2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.4 向量的分解与坐标表示

4．4向量的分解与坐标表示
定理3与向量的坐标
1．定理3　设e1，e2是平面上两个互相垂直的单位向量，则
(1)平面上任意一个向量v都可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2，其中x，y是两个实数．
(2)两个向量u＝ae1＋be2和v＝xe1＋ye2相等的充分必要条件是：a＝x且b＝y.
2．向量v的坐标
任意取定两个互相垂直的单位向量e1，e2作为“尺”，可以“度量”平面上任何一个向量v，得出两个“量数”x，y.我们将e1，e2称为一组基，用这组基去“度量”每一个向量v，也就是将v写成这组基的线性组合v＝xe1＋ye2，得到的两个“量数”x，y组成一组(x，y)，称为v的坐标．
下列关于基的说法正确的是________．
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基．
②基中的向量可以是零向量．
③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的．
[提示]　①③
向量的坐标运算
1．(x1，y1)±(x2，y2)＝(x1±x2，y1±y2)．
2．a(x，y)＝(ax，ay)．
3．(x1，y1)∥(x2，y2)?x1y2－x2y1＝0.
4．从任一点P(x1，y1)到任一点Q(x2，y2)的向量的坐标，等于这个向量的终点坐标减去起点坐标，为(x2－x1，y2－y1)．
1．向量＝(1,2)，则A点的坐标为________．
[提示]　A(1,2)
2．A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标为________．
[提示]　(1,2)
3．a＝(2,1)，b＝(－1,0)，则3a＋2b的坐标为________．
[提示]　(4,3)
4．已知a＝(4,2)，b＝(6，y)且a∥b，则y＝________.
[提示]　由4y－12＝0，得y＝3.
5．已知a＝(6,6)，b＝(5,7)，c＝(2,4)，则b－c与a共线吗？
[提示]　b－c＝(3,3)＝a，∴共线．
定理4(平面向量基本定理)
定理4(平面向量基本定理)　设e1，e2是平面上两个不平行的非零向量，则
(1)平面上任意一个向量v可以分解为e1，e2的线性组合：v＝xe1＋ye2.
(2)向量u＝ae1＋be2与v＝xe1＋ye2相等?线性组合式中的对应系数相等：a＝x且b＝y.
若a，b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则λ＝________，μ＝________.
[提示]　λ＝μ＝0
用基底表示向量
[例1]　如图，在?ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，点F使BF＝BC，试以a，b为基底分解向量和.
[思路点拨]　可以从题中分别找出，与，之间的关系，然后解决问题．
[边听边记]　由题意，得＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
＝－＝＋－＝＋－＝＋－＝a－b.
借
题
发
挥
(1)若题中给出了基底，则可以利用向量的加、减、数乘运算找到所求向量与基底的关系．
(2)若题中没有给出基底，而需要用恰当的基底表示所求向量，则一般寻找同端点的两个不共线的向量或题中隐含的不共线的向量为基底，再运用(1)的方法求解.
1.如图，M，N，P是△ABC三边上的点，使得＝，＝，＝.若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－＝－－
＝－－(－)＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)＝a＋b.
平面向量的坐标运算
[例2]　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.
[思路点拨]　(1)先利用数乘向量的坐标运算．
(2)再利用向量坐标的加减运算．
[边听边记]　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)＝－＝.
借题
发挥
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
[变式之作]
本例中条件若变为“a＝(－1,2)，b＝(m，n)且a－3b＝(－7，－1)”，求b.
解：∵a＝(－1,2)，b＝(m，n)
∴a－3b＝(－1－3m,2－3n)＝(－7，－1)
∴∴m＝2，n＝1.
∴b＝(2,1)．
共线的判定
[例3]　(1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线；
(2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[思路点拨]　(1)求出，的坐标；
(2)由共线向量坐标条件进行判断；
(3)由向量共线条件求出参数．
[边听边记]　(1)证明：∵＝－＝(4,8)，
＝－＝(6,12)，
∴＝，即与共线．
又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．
(2)若A，B，C三点共线，则，共线，
∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(10－k，k－12)，
∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0.
解得k＝－2或k＝11.
借题
发挥
一般地，把三点共线问题转化成向量共线问题，而向量共线常用的判断方法有两种：一是直接用＝λ；二是利用坐标运算.
2．设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？
解：＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，
＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，
＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．
由与共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.
又与方向相同，所以x＝2.
此时，＝(2,1)，＝(－3,2)，
而2×2≠－3×1，所以与不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．
平面向量基本定理的应用
[例4]　如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若＝x， ＝y，试问：＋是否为定值？
[思路点拨]　(1)选取基向量＝a，＝b；
(2)利用平面向量基本定理表示，；
(3)利用，共线可得结论．
[边听边记]　设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，
＝＝(＋)＝(a＋b)．
∴＝－＝(a＋b)－xa＝a＋b，
＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.
∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.
∴a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.
∵a与b不共线，∴
消去λ，得＋＝4，∴＋为定值.
借题
发挥
利用平面向量基本定理和共线向量定理，引入参数解决问题是常考的热点题型，要注意合理的选择基底及构造向量共线，从而结合方程思想解决问题.
3．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为________．
解析：设点E为边BC的中点，则(＋)＝，
由题意，得＝，所以＝＝(＋)＝＋，
因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3.
答案：3
1．下列三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．
其中正确的有(　　)
A．①②　　　　　　　　 　B．②③
C．①③ D．①②③
答案：B
2．在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A.a＋b 　B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：∵CD为角平分线，∴＝＝.
∵＝－＝a－b，
∴＝＝a－b，
∴＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
答案：B
3．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则一定有(　　)
A．λ2＋μ2＝1 　B．λ－μ＝1
C．λμ＝1 D．λ＋μ＝1
解析：若A，B，C三点共线，则与共线，
即存在一个实数t，使＝t，
即λa＋b＝t(a＋μb)，
∴λ＝t,1＝μt.消去参数t，得λμ＝1.
答案：C
4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
解析：由向量a＋λb与－(b－3a)共线，
得a＋λb＝－k(b－3a)，即解得
答案：－
5．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.
解析：∵平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，
∴a＋b＝(1,0)或(－1,0)，
则a＝(1,0)－(2，－1)＝(－1，1)或a＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
6.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解：＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－b－(a－b)＝－a＋b，
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
两向量共线的坐标表示有何几何解释？能否表示成＝呢？
由a∥b?x1y2－x2y1＝0，(x1，x2，y1，y2均不为零)?＝说明与向量a，b共线的两直线的斜率相等，即两直线平行，这与解析几何知识一致．
当b不平行坐标轴即x2≠0，y2≠0时可表示为＝，否则不成立．
一、选择题
1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(　　)
A．3a＋b　　　　　　　　 　B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
解析：令c＝λa＋μb，∴(4,2)＝λ(1,1)＋μ(－1,1)．
∴解得
∴c＝3a－b.
答案：B
2．已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，则＝(　　)
A．(x＋4,2－y) 　B．(x－4,2－y)
C．(x－4，y－2) D．(－4－x，－y＋2)
解析：∵＝＋＋＝(6＋x－2,1＋y－3)＝(4＋x，y－2)，
∴＝－＝(－4－x，－y＋2)．
答案：D
3．如果向量a＝(k,1)与b＝(4，k)共线且方向相反，则k＝(　　)
A．±2 　B．－2
C．2 D．0
解析：∵a＝(k,1)与b＝(4，k)共线，∴k2－1×4＝0，解得k＝±2.
又∵a，b反向，∴k＝－2.
答案：B
4．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝(　　)
A. 　B．－
C. D．－
解析：根据向量平行的充要条件，得3cos α－4sin α＝0，则tan α＝.
答案：A
二、填空题
5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.
解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，
即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得
答案：
6．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝________.
解析：∵a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0.
∴c＝2b－3a＝2(－4，－3)－3(5,2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
答案：(－23，－12)
三、解答题
7．已知O为坐标原点，＝(1,1)，＝(3，－1)，＝(a，b)．
(1)若＝2，求点C的坐标；
(2)若A，B，C三点共线，求a＋b的值．
解：(1)∵＝－＝(a－1，b－1)，＝－＝(2，－2)，且＝2，
∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，
即解得
∴C(5，－3)．
(2)由(1)可得，＝(a－1，b－1)，＝(2，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴－2(a－1)－2(b－1)＝0，
化简，得a＋b＝2.
8．设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
解：(1)当m＝8时，＝(8,3)．
设＝λ＋μ，
则(8,3)＝λ(2，－1)＋μ(3,0)＝(2λ＋3μ，－λ)，
即解得
故＝－3＋.
(2)由题可知＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)，
则＝－＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，
＝－＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)．
若A，B，C三点能构成三角形，则与不共线．
由1×4－1×(m－2)≠0，得m≠6.
故A，B，C三点能构成三角形，则实数m应满足m≠6.