2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.2 向量的加法
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.2 向量的加法 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 806.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:10:56 | ||
图片预览
文档简介
4．2向量的加法
第一课时 向量的加法
向量的加法法则
同学们，让我们先来研究这样两个实例
1．飞机从长沙飞往上海，再从上海飞往北京(如图①)，这两次位移的结果与飞机从长沙直接飞往北京的位移是相同的．这时，我们就把后面这样一次位移叫作前面两次位移的 合位移．
2．在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处(参看图②)．它的实际位移，可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位移的合位移．
1．向量加法的定义
求向量的和的运算称为向量的加法．
2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量 叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ .
(2)平行四边形法则
从同一点O出发分别作向量＝a，＝b，以OA，OB为一组邻边作平行四边形OACB，则平行四边形的对角线OC所代表的向量 ＝＋ ＝a＋b.
1．如果平面内有n个向量依次首尾相连接组成一个封闭折线，那么这n个向量的和是多少？
[提示] 0
2．若ABCD是菱形，则下列结论不正确的序号是________．
①＋＝；
②＋＝；
③＋＝；
④＋＝.
[提示] ①②④
向量加法运算
[例1] 化简：(1)(＋)＋(＋)；
(2)＋＋＋＋.
[思路点拨] 利用运算律和三角形法则可化简．
[边听边记] (1)法一：(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
法二：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)
＝＋0.
(2)＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋)
＝＋＝0.
借
题
发
挥
解决向量加法运算时应关注的两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
1.如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________.
解析：①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
答案：① ② ③
利用加法运算证明几何问题
[例2] 如图，已知E，F分别是?ABCD的边DC，AB的中点， 求证：四边形AECF是平行四边形．
[思路点拨] 证明四边形AECF为平行四边形，只需证＝.
[边听边记] 在?ABCD中，＝，
又由E，F分别是DC，AB中点，得＝.
所以＝＋＝＋＝.
又A，E，C，F四点不共线，
故四边形AECF是平行四边形.
借题
发挥
用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题.
2.如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：＝＋，＝＋，
∵＝，＝，
∴＝，∴AB∥DC且AB＝DC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
向量加法的应用
[例3] 一架直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
[思路点拨] (1)作出方位图；
(2)根据图形借助于向量求解．
[边听边记] 如图所示，设，分别是直升飞机的两次位移，
则表示两次位移的和．
即＝＋，在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，
在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 km处.
借题
发挥
利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立已知量与未知量的关系，然后求解并作出实际回答，解题时要注意作图的准确性.
3．在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，
由图可知，v水＋v船＝v实际，
结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10，
||＝|v船|＝20，
∴sin α＝＝＝.
∴α＝30°，从而船与水流方向成120°角．
所以船行进的方向应与水流的方向成120°角．
1．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0a＝a
C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：A成立，向量加法满足交换律；B显然成立；C成立，它满足三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一个为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
答案：D
2．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：∵＋＝，∴＋＋＝2＝2＝4.
答案：B
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．点P在△ABC的内部
B．点P在△ABC的边AB上
C．点P在AB边所在的直线上
D．点P在△ABC的外部
解析：如图，∵＋＝，∴根据平行四边形法则可知，点P在△ABC外．
答案：D
4．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝________ km；a＋b的方向是________．
解析：由向量加法的平行四边形法则，|a＋b|＝8，方向为东北方向．
答案：8 东北方向
5．根据图示填空．
①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋2＝________.
解析：由三角形法则知
①＋＝＋＝；
②＋＋＝；
③＋＋2＝＋.
答案：① ② ③＋
6.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，
求证：＋＝＋.
证明：由图可知＝＋，
＝＋，将上面两式相加，
得＋＝＋＋＋.
又∵与的模相等，方向相反，故＋＝0.
∴＋＝＋.
向量a＋b的模及方向与向量a，b的模及方向有何关系．
当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
一、选择题
1．设点D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：作图如下：
由图可知，＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)＝×2＝.
答案：C
2.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝.
答案：D
3．已知菱形的两邻边＝a，＝b，其对角线交点为D，则等于( )
A.a＋b B．b＋a
C.(a＋b) D．a＋b
解析：作出图形，易得＋＝2＝a＋b，
∴＝(a＋b)．
答案：C
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同 B．a，b是方向相反的向量
C．a与b在同一直线上 D．a，b无论什么关系均可
解析：由向量加法的几何意义可得．
答案：A
二、填空题
5．向量a，b满足|a|＝6，|b|＝10，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．
解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可得，4≤|a＋b|≤16.
答案：16 4
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，
则BD＝1，则|＋|＝||＝1.
答案：1
三、解答题
7.如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝ (i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因为＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
8．已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内的一点，若＋＋＝0，求证：G是△ABC的重心．
证明：如图所示，∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)，
以，为邻边作平行四边形BGCD，
则有＝＋，∴＝－.
又因为在?BGCD中，BC交GD于点E，
∴＝，＝.
∴AE是△ABC的边BC的中线，且||＝2||.
∴G是△ABC的重心．
第二课时 向量的减法
向量的减法
1．零向量：大小为0的向量称为零向量．
2．相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量．
3．向量的减法：向量的差a－b就是满足条件x＋b＝a的向量x.
4．位置向量
(1)在平面上取定一个点O作为基准点，称为原点．将平面上每个点A都用从O到A的向量来代表，称为A的位置向量．
(2)从A到B的向量等于它的终点B的位置向量减去起点A的位置向量．
1．若a，b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________.
[提示] |a－b|＝2.
2．下列与等价的是________．(填序号)
①＋；②－；③－；④－.
[提示] ①④
向量加减的基本运算
[例1] 化简下列各式：
(1)(－)－(－)；
(2)＋＋－－.
[思路点拨] 利用相反向量的概念调整向量的起点和终点，结合加减法法则进行化简．
[边听边记] (1)法一：(－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
法二：(－)－(－)＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
法三：设O为平面内任意一点，连接OA，OB，OC，OD，
则(－)－(－)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
(2)法一：＋＋－－＝＋＋＋＋
＝(＋＋)＋(＋)＝0＝.
法二：在平面内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，则
＋＋－－
＝(－)＋(－)＋(－)－(－)－(－)
＝－＋－＋－－＋－＋
＝－＝.
借题
发挥
向量加减的运算主要有两种解法，一是直接利用向量加减运算法则，二是引入点O，将各向量统一用，，，等表示进行化简.
1．化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解：(1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
向量加减法的意义
[例2] 已知正方形ABCD的边长等于单位长度1，＝a，＝b，＝c，试作向量(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c，并求出它们的模．
[思路点拨] (1)a＋b＋c＝(a＋b)＋c先求出a＋b，再求得c与它的和．
(2)先作a－b，再与c求和．
[边听边记] (1)如图，由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，所以延长AC至E，使||＝||，
则a＋b＋c＝＋＝，
且|a＋b＋c|＝||＝2||＝2.
(2)由＝－＝－＝a－b，
作＝，则＋＝，即a－b＋c＝.
又△BCF≌△BCD，D，C，F共线，
从而||＝2|a|＝2.
借
题
发
挥
解决多向量之间的运算时，首先求作其中任意两个向量的和，因为两个向量的和仍为一个向量，然后再作这个向量与其他向量的和，方法是多次使用三角形法则.
[变式之作]
将本例中条件变为“＝a，＝b，＝c”，试作向量a＋b－c，并求其模．
解：如图：a＋b＝＋＝，
∴a＋b－c＝－.
作＝，所以a＋b－c＝，
且||＝|a＋b－c|＝2.
用已知向量表示其他向量
[例3] 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
[思路点拨] 根据加减法法则结合图形可求．
[边听边记] 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
借
题
发
挥
(1)解此类题目要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则；
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可直接用向量求和的多边形法则.
2．如图，在△OAB中，延长BA到点C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交于点E.设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
解：∵AC＝BA，∴点A是BC的中点，
∴＝(＋)，即＝2－＝2a－b，
∴＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：＝－＝－－＝－a－b.
答案：D
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||＝4，|＋|＝ |－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：∵|＋|＝|－|＝||＝4，＋＝2，∴||＝2.
答案：C
3．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，
又四边形ABCD为平行四边形，
则＝，即－＝0，所以＋＝0，
即a－b＋c－d＝0.故选B.
答案：B
4．计算：＋＋＝________.
解析：＋＋＝＋＝0.
答案：0
5．给出以下五个命题
①任一非零向量的方向都是唯一的；
②|a|－|b|＜|a＋b|；
③若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
④已知A，B，C是平面上任意三点，则＋＋＝0.
其中正确的命题序号有________．
解析：若b＝0，则|a|－|b|＝|a＋b|，故②不正确．
答案：①③④
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|.
解：由平行四边形中的性质得
|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)，
∴|a＋b|2＝2×(12＋22)－22＝6.
∴|a＋b|＝.
对于任意的向量a，b，|a－b|，||a|－|b||及|a|＋|b|三者之间的大小关系是怎样的呢？
当向量a与b共线时，
①两非零向量a与b同向时，则|a－b|＝||a|－|b||<|a|＋|b|；
②两非零向量a与b反向时，则|a－b|＝|a|＋|b|>||a|－|b||；
③当a与b中至少有一个为零向量时，则|a－b|＝||a|－|b||＝|a|＋|b|.
当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，＝a，＝b，则＝－＝a－b，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边可得： ||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
谢谢楼上两位，我来总结一下吧！
对任意的向量a与b都有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.只有当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||≤|a－b|中的等号成立；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，|a－b|≤|a|＋|b|中的等号成立．
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是( )
A．－＝
B．＋＝
C．＋＋＝
D．＋＝＋
解析：－＝，故A错误；
＋＝，故B错误；
＋＋＝＋＋＝＋＝，故C正确；
＋＝＝－，故D错误．
答案：C
2．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；
②||＝||；
③|－|＝|＋|；
④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由菱形的图象，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
答案：C
3．在平行四边形ABCD中，－＋等于( )
A． B．
C． D．
解析：如图，在平行四边形ABCD中，＝，
∴－＋＝－＋＝.
答案：A
4．在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A.(a＋b) B．(a－b)
C.(b－a) D．－(a＋b)
解析：＝＝(－)＝(b－a)．
答案：C
二、填空题
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则平行四边形ABCD的形状是________．
解析：根据平行四边形法则，|＋|＝|－|时，其对角线相等，
所以该平行四边形为矩形．
答案：矩形
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝ ________.
解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝2，
而已知＋＝λ，所以λ＝2.
答案：2
三、解答题
7．如图，用a，b，c表示下列向量：
(1)e－g；(2)f－d；(3)d－g.
解：(1)e－g＝－＝
＝－＝－(＋)
＝－(b＋c)＝－b－c.
(2)f－d＝－＝＝＋＝a＋b.
(3)d－g＝－＝＝－＝－(＋＋)
＝－(a＋b＋c)＝－a－b－c.
8．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以线段OC，OD为邻边作平行四边形，第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.
第一课时 向量的加法
向量的加法法则
同学们，让我们先来研究这样两个实例
1．飞机从长沙飞往上海，再从上海飞往北京(如图①)，这两次位移的结果与飞机从长沙直接飞往北京的位移是相同的．这时，我们就把后面这样一次位移叫作前面两次位移的 合位移．
2．在大型生产车间里，一重物被天车从A处搬运到B处(参看图②)．它的实际位移，可以看作水平运动的分位移与竖直运动的分位移的合位移．
1．向量加法的定义
求向量的和的运算称为向量的加法．
2．向量加法的运算法则
(1)三角形法则
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量 叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ .
(2)平行四边形法则
从同一点O出发分别作向量＝a，＝b，以OA，OB为一组邻边作平行四边形OACB，则平行四边形的对角线OC所代表的向量 ＝＋ ＝a＋b.
1．如果平面内有n个向量依次首尾相连接组成一个封闭折线，那么这n个向量的和是多少？
[提示] 0
2．若ABCD是菱形，则下列结论不正确的序号是________．
①＋＝；
②＋＝；
③＋＝；
④＋＝.
[提示] ①②④
向量加法运算
[例1] 化简：(1)(＋)＋(＋)；
(2)＋＋＋＋.
[思路点拨] 利用运算律和三角形法则可化简．
[边听边记] (1)法一：(＋)＋(＋)
＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
法二：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)
＝＋0.
(2)＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋＋)
＝＋＝0.
借
题
发
挥
解决向量加法运算时应关注的两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
1.如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．
则①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋＝________.
解析：①＋＝＋＝.
②＋＋＝＋＝＋＝.
③＋＋＝＋＋＝.
答案：① ② ③
利用加法运算证明几何问题
[例2] 如图，已知E，F分别是?ABCD的边DC，AB的中点， 求证：四边形AECF是平行四边形．
[思路点拨] 证明四边形AECF为平行四边形，只需证＝.
[边听边记] 在?ABCD中，＝，
又由E，F分别是DC，AB中点，得＝.
所以＝＋＝＋＝.
又A，E，C，F四点不共线，
故四边形AECF是平行四边形.
借题
发挥
用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题.
2.如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， 且＝，＝.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：＝＋，＝＋，
∵＝，＝，
∴＝，∴AB∥DC且AB＝DC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
向量加法的应用
[例3] 一架直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．
[思路点拨] (1)作出方位图；
(2)根据图形借助于向量求解．
[边听边记] 如图所示，设，分别是直升飞机的两次位移，
则表示两次位移的和．
即＝＋，在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km，
在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60°，
即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40 km处.
借题
发挥
利用向量解题，其关键是通过向量的运算建立已知量与未知量的关系，然后求解并作出实际回答，解题时要注意作图的准确性.
3．在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
解：作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，
由图可知，v水＋v船＝v实际，
结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10，
||＝|v船|＝20，
∴sin α＝＝＝.
∴α＝30°，从而船与水流方向成120°角．
所以船行进的方向应与水流的方向成120°角．
1．下列各式不一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0a＝a
C．＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：A成立，向量加法满足交换律；B显然成立；C成立，它满足三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一个为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
答案：D
2．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为( )
A．2 B．4
C．12 D．6
解析：∵＋＝，∴＋＋＝2＝2＝4.
答案：B
3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，则下列结论中正确的是( )
A．点P在△ABC的内部
B．点P在△ABC的边AB上
C．点P在AB边所在的直线上
D．点P在△ABC的外部
解析：如图，∵＋＝，∴根据平行四边形法则可知，点P在△ABC外．
答案：D
4．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝________ km；a＋b的方向是________．
解析：由向量加法的平行四边形法则，|a＋b|＝8，方向为东北方向．
答案：8 东北方向
5．根据图示填空．
①＋＝________；
②＋＋＝________；
③＋＋2＝________.
解析：由三角形法则知
①＋＝＋＝；
②＋＋＝；
③＋＋2＝＋.
答案：① ② ③＋
6.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，
求证：＋＝＋.
证明：由图可知＝＋，
＝＋，将上面两式相加，
得＋＝＋＋＋.
又∵与的模相等，方向相反，故＋＝0.
∴＋＝＋.
向量a＋b的模及方向与向量a，b的模及方向有何关系．
当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b都不相同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b同向时，a＋b，a，b的方向相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
当a与b反向时，若|a|≥|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|.
若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
一、选择题
1．设点D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：作图如下：
由图可知，＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)＝×2＝.
答案：C
2.如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B．
C． D．
解析：由于＝，故＋＋＝＋＋＝.
答案：D
3．已知菱形的两邻边＝a，＝b，其对角线交点为D，则等于( )
A.a＋b B．b＋a
C.(a＋b) D．a＋b
解析：作出图形，易得＋＝2＝a＋b，
∴＝(a＋b)．
答案：C
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同 B．a，b是方向相反的向量
C．a与b在同一直线上 D．a，b无论什么关系均可
解析：由向量加法的几何意义可得．
答案：A
二、填空题
5．向量a，b满足|a|＝6，|b|＝10，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．
解析：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可得，4≤|a＋b|≤16.
答案：16 4
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，
则BD＝1，则|＋|＝||＝1.
答案：1
三、解答题
7.如图所示，中心为O的正八边形A1A2…A7A8中，ai＝ (i＝1,2，…，7)，bj＝(j＝1,2，…，8)，试化简a2＋a5＋b2＋b5＋b7.
解：因为＋＝0，
所以a2＋a5＋b2＋b5＋b7
＝＋＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＋
＝＝b6.
8．已知A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内的一点，若＋＋＝0，求证：G是△ABC的重心．
证明：如图所示，∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)，
以，为邻边作平行四边形BGCD，
则有＝＋，∴＝－.
又因为在?BGCD中，BC交GD于点E，
∴＝，＝.
∴AE是△ABC的边BC的中线，且||＝2||.
∴G是△ABC的重心．
第二课时 向量的减法
向量的减法
1．零向量：大小为0的向量称为零向量．
2．相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量．
3．向量的减法：向量的差a－b就是满足条件x＋b＝a的向量x.
4．位置向量
(1)在平面上取定一个点O作为基准点，称为原点．将平面上每个点A都用从O到A的向量来代表，称为A的位置向量．
(2)从A到B的向量等于它的终点B的位置向量减去起点A的位置向量．
1．若a，b方向相反，且|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝________.
[提示] |a－b|＝2.
2．下列与等价的是________．(填序号)
①＋；②－；③－；④－.
[提示] ①④
向量加减的基本运算
[例1] 化简下列各式：
(1)(－)－(－)；
(2)＋＋－－.
[思路点拨] 利用相反向量的概念调整向量的起点和终点，结合加减法法则进行化简．
[边听边记] (1)法一：(－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
法二：(－)－(－)＝－－＋
＝(－)＋(－)＝＋＝0.
法三：设O为平面内任意一点，连接OA，OB，OC，OD，
则(－)－(－)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
(2)法一：＋＋－－＝＋＋＋＋
＝(＋＋)＋(＋)＝0＝.
法二：在平面内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD，则
＋＋－－
＝(－)＋(－)＋(－)－(－)－(－)
＝－＋－＋－－＋－＋
＝－＝.
借题
发挥
向量加减的运算主要有两种解法，一是直接利用向量加减运算法则，二是引入点O，将各向量统一用，，，等表示进行化简.
1．化简：(1)(－)－(－)；
(2)(＋＋)－(－－)．
解：(1)(－)－(－)
＝－＝.
(2)(＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋＝0.
向量加减法的意义
[例2] 已知正方形ABCD的边长等于单位长度1，＝a，＝b，＝c，试作向量(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c，并求出它们的模．
[思路点拨] (1)a＋b＋c＝(a＋b)＋c先求出a＋b，再求得c与它的和．
(2)先作a－b，再与c求和．
[边听边记] (1)如图，由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，所以延长AC至E，使||＝||，
则a＋b＋c＝＋＝，
且|a＋b＋c|＝||＝2||＝2.
(2)由＝－＝－＝a－b，
作＝，则＋＝，即a－b＋c＝.
又△BCF≌△BCD，D，C，F共线，
从而||＝2|a|＝2.
借
题
发
挥
解决多向量之间的运算时，首先求作其中任意两个向量的和，因为两个向量的和仍为一个向量，然后再作这个向量与其他向量的和，方法是多次使用三角形法则.
[变式之作]
将本例中条件变为“＝a，＝b，＝c”，试作向量a＋b－c，并求其模．
解：如图：a＋b＝＋＝，
∴a＋b－c＝－.
作＝，所以a＋b－c＝，
且||＝|a＋b－c|＝2.
用已知向量表示其他向量
[例3] 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
[思路点拨] 根据加减法法则结合图形可求．
[边听边记] 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
故＝＋＝b－a＋c.
借
题
发
挥
(1)解此类题目要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则；
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？
(3)必要时可直接用向量求和的多边形法则.
2．如图，在△OAB中，延长BA到点C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交于点E.设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
解：∵AC＝BA，∴点A是BC的中点，
∴＝(＋)，即＝2－＝2a－b，
∴＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
1．在△ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：＝－＝－－＝－a－b.
答案：D
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||＝4，|＋|＝ |－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：∵|＋|＝|－|＝||＝4，＋＝2，∴||＝2.
答案：C
3．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，
又四边形ABCD为平行四边形，
则＝，即－＝0，所以＋＝0，
即a－b＋c－d＝0.故选B.
答案：B
4．计算：＋＋＝________.
解析：＋＋＝＋＝0.
答案：0
5．给出以下五个命题
①任一非零向量的方向都是唯一的；
②|a|－|b|＜|a＋b|；
③若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
④已知A，B，C是平面上任意三点，则＋＋＝0.
其中正确的命题序号有________．
解析：若b＝0，则|a|－|b|＝|a＋b|，故②不正确．
答案：①③④
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|.
解：由平行四边形中的性质得
|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)，
∴|a＋b|2＝2×(12＋22)－22＝6.
∴|a＋b|＝.
对于任意的向量a，b，|a－b|，||a|－|b||及|a|＋|b|三者之间的大小关系是怎样的呢？
当向量a与b共线时，
①两非零向量a与b同向时，则|a－b|＝||a|－|b||<|a|＋|b|；
②两非零向量a与b反向时，则|a－b|＝|a|＋|b|>||a|－|b||；
③当a与b中至少有一个为零向量时，则|a－b|＝||a|－|b||＝|a|＋|b|.
当两非零向量a与b不共线时，如在△ABC中，＝a，＝b，则＝－＝a－b，根据三角形中任意两边之差总小于第三边，任意两边之和总大于第三边可得： ||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
谢谢楼上两位，我来总结一下吧！
对任意的向量a与b都有||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.只有当a与b同向或a与b中至少有一个为零向量时，||a|－|b||≤|a－b|中的等号成立；当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时，|a－b|≤|a|＋|b|中的等号成立．
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，下列各式中成立的是( )
A．－＝
B．＋＝
C．＋＋＝
D．＋＝＋
解析：－＝，故A错误；
＋＝，故B错误；
＋＋＝＋＋＝＋＝，故C正确；
＋＝＝－，故D错误．
答案：C
2．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；
②||＝||；
③|－|＝|＋|；
④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由菱形的图象，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
答案：C
3．在平行四边形ABCD中，－＋等于( )
A． B．
C． D．
解析：如图，在平行四边形ABCD中，＝，
∴－＋＝－＋＝.
答案：A
4．在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A.(a＋b) B．(a－b)
C.(b－a) D．－(a＋b)
解析：＝＝(－)＝(b－a)．
答案：C
二、填空题
5．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则平行四边形ABCD的形状是________．
解析：根据平行四边形法则，|＋|＝|－|时，其对角线相等，
所以该平行四边形为矩形．
答案：矩形
6．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝ ________.
解析：由向量加法的平行四边形法则可知＋＝2，
而已知＋＝λ，所以λ＝2.
答案：2
三、解答题
7．如图，用a，b，c表示下列向量：
(1)e－g；(2)f－d；(3)d－g.
解：(1)e－g＝－＝
＝－＝－(＋)
＝－(b＋c)＝－b－c.
(2)f－d＝－＝＝＋＝a＋b.
(3)d－g＝－＝＝－＝－(＋＋)
＝－(a＋b＋c)＝－a－b－c.
8．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以线段OC，OD为邻边作平行四边形，第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，
∴＝＋＝a＋b，
∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.
又四边形ODHC为平行四边形，
∴＝＋＝c＋a＋b，
∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.