2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.5.3 利用坐标计算数量积
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.5.3 利用坐标计算数量积 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 296.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:13:32 | ||
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文档简介
4．5.3 利用坐标计算数量积
利用坐标计算数量积
设u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，则
(1)u·v＝x1x2＋y1y2.
(2)|u|＝.
(3)(u)v＝＝.
(4)cos〈u，v〉＝＝ .
(5)u⊥v?u·v＝0?x1x2＋y1y2＝0.
1. a＝(1,0)，b＝(0，－1)，则a·b＝__________.
[提示] 0
2．若a＝(2,3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x＝________.
[提示]
3．若a＝(3,4)，b＝(5,12)，求a与b夹角的余弦值．
[提示]
4．已知a＝(0,1)，b＝(1,1)，且(a＋λb)⊥a，求实数λ.
[提示] －1
5．若a＝(1,2)，b＝(0,1)，求|3a－b|.
[提示]
平面向量数量积的坐标运算
[例1] 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
[思路点拨] (1)利用a与b共线设出a＝(λ，2λ)，根据a·b＝10建立方程组可求λ.
(2)利用坐标运算求．
[边听边记] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，
∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.
借题
发挥
平面向量数量积的坐标运算多涉及方程思想，要注意与方程、函数等知识的联系.
1．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求a·b的值．
解：由已知可得，4a＋2b＝(－8,6)．
∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8,6)＋(3,4)＝(－5,10)．
即5a＝(－5,10)，
∴a＝(－1,2)．
从而b＝(2a＋b)－2a＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)．
∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.
夹角问题
[例2] 已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
[思路点拨] (1)求出ka－b与a＋b的坐标，利用向量共线的坐标表示建立方程可 求k的值．
(2)利用夹角公式建立k的方程可求．
[边听边记] ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.
∴k＝－1.
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝.
(ka－b) ·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简，整理得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±.
借
题
发
挥
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角．
解：设a与b的夹角为θ，
(1)因为a与b的夹角为直角，
所以a·b＝0，
所以1＋2λ＝0，
所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ＜0且cos θ≠－1，
即a·b＜0且a与b不反向．
由a·b＜0得1＋2λ＜0，
故λ＜－，
由a与b不反方向得1＋2λ＝－·，无解．
所以λ的取值范围为.
垂直问题
[例3] 在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k的值．
[思路点拨] 本题条件中没有明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论，讨论时要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性．
[边听边记] 当A＝90°时，·＝0，
∴2×1＋3×k＝0，
∴k＝－；
当B＝90°时，·＝0，
＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝；
当C＝90°时，·＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝.
综上所述，k＝－或或.
借题
发挥
非零向量a·b＝0?a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直的问题十分有效，应熟练掌握.
3．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，
∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.
∴∠BAC＝90°，
故△ABC是直角三角形．
答案：A
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
解析：∵a⊥b，a＝(3,1)，b＝(x，－3)，
∴3x＋1×(－3)＝0，∴x＝1.
答案：B
2．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b 的夹角为 ，则m＝( )
A．2 B．
C．0 D．－
解析：根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意．
答案：B
3．已知向量a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以解得故b＝(－5,12)，
所以cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
4．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
解析：设B(x，y)，由||＝||，
可得＝， ①
·＝x－3y＝0， ②
由①②得x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1，
所以B(3,1)或B(－3，－1)，
故＝(2,4)或＝(－4,2)，||＝2.
答案：2
5．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析：由题意得|a|＝2，
所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2××＝10.
答案：10
6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
通过这节课的学习，你学会了用数量积的坐标运算解决哪些问题？
可以解决垂直问题．
由两个向量垂直的条件可知，a⊥b，则a·b＝0，反之，如果a·b＝0，则a⊥b.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由数量积坐标运算公式可得，如果a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0，反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥b.
可以解决长度和距离问题．
(1)向量的长度公式
由于a＝(a1，a2)，则|a|2＝a2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a＋a，因此，|a|＝.得向量的长度公式为：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝.用语言描述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
(2)平面内两点间的距离公式
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴＝(x2－x1，y2－y1)．由向量的长度公式可得||＝.这就是A，B两点间的距离公式．
可以解决夹角问题．
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由a·b＝a1b1＋a2b2，|a|＝，|b|＝， 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝＝ ，即两个向量a，b的夹角的余弦为cos〈a，b〉＝ .
一、选择题
1．已知向量a＝(－1，x)，b＝(1，x)，若2b－a与a垂直，则|a|＝( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：由题意，得2b－a＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)．
∵(2b－a)⊥a，∴－1×3＋x2＝0，即x2＝3.
∴|a|＝＝2.
答案：C
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a∥b D．(a－b)⊥b
解析：∵|a|＝2≠|b|＝，故A错；a·b＝2≠，故B错；∵2×1－0×1＝1，故C错； ∵(a－b)·b＝1×1＋(－1)×1＝0，∴(a－b)⊥b，故选D.
答案：D
3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )
A. B．
C. D．(1,0)
解析：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.
由解得即b＝.
答案：B
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n2的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由a＝(1，n)，b＝(－1，n)，得2a－b＝(3，n)，
若2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，则有－3＋n2＝0，
解得n2＝3，故选C.
答案：C
二、填空题
5．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|a＋b|＝________.
解析：∵|a|＝|b|＝|a－b|＝1，∴|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，即a·b＝，
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2·＋1＝3.故|a＋b|＝.
答案：
6．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
解析：设＝a，＝b，则|a|＝|b|＝2，a⊥b，＝b－a，＝b＋a.
∴·＝·(b－a)＝b2－a2－a·b＝4－2＝2.
答案：2
三、解答题
7．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的 余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴点C的坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝8＋8＝16，
||＝2，||＝2.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
8．已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：∵a＝(，－1)，b＝，
∴a·b＝×－1×＝0.
∵|a|＝＝2，
|b|＝ ＝1，
又x⊥y，∴[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－k a2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0.
∴k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
故当t＝－2时，有最小值－.
利用坐标计算数量积
设u＝(x1，y1)，v＝(x2，y2)，则
(1)u·v＝x1x2＋y1y2.
(2)|u|＝.
(3)(u)v＝＝.
(4)cos〈u，v〉＝＝ .
(5)u⊥v?u·v＝0?x1x2＋y1y2＝0.
1. a＝(1,0)，b＝(0，－1)，则a·b＝__________.
[提示] 0
2．若a＝(2,3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x＝________.
[提示]
3．若a＝(3,4)，b＝(5,12)，求a与b夹角的余弦值．
[提示]
4．已知a＝(0,1)，b＝(1,1)，且(a＋λb)⊥a，求实数λ.
[提示] －1
5．若a＝(1,2)，b＝(0,1)，求|3a－b|.
[提示]
平面向量数量积的坐标运算
[例1] 已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
[思路点拨] (1)利用a与b共线设出a＝(λ，2λ)，根据a·b＝10建立方程组可求λ.
(2)利用坐标运算求．
[边听边记] (1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)．
又∵a·b＝10，
∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0，
∴(a·c)·b＝0·b＝0.
借题
发挥
平面向量数量积的坐标运算多涉及方程思想，要注意与方程、函数等知识的联系.
1．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求a·b的值．
解：由已知可得，4a＋2b＝(－8,6)．
∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8,6)＋(3,4)＝(－5,10)．
即5a＝(－5,10)，
∴a＝(－1,2)．
从而b＝(2a＋b)－2a＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)．
∴a·b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.
夹角问题
[例2] 已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线；
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°.
[思路点拨] (1)求出ka－b与a＋b的坐标，利用向量共线的坐标表示建立方程可 求k的值．
(2)利用夹角公式建立k的方程可求．
[边听边记] ∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.
∴k＝－1.
(2)∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝.
(ka－b) ·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)
＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简，整理得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±.
借
题
发
挥
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.
(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.
2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角．
解：设a与b的夹角为θ，
(1)因为a与b的夹角为直角，
所以a·b＝0，
所以1＋2λ＝0，
所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos θ＜0且cos θ≠－1，
即a·b＜0且a与b不反向．
由a·b＜0得1＋2λ＜0，
故λ＜－，
由a与b不反方向得1＋2λ＝－·，无解．
所以λ的取值范围为.
垂直问题
[例3] 在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角， 求k的值．
[思路点拨] 本题条件中没有明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论，讨论时要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性．
[边听边记] 当A＝90°时，·＝0，
∴2×1＋3×k＝0，
∴k＝－；
当B＝90°时，·＝0，
＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，
∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝；
当C＝90°时，·＝0，
∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝.
综上所述，k＝－或或.
借题
发挥
非零向量a·b＝0?a⊥b是非常重要的性质，它对于解决平面几何图形中有关垂直的问题十分有效，应熟练掌握.
3．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：由题设知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，
∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥.
∴∠BAC＝90°，
故△ABC是直角三角形．
答案：A
1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
解析：∵a⊥b，a＝(3,1)，b＝(x，－3)，
∴3x＋1×(－3)＝0，∴x＝1.
答案：B
2．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b 的夹角为 ，则m＝( )
A．2 B．
C．0 D．－
解析：根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意．
答案：B
3．已知向量a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，
所以解得故b＝(－5,12)，
所以cos〈a，b〉＝＝.
答案：C
4．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
解析：设B(x，y)，由||＝||，
可得＝， ①
·＝x－3y＝0， ②
由①②得x＝3，y＝1或x＝－3，y＝－1，
所以B(3,1)或B(－3，－1)，
故＝(2,4)或＝(－4,2)，||＝2.
答案：2
5．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.
解析：由题意得|a|＝2，
所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2××＝10.
答案：10
6．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解：(1)若a⊥b，
则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)
＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，
解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
综上，|a－b|＝2或2.
通过这节课的学习，你学会了用数量积的坐标运算解决哪些问题？
可以解决垂直问题．
由两个向量垂直的条件可知，a⊥b，则a·b＝0，反之，如果a·b＝0，则a⊥b.设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由数量积坐标运算公式可得，如果a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0，反之，如果a1b1＋a2b2＝0，则a⊥b.
可以解决长度和距离问题．
(1)向量的长度公式
由于a＝(a1，a2)，则|a|2＝a2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a＋a，因此，|a|＝.得向量的长度公式为：已知a＝(a1，a2)，则|a|＝.用语言描述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．
(2)平面内两点间的距离公式
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴＝(x2－x1，y2－y1)．由向量的长度公式可得||＝.这就是A，B两点间的距离公式．
可以解决夹角问题．
已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，由a·b＝a1b1＋a2b2，|a|＝，|b|＝， 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝＝ ，即两个向量a，b的夹角的余弦为cos〈a，b〉＝ .
一、选择题
1．已知向量a＝(－1，x)，b＝(1，x)，若2b－a与a垂直，则|a|＝( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：由题意，得2b－a＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)．
∵(2b－a)⊥a，∴－1×3＋x2＝0，即x2＝3.
∴|a|＝＝2.
答案：C
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝
C．a∥b D．(a－b)⊥b
解析：∵|a|＝2≠|b|＝，故A错；a·b＝2≠，故B错；∵2×1－0×1＝1，故C错； ∵(a－b)·b＝1×1＋(－1)×1＝0，∴(a－b)⊥b，故选D.
答案：D
3．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b＝( )
A. B．
C. D．(1,0)
解析：设b＝(x，y)，其中y≠0，则a·b＝x＋y＝.
由解得即b＝.
答案：B
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n2的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由a＝(1，n)，b＝(－1，n)，得2a－b＝(3，n)，
若2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，则有－3＋n2＝0，
解得n2＝3，故选C.
答案：C
二、填空题
5．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝1，则|a＋b|＝________.
解析：∵|a|＝|b|＝|a－b|＝1，∴|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，即a·b＝，
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2·＋1＝3.故|a＋b|＝.
答案：
6．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.
解析：设＝a，＝b，则|a|＝|b|＝2，a⊥b，＝b－a，＝b＋a.
∴·＝·(b－a)＝b2－a2－a·b＝4－2＝2.
答案：2
三、解答题
7．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的 余弦值．
解：(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴点C的坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴·＝8＋8＝16，
||＝2，||＝2.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
8．已知a＝(，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求的最小值．
解：∵a＝(，－1)，b＝，
∴a·b＝×－1×＝0.
∵|a|＝＝2，
|b|＝ ＝1，
又x⊥y，∴[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0，
即－k a2＋(t3－3t)b2＋(t－t2k＋3k)a·b＝0.
∴k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.
故当t＝－2时，有最小值－.