2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.5.2 利用数量积计算长度和角度

4．5.2　利用数量积计算长度和角度
长度、夹角余弦公式及垂直条件
1．长度公式
|a|＝.
2．夹角余弦公式
cos〈a，b〉＝＝ .
3．垂直条件
a·b＝0?a⊥b.
已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　　　　　　　 　B．
C. D．
[提示]　设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，∴θ＝.
模的问题
[例1]　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|；
(3)|(a＋b)·(a－2b)|.
[边听边记]　由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝16＋2×(－4)＋4＝12，
∴|a＋b|＝2.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
∴|3a－4b|＝4.
(3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2
＝16－(－4)－2×4＝12，
∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.
借题
发挥
关系式a2＝|a|2可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方.
1．已知向量a，b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．
解：∵|a|2＝a2＝9，∴|a|＝3.
又a·b＝－12，∴|a·b|＝12.
∵|a·b|≤|a||b|，
∴12≤3|b|，∴|b|≥4.
故|b|的取值范围是[4，＋∞)．
两向量的垂直与夹角问题
[例2]　已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
[思路点拨]　首先转化向量的两个垂直关系，得出中间结论与cos θ＝联立求解．
[边听边记]　由已知条件得
即
②－①得23b2－46a·b＝0，
∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，
∴cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
借
题
发
挥
(1)两向量垂直通常用来列方程，达到化简条件或求值的目的．
(2)要求a与b的夹角，只要求出|a|，|b|及a·b即可．注意向量夹角的取值范围．
由cos θ＝(其中a，b是非零向量，θ是a与b的夹角)判定θ的大小时，有五种可能情形：①当cos θ＝1时，θ＝0°； ②当cos θ＝0时，θ＝90°；
③当cos θ＝－1时，θ＝180°；④当cos θ＜0且cos θ≠－1时，θ为钝角；
⑤当cos θ＞0，且cos θ≠1时，θ为锐角.
2．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.
∵|p|＝|a＋b|＝＝＝，
|q|＝|a－b|＝＝＝1，
∴cos θ＝＝＝.
1．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，则|a－b|＝(　　)
A．0　　　　　　　　 　B．1
C．2 D．
解析：|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－0＋1＝2，∴|a－b|＝.
答案：D
2．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|＝(　　)
A．5　　　　　　　　　 　B．4
C．3 D．1
解析：∵|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，
也就是|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝13.
将θ＝120°，|a|＝3代入可得|b|2－3|b|－4＝0.
解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
答案：B
3．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0，
∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝.
答案：C
4．已知|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·a＝0，则a，b的夹角为________．
解析：∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝0，∴a·b＝－1，cos 〈a，b〉＝＝－，
∴〈a，b〉＝120°.
答案：120°
5．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.
②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，
∴|4a－2b|＝16.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)．
(1)求a＋b与a－b的夹角；
(2)若a⊥(a＋λb)，求实数λ的值．
解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(－3,4)，
∴a＋b＝(－2,6)，a－b＝(4，－2)，
∴cos 〈a＋b，a－b〉
＝＝＝－.
又∵〈a＋b，a－b〉∈[0，π]，
∴〈a＋b，a－b〉＝.
(2)当a⊥(a＋λb)时，a·(a＋λb)＝0，
∴(1,2)·(1－3λ，2＋4λ)＝0，
即1－3λ＋4＋8λ＝0，解得λ＝－1.
用数量积解决长度、夹角、垂直等问题时应该注意什么？
本节的一个易错点是：向量夹角的求法，按两向量夹角的定义，两向量夹角是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角．
向量数量积的几个公式记忆不清，也容易造成解题混乱，①a2＝|a|2＝()2，②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，③(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
一、选择题
1．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(　　)
A．2　　　　　　　　　 　B．4
C．6 D．12
解析：∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
即a2＋2a·b－3a·b－6b2＝－72，
∴|a|2－a·b－6|b|2＋72＝0，
即|a|2－|a||b|cos 60°－24＝0.
∴|a|2－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．
答案：C
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1 　B．2
C．3 D．5
解析：由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.
答案：A
3．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于(　　)
A．2 　B．4
C．6 D．8
解析：因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2.
答案：A
4．在△ABC中，＝a，＝b，若a·b＞0，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 　B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能判断
解析：如图，〈a，b〉＝π－∠B.∵a·b＞0，
∴cos〈a，b〉＞0，∴π－B为锐角，∴B为钝角．
答案：B
二、填空题
5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2＝________.
解析：由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.
则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，
∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.
答案：4
6．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)，若a－λb与2a＋b垂直，则λ的值为________．
解析：∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0，∴λ＝.
答案：
三、解答题
7．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
解：(1)设a，b的夹角为θ，
∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝.
又|a|＝1，∴|b|＝.
∵a·b＝，
∴|a|·|b|cos θ＝，
∴cos θ＝，
∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
8．已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ，若θ为锐角，求λ的取值范围．
解：∵a与b的夹角为锐角，∴a·b＞0，
∴2λ＋1＞0，∴λ＞－.
又当a与b同向，
即夹角为0°时，a·b＝|a||b|，
即2λ＋1＝·，解得λ＝2.
于是排除同向的情况，即λ≠2，
∴λ的取值范围是∪(2，＋∞)．