2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.3 向量与实数相乘
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.3 向量与实数相乘 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 783.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:11:25 | ||
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文档简介
4．3向量与实数相乘
向量的数乘
以下是生活中我们常见的实例．
1．在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速，经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍．
2．一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vt＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度，大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下．
以上两个问题反映了向量的何种运算呢？
实数与向量相乘的法则
1．将向量v乘以一个正数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相同，长度|λv|是|v|的λ倍．
2．将向量v乘以一个负数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相反，长度|λv|是|v|的|λ|倍．
3．向量v乘以0得到的0v是零向量．
1．已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题有( )
①λ＜0，a≠0，λa与a的方向一定相反；
②λ＞0，a≠0，λa与a的方向一定相同；
③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；
④λμ＞0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；
⑤λμ＜0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[提示] 由λa方向的规定易知，命题①②③正确；对于命题④与⑤，当λμ＞0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确；当λμ＜0时，λ与μ异号，则λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，因而λa与μa反向，故命题⑤正确．故选D.
2．化简：4(a－b)－3(a＋b)－b.
[提示] a－8b.
向量的平行
1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行．
2．零向量与所有的向量平行．
3．两个向量平行?其中一个向量是另一个向量的实数倍．
由向量＝λ可否得出A，B，C三点共线？反过来成立吗？
[提示] 由＝λ，又，有公共点A，从而A，B，C三点共线，反之也成立，这是证明三点共线的常用方法．
向量与实数的乘法运算律及单位向量
1．向量与实数的乘法满足以下运算律
(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则
(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.
(2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．单位向量：长度为1的向量称为单位向量．
向量的线性运算
[例1] 计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)；
(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
[思路点拨] 利用数乘向量的运算可化简．
[边听边记] (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c
＝6a＋4b.
(2)原式＝
＝(－3a＋6b)＝2b－a.
(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b
＝－2(m＋n)b.
借题
发挥
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
1．(1)化简；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，
求－＋(2b－a)．
解：(1)原式＝
＝
＝＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j＝－i－5j.
共线向量定理及其应用
[例2] 两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？
[思路点拨] 根据向量共线定理，若存在实数k，使d＝kc，则d，c共线．反之，则不共线．
[边听边记] d＝λa＋μb
＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使d与c共线，则存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2.
∴
解得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d与c共线.
借题
发挥
待定系数法、方程思想是处理这类问题的常见策略.
2．如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线．
证明：设＝e1，＝e2，则＝＝e2.
∵＝＝e2，＝＝e1，
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1＝3＝3，
∴向量与共线．
又M是公共点，∴M，N，D三点共线．
[例3] 在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，设＝a，＝b，试用a，b表示.
[思路点拨] 在△ABG中用a，b表示在△AGC中用a，b表示的两个表达式相等→参数值→的表达式．
[边听边记] 在△ABG中，＝＋＝＋λ＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b，
在△AGC中，＝＋＝＋m
＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，
∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b.
借题
发挥
根据向量的三角形法则和向量数乘的几何意义，注意结合图形依据向量的相关知识进行正确转化.
3.如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝＋，＝＋.
求证：四边形APQB为梯形．
证明：因为＝＋＋＝－－＋＋＋＝，
所以∥.
又||＝15，所以||＝13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形．
1．已知m∈R，下列说法正确的是( )
A．若ma＝0，则必有a＝0
B．若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同
C．若m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|
D．若m≠0，a≠0，则ma与a共线
解析：若ma＝0，则a＝0或m＝0，故A错误；若m≠0，a≠0，则|ma|＝|m||a|，ma与a共线，方向相同或相反，故B，C错误，D正确．
答案：D
2．已知a，b是不共线的非零向量，实数x，y满足(xa＋2b)－(a－yb)＝0，则( )
A. B．
C. D．
解析：∵a，b为不共线的非零向量，(xa＋2b)－(a－yb)＝(x－1)a＋(2＋y)b＝0，
∴解得
答案：C
3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心．
设点D为底边BC的中点，
则＝＝×(＋)＝(＋)，
∴＋＝3，故m＝3.
答案：B
4．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________.
解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝ab＝0a＋0b＝0.
答案：0
5.如图，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：＝－＝－
＝－＝－(＋)
＝－＝(b－a)．
答案：(b－a)
6．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴解得
∴k＝－2.
通过这节课的学习，谈谈你对向量共线定理的认识？
由a＝λb?a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行；若λ>0，则a与b 同向；若λ<0，则a与b反向．
由a∥b?a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.
该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判定图形的形状等；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是坐标轴上向量坐标化的依据．
一、选择题
1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝( )
A．b－a B．b＋a
C．a＋b D．a－b
解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
答案：A
2．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝ ，则点P一定为( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．BC边中线的中点
D．AB边的中点
解析：∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，
即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.
答案：B
3.如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，则＝( )
A.a－b B．a－b
C.b－a D．b－a
解析：＝＋＝＋
＝－＋(＋)＝－＋
＝－a＋b.
答案：D
4．在△ABC中，点P是BC上的一点，＝2，＝λ＋μ，则( )
A．λ＝2，μ＝1 B．λ＝1，μ＝2
C．λ＝，μ＝ D．λ＝，μ＝
解析：∵＝2，∴－＝2(－)，
∴＝＋，∴λ＝，μ＝.
答案：C
二、填空题
5．已知＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析：根据＝＋可知，M是BC边上的一点．
设BM∶CM＝λ，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴解得λ＝3，∴BM∶CM＝3，即BM∶BC＝3∶4.
∵两个三角形等高，∴两个三角形面积比为3∶4.
答案：3∶4
6.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
解析：设＝k,0≤k≤1，
则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，
∵＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k.
又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取得最大值3.
故t＝λ－μ的最大值为3.
答案：3
三、解答题
7．已知向量e1，e2不共线，判断下列向量a，b是否共线．
(1)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
(2)a＝2e1－e2，b＝e1－2e2.
解：(1)设a＝λb，则e1－e2＝λ(3e1－2e2)＝3λe1－2λe2，
∴解得λ＝，故a与b共线．
(2)设a＝λb，则2e1－e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，
∴λ无解，故a与b不共线．
8.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ (0≤λ≤1)，
则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
向量的数乘
以下是生活中我们常见的实例．
1．在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速，经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍．
2．一重物由高空自由落下，由自由落体运动的速度公式vt＝gt可知，它在1 s末和2 s末的速度，大小分别为v1＝9.8 m/s和v2＝19.6 m/s.显然v2＝2v1，并且方向都是竖直向下．
以上两个问题反映了向量的何种运算呢？
实数与向量相乘的法则
1．将向量v乘以一个正数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相同，长度|λv|是|v|的λ倍．
2．将向量v乘以一个负数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相反，长度|λv|是|v|的|λ|倍．
3．向量v乘以0得到的0v是零向量．
1．已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题有( )
①λ＜0，a≠0，λa与a的方向一定相反；
②λ＞0，a≠0，λa与a的方向一定相同；
③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；
④λμ＞0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；
⑤λμ＜0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[提示] 由λa方向的规定易知，命题①②③正确；对于命题④与⑤，当λμ＞0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确；当λμ＜0时，λ与μ异号，则λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，因而λa与μa反向，故命题⑤正确．故选D.
2．化简：4(a－b)－3(a＋b)－b.
[提示] a－8b.
向量的平行
1．当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行．
2．零向量与所有的向量平行．
3．两个向量平行?其中一个向量是另一个向量的实数倍．
由向量＝λ可否得出A，B，C三点共线？反过来成立吗？
[提示] 由＝λ，又，有公共点A，从而A，B，C三点共线，反之也成立，这是证明三点共线的常用方法．
向量与实数的乘法运算律及单位向量
1．向量与实数的乘法满足以下运算律
(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则
(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.
(2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a＋b)＝λa＋λb.
2．单位向量：长度为1的向量称为单位向量．
向量的线性运算
[例1] 计算：
(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；
(2)；
(3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)．
[思路点拨] 利用数乘向量的运算可化简．
[边听边记] (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c
＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c
＝6a＋4b.
(2)原式＝
＝(－3a＋6b)＝2b－a.
(3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b
＝－2(m＋n)b.
借题
发挥
向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
1．(1)化简；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，
求－＋(2b－a)．
解：(1)原式＝
＝
＝＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j＝－i－5j.
共线向量定理及其应用
[例2] 两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？
[思路点拨] 根据向量共线定理，若存在实数k，使d＝kc，则d，c共线．反之，则不共线．
[边听边记] d＝λa＋μb
＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2.
要使d与c共线，则存在实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2.
∴
解得λ＝－2μ.
故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d与c共线.
借题
发挥
待定系数法、方程思想是处理这类问题的常见策略.
2．如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线．
证明：设＝e1，＝e2，则＝＝e2.
∵＝＝e2，＝＝e1，
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1＝3＝3，
∴向量与共线．
又M是公共点，∴M，N，D三点共线．
[例3] 在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于点G，设＝a，＝b，试用a，b表示.
[思路点拨] 在△ABG中用a，b表示在△AGC中用a，b表示的两个表达式相等→参数值→的表达式．
[边听边记] 在△ABG中，＝＋＝＋λ＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b，
在△AGC中，＝＋＝＋m
＝＋(＋)
＝＋(－＋－)
＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，
∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b.
借题
发挥
根据向量的三角形法则和向量数乘的几何意义，注意结合图形依据向量的相关知识进行正确转化.
3.如图所示，正三角形ABC的边长为15，＝＋，＝＋.
求证：四边形APQB为梯形．
证明：因为＝＋＋＝－－＋＋＋＝，
所以∥.
又||＝15，所以||＝13，故||≠||，于是四边形APQB为梯形．
1．已知m∈R，下列说法正确的是( )
A．若ma＝0，则必有a＝0
B．若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同
C．若m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|
D．若m≠0，a≠0，则ma与a共线
解析：若ma＝0，则a＝0或m＝0，故A错误；若m≠0，a≠0，则|ma|＝|m||a|，ma与a共线，方向相同或相反，故B，C错误，D正确．
答案：D
2．已知a，b是不共线的非零向量，实数x，y满足(xa＋2b)－(a－yb)＝0，则( )
A. B．
C. D．
解析：∵a，b为不共线的非零向量，(xa＋2b)－(a－yb)＝(x－1)a＋(2＋y)b＝0，
∴解得
答案：C
3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心．
设点D为底边BC的中点，
则＝＝×(＋)＝(＋)，
∴＋＝3，故m＝3.
答案：B
4．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________.
解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝ab＝0a＋0b＝0.
答案：0
5.如图，在?ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：＝－＝－
＝－＝－(＋)
＝－＝(b－a)．
答案：(b－a)
6．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴解得
∴k＝－2.
通过这节课的学习，谈谈你对向量共线定理的认识？
由a＝λb?a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行；若λ>0，则a与b 同向；若λ<0，则a与b反向．
由a∥b?a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.
该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行，进而证明三点共线，三角形相似，两线段平行以及用来判定图形的形状等；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一个非零向量线性表示，可以用来求参数，它是坐标轴上向量坐标化的依据．
一、选择题
1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝( )
A．b－a B．b＋a
C．a＋b D．a－b
解析：＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.
答案：A
2．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝ ，则点P一定为( )
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．BC边中线的中点
D．AB边的中点
解析：∵O是△ABC的重心，∴＋＋＝0，
∴＝＝，∴点P是线段OC的中点，
即AB边中线的三等分点(非重心)．故选B.
答案：B
3.如图，在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝3，则＝( )
A.a－b B．a－b
C.b－a D．b－a
解析：＝＋＝＋
＝－＋(＋)＝－＋
＝－a＋b.
答案：D
4．在△ABC中，点P是BC上的一点，＝2，＝λ＋μ，则( )
A．λ＝2，μ＝1 B．λ＝1，μ＝2
C．λ＝，μ＝ D．λ＝，μ＝
解析：∵＝2，∴－＝2(－)，
∴＝＋，∴λ＝，μ＝.
答案：C
二、填空题
5．已知＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
解析：根据＝＋可知，M是BC边上的一点．
设BM∶CM＝λ，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
∴解得λ＝3，∴BM∶CM＝3，即BM∶BC＝3∶4.
∵两个三角形等高，∴两个三角形面积比为3∶4.
答案：3∶4
6.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
解析：设＝k,0≤k≤1，
则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，
∵＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k.
又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取得最大值3.
故t＝λ－μ的最大值为3.
答案：3
三、解答题
7．已知向量e1，e2不共线，判断下列向量a，b是否共线．
(1)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；
(2)a＝2e1－e2，b＝e1－2e2.
解：(1)设a＝λb，则e1－e2＝λ(3e1－2e2)＝3λe1－2λe2，
∴解得λ＝，故a与b共线．
(2)设a＝λb，则2e1－e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，
∴λ无解，故a与b不共线．
8.如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ (0≤λ≤1)，
则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.