2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.5.1 向量的数量积

4．5.1　向量的数量积
数量积的定义
1．数量积的定义
设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，取值范围是[0，π]，则定义a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉称为a与b的数量积．
2．a在b上的投影值
(1)a在b上的投影值(a)b＝a·b°＝a·b.
(2)特别当b是单位向量时，有(a)b＝a·b.
判断下列各题是否正确．
(1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　)
(2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　)
(3)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．(　　)
(4)若a·b＝0，则a⊥b.(　　)
[提示]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
数量积的运算律
数量积满足如下的运算律：
(1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立．
(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，对任意向量a，b和实数λ成立；
(3)分配律：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立．
1．对于不共线向量a，b，c，判断(a·b)c＝a(b·c)是否成立？
[提示]　不一定成立．因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故不成立．
2．(a±b)2＝a2±2a·b＋b2对吗？
[提示]　正确．
3．(a＋b)(a－b)＝a2－b2对吗？
[提示]　正确．
求平面向量的数量积
[例1]　已知向量a与b的夹角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)a·b；　 (2)(a＋b)2；
(3)a2－b2；　(4)(a－2b)(a＋b)．
[思路点拨]利用数量积的定义及运算律可求．
[边听边记]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×＝－4.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝16－8＋4＝12.
(3)a2－b2＝|a|2－|b|2＝16－4＝12.
(4)(a－2b)·(a＋b)＝a2＋a·b－2a·b－2b2
＝a2－a·b－2b2＝|a|2－a·b－2|b|2
＝16＋4－8＝12.
借题
发挥
此类问题要充分利用有关的运算法则转化成求数量积及模的问题，特别注意a2＝|a|2及整体代入.
1．已知平面上三点A，B，C满足||＝2，||＝1，||＝，求·＋·＋·的值．
解：∵||＝2，||＝1，||＝，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，sin∠ABC＝，sin∠BAC＝，
∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°，
∴与的夹角为120°，与的夹角为90°，与的夹角为150°，
∴·＋·＋·
＝2×1×cos 120°＋1××cos 90°＋×2×cos 150°
＝－4.
[例2]　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求 a与b的数量积．
[思路点拨]　利用数量积的定义求解．
[边听边记]　(1)a∥b时，有两种情况．
若a和b同向，则θ＝0°，a·b＝|a|·|b|＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝－|a|·|b|＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝0.
(3)当a与b夹角为135°时，a·b＝|a|·|b|cos 135°＝－10.　
借
题
发
挥
求平面向量数量积的步骤是：
求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；
②分别求|a|和|b|；
③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.
2.已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
解：(1)与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)与的夹角为120°.
∴·＝||||cos 120°＝1×1×＝－.
(3)与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
1．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则a·b＝(　　)
A．－6　　　　　　　　 　B．6
C．－6 D．6
解析：a·b＝3×4×cos 120°＝3×4×＝－6.
答案：A
2．已知向量a，b，且a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，则实数k的值为(　　)
A.  　B．－
C．± D．1
解析：将(3a＋2b)(ka－b)＝0展开，得12k－18＝0.∴k＝.
答案：A
3．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)
A．－5 　B．5
C．－5 D．5
解析：投影10·cos 150°＝－5.
答案：A
4．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝________，·＝________.
解析：由题意，得||＝4，||＝4，||＝4，
所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16，·＝4×4×cos 135°＝－16.
答案：0　－16　－16
5．在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
解析：·＝(＋)·(＋)
＝·＝－
＝9－×100＝－16.
答案：－16
两个向量的数量积与实数的乘法有哪些区别？
两个向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a，b的乘积ab(或a·b)是不同的．
在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc?a＝c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b＝b·c ?/ a＝c.例如，如图①所示，a·b＝|a||b|cos β＝|OA|·|b|，b·c＝|b||c|cos α＝|OA|·|b|，所以a·b＝b·c ?/ a＝c.还有一种较特殊的情况，如图②，a，c都垂直于b，a·b＝b·c＝0，但a与c是不相等的．
图①　　　　　　　图②
一、选择题
1．如图，已知长度为2的线段AB的两个端点在动圆O的圆周上运动，O为圆心，则·＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 　B．2
C．4 D．和动圆O的半径有关
解析：设圆O的半径为r，则·＝||·||·cos∠OAB＝2·r·＝2.
答案：B
2．设a，b，c均为非零向量，给出下列结论：
①若a＝b，则a·c＝b·c；
②若a·c＝b·c，则a＝b；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
④a·(b·c)＝(a·b)·c.
其中，正确的是(　　)
A．①②③④ 　B．①②③
C．①③④ D．①③
解析：①正确；②当a·c＝b·c＝0，c＝0时，a不一定等于b；③正确；④结合律不一定成立．
答案：D
3．若O为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则 △ABC的形状为(　　)
A．等边三角形 　B．直角三角形
C．等腰三角形 D．A、B、C均不是
解析：由(－)·(＋－2)＝0，
得·(＋)＝0，
又∵＝－，∴(－)·(＋)＝0，
即||2－||2＝0.
∴||＝||.∴△ABC为等腰三角形．
答案：C
4．已知|a|＝6，e为单位向量，当a与e的夹角θ为45°时，a在e方向上的投影是(　　)
A. 　B．2
C．3 D．6
解析：a在e方向上的投影是|a|cos 45°＝6×＝3.
答案：C
二、填空题
5．若|a|＝3，|b|＝5且a与b不共线，且(a＋λb)·(a－λb)＝0，则λ＝________.
解析：由已知(a＋λb)·(a－λb)＝0，
即|a|2－λ2|b|2＝0，∴9－25λ2＝0，∴λ＝±.
答案：λ＝±
6．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则
(1)求(a＋b)2＝________；
(2)求a2－b2＝________；
(3)求(2a－b)·(a＋3b)＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝5×4×＝－10.
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝25＋2(－10)＋16＝41－20.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝25－16＝9.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2
＝2|a|2＋5a·b－3|b|2
＝2×25＋5×(－10)－3×16
＝2－50.
答案：(1)41－20　(2)9　(3)2－50
三、解答题
7．求下列向量的投影：
(1)已知|a|＝5，〈a，b〉＝60°，求a在b方向上的投影；
(2)已知a·b＝3，|a|＝5，求b在a方向上的投影．
解：(1)a在b方向上的投影为|a|·cos 〈a，b〉＝5×cos 60°＝.
(2)b在a方向上的投影为|b|·cos〈a，b〉＝＝.
8．求证：菱形的对角线互相垂直．
证明：如图：设AC和BD分别为菱形ABCD的对角线，
则||＝||，＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝0，
∴⊥，即AC⊥BD.