间 2019-04-30 10:49:15

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1.1集__合
1.1.1 集合的含义和表示
集合的概念
观察下面的例子:
(1)我的家庭成员.
(2)2018年6月参加俄罗斯世界杯足球赛决赛圈的球队.
(3)高一(2)班的所有男生.
(4)我身边的好人.
在这些例子中提到的“家庭成员”、“球队”、“男生”等概念有什么共同的特征?“好人”具备这些特征吗?
1.集合与集合的元素
把一些对象放在一起考虑时,就说这些事物组成了一个集合,给这些对象的总的名称,就是这个集合的名字.这些对象中的每一个,都叫做这个集合的一个元素.
2.集合元素的特点
同一个集合中的元素是互不相同的.
3.元素与集合的关系
若S是一个集合,a是S的一个元素,记作a∈S,读作a属于S,若a不是S的一个元素,记作a?S,读作a不属于S.
1.“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、“大于1的数”能构成一个集合吗?
[提示] 能,因为所研究的对象是确定的.
2.“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、“接近0的数”能构成集合吗?
[提示] 不能,因为所研究的对象是不确定的.
集合的例子
1.常见数集及其记法
常见数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N+
Z
Q
R
2.集合的分类
有限集
元素个数有限的集合叫有限集
无限集
元素无限多的集合叫无限集
空集
没有元素的集合叫空集,记作?
1.用“∈”或“?”填空.
1______N,-3______N,0______N+,______N,
1______Z,-3______Q,0______Z,______R.
[提示] ∈,?,?,?,∈,∈,∈,∈
2.0,{0},?有何区别与联系?
[提示] 0是一个元素,{0}是含有一个元素0的集合,?表示不含任何元素的集合,即空集.
集合的表示方法
下列集合的元素有何特点,可以用什么样的方法表示这些集合?
(1)2018年6月在俄罗斯世界杯足球赛小组赛结束后进球超过3个的球员.
(2)12的所有正因数.
(3)不等式x-2≥3的解集.
(4)所有偶数的集合.
1.列举法
(1)把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法叫作列举法.
(2)用列举法表示集合,通常的格式是在一个大括弧里写出每个元素的名字,相邻的名字用逗号分隔.
2.描述法
(1)把集合中元素共有的,也只有该集合中元素才有的属性描述出来,以确定这个集合的方法叫作描述法.
(2)用描述法表示集合,通常的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性.
1.{1,2}和{(1,2)}表示同一个集合,对吗?
[提示] 不对,{1,2}表示含有2个元素1和2的集合,它是一个数集而{(1,2)}则表示只含有一个元素(1,2)的集合,它是一个点集.
2.用适当的方法表示下列集合.
(1)小于12的素数组成的集合,
(2)方程x2-4=0的解组成的集合,
(3)大于3小于9的实数组成的集合,
(4)所有奇数组成的集合.
[提示] (1){2,3,5,7,11},
(2){-2,2},(3){x|3(4){x|x=2k+1,k∈Z}.
区间的概念及表示
(1)区间定义及表示
设a,b是两个实数,而且a定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a,b]
{x|a开区间
(a,b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a,b)
{x|a半开半闭区间
(a,b]
(2)无穷概念及无穷区间表示
定义
R
{x|x≥a}
{x|x>a}
{x|x≤a}
{x|x符号
(-∞,+∞)
[a,+∞)
(a,+∞)
(-∞,a]
(-∞,a)
元素与集合的关系
[例1] (1)所给下列关系正确的个数是(  )
①-∈R;②?Q;③0∈N+;④|-3|?N+.
A.1         B.2
C.3 D.4
(2)设A是中国的所有河流组成的集合,用符号“∈”或“?”填空,则
长江________A,尼罗河________A,
亚马逊河________A,黄河________A.
[思路点拨] 解答本题可先弄清“∈”和“?”、元素和集合间的关系,及特定的数集符号的含义,再进行判断.
[解析] (1)-是实数,是无理数,∴①②正确.
N+表示正整数,∴③和④不正确.
(2)长江在中国境内,故长江∈A;尼罗河不在中国境内,故尼罗河?A;亚马逊河也不在中国境内,故亚马逊河?A;黄河在中国境内,故黄河∈A.所以长江∈A,尼罗河?A,亚马逊河?A,黄河∈A.
[答案] (1)B (2)∈ ? ? ∈
借题发挥
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成的.
(2)推理法:对于某些不便直接表示的集合,判断元素与集合的关系时,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特性即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性,即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件.
  
1.下列说法正确的是(  )
A.若a∈N,b∈N,则a-b∈N  B.若x∈N+,则x∈Q
C.若x≥0,则x∈N D.若x?Z,则x?Q
答案:B
2.设不等式3-2x<0的解集为M,下列正确的是(  )
A.0∈M,2∈M B.0?M,2∈M
C.0∈M,2?M D.0?M,2?M
解析:选B 从四个选项来看,本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0?M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.
集合的表示方法
[例2] 用适当的方法表示下列集合:
(1)A={(x,y)|x+y=4,x∈N+,y∈N+};
(2)B=;
(3)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;
(4)平面直角坐标系中所有第二象限的点.
[思路点拨] 先确定给出的集合元素的特征,是数、是点还是其他元素?并注意集合中元素是有限个还是无限个.若是有限个且能一一列出,可用列举法,否则采用描述法.
[解] (1)∵x+y=4,x∈N+,y∈N+,
∴或或
∴A={(1,3),(2,2),(3,1)}.
(2)∵∈Z,且x∈N,∴1+x=1,2,3,6.
∴x=0,1,2,5,即=6,3,2,1.
∴B={6,3,2,1}.
(3)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为
(x-2)2+(y+3)2=0,∴
∴方程的解集可表示为{(2,-3)}.
(4){(x,y)|x<0,y>0}.




集合的两种表示方法的适用条件
(1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合,可采用列举法.
(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合,不能将它们一一列举出来,可以通过将集合中元素的只有这个集合才有的共同特征描述出来,即采用描述法.
3.下列说法:
①集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1};
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};
③方程组的解集为{x=1,y=2}.
其中正确的有(  )
A.3个        B.2个
C.1个 D.0个
解析:选D ①由x3=x,即x(x2-1)=0,
得x=0或x=1或x=-1,
因为-1?N,故集合{x∈N|x3=x}用列举法表示应为{0,1}.
②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义,而符号“R”已表示所有的实数,正确的表示应为{x|x为实数}或R.
③方程组的解是有序实数对,而集合{x=1,y=2}表示两个方程的解集,正确的表示应为{(1,2)}或{(x,y)|}.
集合中元素的特性及应用
[例3] 已知集合A含有两个元素1和a2,若“a∈A”,求实数a的值.
[思路点拨] 由于集合A中有两个元素,且a∈A,因此,需分a=1或a=a2分类讨论.
[解] 由a∈A可知,
当a=1时,此时a2=1,与集合元素的互异性矛盾,
所以a≠1.
当a=a2时,a=0或1(舍去).
综上可知,a=0.
借题发挥
判断一组对象组成集合的依据及切入点
(1)依据:元素的确定性是判断的依据.如果考查的对象是确定的,就能组成集合,否则不能组成集合.
(2)切入点:解答此类问题的切入点是集合元素的特性,即确定性、互异性和无序性.
4.若集合M中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三边长,则△ABC一定不是(  )
A.等腰三角形     B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
解析:选A 根据集合中的元素具有互异性可知,一定不是等腰三角形.
5.已知集合A可表示为,求实数a应满足的条件.
解:由题意可得A=,显然a≠0,由集合中元素的互异性可得解得a≠1,a≠-1.故实数a应满足的条件为a≠0,a≠1,a≠-1.
1.下列说法中正确的是(  )
A.某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B.由1,2,3和 ,1,组成的集合不相等
C.不超过20的非负数组成一个集合
D.方程(x-1)(x+1)2=0的所有解构成的集合中有3个元素
解析:选C A项中元素不确定;B项中两个集合元素相同,因集合中的元素具有无序性,所以两个集合相等;D项中方程的解分别是x1=1,x2=x3=-1,由互异性知,构成的集合含2个元素.
2.下列四个集合:①A={x∈R|y=x2+1};②B={y|y=x2+1,x∈R};③C={(x,y)|y=x2+1,x∈R};④D={不小于1的实数}.其中相同集合是(  )
A.①与②        B.①与④
C.②与③ D.②与④
解析:选D 可知A=R,当x∈R时,y≥1,∴B={y|y≥1}=D.而C是一点集,故相同的集合只有B与D.
3.方程组的解集不可表示为(  )
A. B.
C.{1} D.{(1,1)}
解析:选C 由得A、B、D三种表示均正确.C是只含有一个元素1的集合,是数集,故C不对.
4.用“∈”或“?”填空.
(1)A={x|x2-x=0},则1______A,-2______A.
(2)B={x|1≤x≤5,x∈N},则1______B,1.5______B;
(3)C={x|-1<x<3,x∈Z},则0.2______C,3______C.
答案:(1)∈ ? (2)∈ ? (3)? ?
5.对于集合A=,若a∈A,则8-a∈A,则a的取值构成的集合是________.
解析:当a=2时,8-a=6∈A;a=4时,8-a=4∈A;
a=6时,8-a=2∈A;a=8时,8-a=0?A.
∴所求集合为{2,4,6}.
答案:{2,4,6}
6.用另一种方法表示下列集合:
(1){-3,-1,1,3,5};
(2)已知M={2,3},P={(x,y)|x∈M,y∈M},写出集合P;
(3).
解:(1){x|x=2k-1,k∈Z且-1≤k≤3}.
(2)P={(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}.
(3).
集合的元素具有哪些性质呢?用列举法表示集合时需要考虑元素的顺序吗?
集合中的元素具有确定性,对于任何一个对象是否为已知集合中的元素,应是确定的.a∈A与a?A,这两种情况中必有一种且只有一种成立.
集合中的元素具有互异性,对于一个给定的集合,集合中的任何两个元素应都是不同的对象,集合中的元素是互异的.集合中的元素不能重复,相同的元素归并在一个集合里时只能出现一次.
用列举法表示集合时不用考虑集合元素的顺序,如{2,1}与{1,2}表示同一个集合.
一、选择题
1.下面有四个语句:①集合N中最小的数是1;②若-a?N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;④x2+9=6x的解集中含有2个元素.其中正确语句的个数是(  )
A.0           B.1
C.2 D.3
解析:选A 自然数集N中的最小数为0而不是1,①错;对于②,取a=-,则-?N,且?N,②错;对于③,由①知不正确,对于④,x2+9=6x的解集中仅有一个元素3.
2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是(  )
A.{x|-3B.{x|-3C.{x|-3D.{x|-3解析:选D 偶数集为{x|x=2k,k∈Z},则大于-3且小于11的偶数所组成的集合为{x|-33.由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有的元素个数是(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选B 当a=0时,这四个数都是0,所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时,=|a|=所以一定与a或-a中的一个一致.故组成的集合中有两个元素,故选B.
4.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是(  )
A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合;
B.P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合;
C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合.
D.P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的解集.
解析:选A 由于A中P,Q元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B、C、D中元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.
二、填空题
5.用区间表示下列集合:
(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________.
(2){x|x>1}用区间表示为________.
答案:(1)[10,100] (2)(1,+∞)
6.用列举法表示集合A==________.
解析:由∈N+,则必有∈{1,2,3,6},
所以a=-1,2,3,4.
答案:{-1,2,3,4}
三、解答题
7.已知集合A={1,3,a2+a,a+1},若a∈A,求实数a的值.
解:由集合元素的互异性知,a2+a≠a+1,
∴a≠±1,
∵a∈A,
∴a=3或a=a2+a即a=3或a=0.
当a=3时,A={1,3,12,4}.
当a=0时,A={1,3,0,1},违背集合元素的互异性.
故a=3.
8.已知集合A={x|ax2-2x+1=0}.
(1)若A中恰好只有一个元素,求实数a的值;
(2)若A中有两个元素,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=0时,x=,这时A={},适合题意,
当a≠0时,若A恰好只有一个元素,则方程
ax2-2x+1=0有相等的两个实根.
∴Δ=4-4a=0,得a=1.
∴当a=0或a=1时,A中恰好只有1个元素.
(2)依题意,方程ax2-2x+1=0有两个不相等的实根,
∴a≠0且Δ=4-4a>0.∴a<1且a≠0.
故a的取值范围为{a|a<1且a≠0}.