2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.6 向量的应用
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 4.6 向量的应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 392.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:14:08 | ||
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文档简介
4．6向量的应用
向量的应用
1．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λ b?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式
cos θ＝＝.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a|＝ .
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
3．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、加速度、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，试判断四边形的形状．
[提示] 菱形
2．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，那么对物体所做的功 为多少？
[提示] |F|cos θ·s
3．过A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程如何求？
[提示] x－3y＋5＝0
向量在平面几何中的应用
[例1] 在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角 ∠BAC的余弦值．
[思路点拨] 可以考虑建立平面直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题．
[边听边记] 建立如图所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，＝(c，a)，＝(2c,0)，＝(c，－a)．
∵BB′，CC′都是中线，
∴＝(＋)＝[(2c,0)＋(c，a)]＝.
同理＝.
∵BB′⊥CC′，∴－c2＋a2＝0，即a2＝9c2.
∴cos ∠BAC＝＝＝＝.
即顶角∠BAC的余弦值为.
借题
发
挥
用向量作工具解平面几何问题，总是先设一些向量为已知的，再用这些向量表示其他向量，并建立相应的关系式，至于选哪些向量为基向量，应根据实际情况而定.
1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，
＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
向量在物理中的应用
[例2] 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
[思路点拨] 根据题意画出图形，由图形分析结果．
[边听边记] 如图，设表示水流速度，表示船垂直于对岸的速度，表示船的实际速度，则∠AOC＝30°，||＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝||·cot 30°＝||·cot 30°＝5(km/h)，
||＝＝＝10(km/h)．
即水流速度为5 km/h，船的实际速度为10 km/h.
借题
发挥
向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题.
2．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
解：设物体在力F作用下的位移为s，
则所做的功为W＝F·s.
∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
向量在解析几何中的应用
[例3] 过点P(4,2)作直线l交x轴于点A，交y轴于点B，且P位于A，B两点之间．
(1)若＝3，求直线l的方程；
(2)求当·取得最小值时，直线l的方程．
[思路点拨] (1)设出直线l的方程→求出点A，B→＝3→参数值；
(2)设出直线l的方向→表示出·→讨论·取最小值时参数值→直线 l的方程．
[边听边记] (1)由题意知，直线l的斜率k存在，且k≠0.
设直线l的方程为y＝k(x－4)＋2.
令y＝0，得x＝4－，∴A.
令x＝0，得y＝2－4k，∴B(0,2－4k)．
∴＝，＝(－4，－4k)．
又∵＝3，
∴＝3×(－4)，∴k＝－.
∴直线l的方程为y＝－(x－4)＋2，
即x＋6y－16＝0.
(2)∵点P(4,2)位于A，B两点之间，
∴4－＞4且2－4k＞2，解得k＜0，
∴·＝8≥16，
当且仅当－k＝－，即k＝－1时，等号成立．
∴当·取得最小值时，直线l的方程为y＝－(x－4)＋2，即x＋y－6＝0.
借
题
发
挥
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：
①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等.
3．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的 轨迹方程．
解：设P(x，y)，R(x0，y0)，则y0＝2x0－6①
由＝(1－x0，－y0)，＝(x－1，y)
又＝2，∴1－x0＝2x－2，－y0＝2y，
∴x0＝3－2x，y0＝－2y，代入①式得
y＝2x即为所求．
1．用F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与G的垂直方向的夹角为θ，则F对物体G所做的功为( )
A．F·scos θ B．F·ssin θ
C．|F||s|cos θ D．|F||s|sin θ
解析：如图，F与s的夹角为－θ，
∴W＝|F||s|cos
＝|F||s|sin θ.
答案：D
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：设直线的方向向量为(1，k)，则(1，k)·(2,1)＝0，
即2＋k＝0，∴k＝－2，即直线的斜率为－2.
由点斜式得，y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.
答案：A
3.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶ S△ABC＝( )
A. B．
C. D．
解析：设AB的中点是D.
∵＋＝2＝－，
∴＝－，
∴P为CD的五等分点，
∴△ABP的面积为△ABC的面积的.
答案：A
4．一艘船以3 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h，则船实际航行速度为______ km/h，与河岸的夹角为________．
解析：结合题意作图如图所示，
在Rt△ABC中，
∵||＝3 km/h，||＝3 km/h，
∴||＝
＝＝3.
∵tan∠CAB＝＝1，∴∠CAB＝45°.
故该船实际航行的速度的大小为3 km/h，方向总与河岸的夹角为45°.
答案：3 45°
5．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，这三个力的合力F所做的功为________ J.
解析：以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．
由已知可得F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)．
∴F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,4＋2)．
又位移s＝(4，4)，
∴F·s＝(2－2)×4＋(4＋2)×4＝24(J)．
故这三个力的合力F所做的功是24 J.
答案：24
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解：(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝ ，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ.
∴故λ＝，即x＝，∴F.
∴||＝ ，即AF＝ .
如何运用向量解决有关直线平行、垂直、线段相等及点共线问题？向量在物理中的应用主要有哪两个模型？
运用向量解决有关直线平行、垂直、线段的相等及点共线等问题时，基本方法有：
(1)要证明AB＝CD，可转化为证明||＝||，或＝，或2＝2.
(2)要证明AB∥CD，只要证明存在一个实数λ≠0，使＝λ成立．
(3)要证明AB⊥CD，只要证明·＝0.(4)要证明A，B，C三点共线只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ.
向量在物理中的应用模型主要有：
(1)利用向量的和(差)的概念解答如合力、合速度之类问题．
(2)利用向量的数量积计算力、位移与功的问题．
一、选择题
1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析：由已知可知，|F1|＝|F2|，
又|F1|2＋|F2|2＝202，
∴|F1|＝|F2|＝10，如图可知，当它们的夹角为120°时，合力大小为10 N.
答案：B
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )
A. B．2
C．0 D．1
解析：∵＝＋，·＝·(＋)
＝·＋·＝·＝||＝，
∴||＝1，||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·
＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
答案：A
3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．
答案：D
4．已知平面上三点A，B，C满足(＋)·＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：设AC的中点为D，则＋＝2.
∵(＋)·＝0，∴2·＝0，即AC⊥BD.
故△ABC是等腰三角形．
答案：A
二、填空题
5．若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
解析：·＝(－)·(－)＝·
＝·－(||)2－(||)2＝－.
答案：－
6．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析：根据平面向量数量积的概念得
·＝||·||cos A，
当A＝时，根据已知可得||·||＝，
故△ABC的面积为||·||·sin ＝.
答案：
三、解答题
7．在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解：设v1为风速，v为有风时飞机的航行速度，v2为无风时飞机的航行速度，v2＝v－v1.
如图所示，∵v2＝v－v1，
∴v2，v，v1构成三角形．
设||＝|v|，||＝|v1|，||＝|v2|，
作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.
由题意知||＝150，||＝75(－)，
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°.
故|v2|＝150 km/h，方向为西偏北30°.
8．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
证明：以B为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系．设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)．
设＝λ，
则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．
又＝(－1,2)，且⊥，
∴·＝－2λ＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
∴＝，
∴＝－＝.
又＝(1,0)，
∴cos ∠ADB＝＝，
cos∠FDC＝＝.
又∵∠ADB，∠FDC∈(0，π)，
∴∠ADB＝∠FDC.
向量的应用
1．向量在平面几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λ b?x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，常常利用向量的夹角公式
cos θ＝＝.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可利用向量的线性运算、向量模的公式|a|＝ .
2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
3．向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、加速度、速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力的合成与分解．
(3)动量mv是向量的数乘运算．
(4)功是力F与位移s的数量积．
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，试判断四边形的形状．
[提示] 菱形
2．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，那么对物体所做的功 为多少？
[提示] |F|cos θ·s
3．过A(－2,1)且与向量a＝(3,1)平行的直线方程如何求？
[提示] x－3y＋5＝0
向量在平面几何中的应用
[例1] 在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角 ∠BAC的余弦值．
[思路点拨] 可以考虑建立平面直角坐标系，将问题转化为向量夹角问题．
[边听边记] 建立如图所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，＝(c，a)，＝(2c,0)，＝(c，－a)．
∵BB′，CC′都是中线，
∴＝(＋)＝[(2c,0)＋(c，a)]＝.
同理＝.
∵BB′⊥CC′，∴－c2＋a2＝0，即a2＝9c2.
∴cos ∠BAC＝＝＝＝.
即顶角∠BAC的余弦值为.
借题
发
挥
用向量作工具解平面几何问题，总是先设一些向量为已知的，再用这些向量表示其他向量，并建立相应的关系式，至于选哪些向量为基向量，应根据实际情况而定.
1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，
求证：AF⊥DE.
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，
＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
向量在物理中的应用
[例2] 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．
[思路点拨] 根据题意画出图形，由图形分析结果．
[边听边记] 如图，设表示水流速度，表示船垂直于对岸的速度，表示船的实际速度，则∠AOC＝30°，||＝5 km/h.
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝||·cot 30°＝||·cot 30°＝5(km/h)，
||＝＝＝10(km/h)．
即水流速度为5 km/h，船的实际速度为10 km/h.
借题
发挥
向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题.
2．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
解：设物体在力F作用下的位移为s，
则所做的功为W＝F·s.
∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．
向量在解析几何中的应用
[例3] 过点P(4,2)作直线l交x轴于点A，交y轴于点B，且P位于A，B两点之间．
(1)若＝3，求直线l的方程；
(2)求当·取得最小值时，直线l的方程．
[思路点拨] (1)设出直线l的方程→求出点A，B→＝3→参数值；
(2)设出直线l的方向→表示出·→讨论·取最小值时参数值→直线 l的方程．
[边听边记] (1)由题意知，直线l的斜率k存在，且k≠0.
设直线l的方程为y＝k(x－4)＋2.
令y＝0，得x＝4－，∴A.
令x＝0，得y＝2－4k，∴B(0,2－4k)．
∴＝，＝(－4，－4k)．
又∵＝3，
∴＝3×(－4)，∴k＝－.
∴直线l的方程为y＝－(x－4)＋2，
即x＋6y－16＝0.
(2)∵点P(4,2)位于A，B两点之间，
∴4－＞4且2－4k＞2，解得k＜0，
∴·＝8≥16，
当且仅当－k＝－，即k＝－1时，等号成立．
∴当·取得最小值时，直线l的方程为y＝－(x－4)＋2，即x＋y－6＝0.
借
题
发
挥
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：
①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等.
3．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若＝2，求点P的 轨迹方程．
解：设P(x，y)，R(x0，y0)，则y0＝2x0－6①
由＝(1－x0，－y0)，＝(x－1，y)
又＝2，∴1－x0＝2x－2，－y0＝2y，
∴x0＝3－2x，y0＝－2y，代入①式得
y＝2x即为所求．
1．用F推动一物体G，使其沿水平方向运动s，F与G的垂直方向的夹角为θ，则F对物体G所做的功为( )
A．F·scos θ B．F·ssin θ
C．|F||s|cos θ D．|F||s|sin θ
解析：如图，F与s的夹角为－θ，
∴W＝|F||s|cos
＝|F||s|sin θ.
答案：D
2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：设直线的方向向量为(1，k)，则(1，k)·(2,1)＝0，
即2＋k＝0，∴k＝－2，即直线的斜率为－2.
由点斜式得，y－3＝－2(x－2)，即2x＋y－7＝0.
答案：A
3.如图，设P为△ABC内一点，且2＋2＋＝0，则S△ABP∶ S△ABC＝( )
A. B．
C. D．
解析：设AB的中点是D.
∵＋＝2＝－，
∴＝－，
∴P为CD的五等分点，
∴△ABP的面积为△ABC的面积的.
答案：A
4．一艘船以3 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h，则船实际航行速度为______ km/h，与河岸的夹角为________．
解析：结合题意作图如图所示，
在Rt△ABC中，
∵||＝3 km/h，||＝3 km/h，
∴||＝
＝＝3.
∵tan∠CAB＝＝1，∴∠CAB＝45°.
故该船实际航行的速度的大小为3 km/h，方向总与河岸的夹角为45°.
答案：3 45°
5．一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m．已知|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，这三个力的合力F所做的功为________ J.
解析：以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．
由已知可得F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)．
∴F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,4＋2)．
又位移s＝(4，4)，
∴F·s＝(2－2)×4＋(4＋2)×4＝24(J)．
故这三个力的合力F所做的功是24 J.
答案：24
6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
解：(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，∴D，
∴||＝ ，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E，
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ.
∴故λ＝，即x＝，∴F.
∴||＝ ，即AF＝ .
如何运用向量解决有关直线平行、垂直、线段相等及点共线问题？向量在物理中的应用主要有哪两个模型？
运用向量解决有关直线平行、垂直、线段的相等及点共线等问题时，基本方法有：
(1)要证明AB＝CD，可转化为证明||＝||，或＝，或2＝2.
(2)要证明AB∥CD，只要证明存在一个实数λ≠0，使＝λ成立．
(3)要证明AB⊥CD，只要证明·＝0.(4)要证明A，B，C三点共线只要证明存在一实数λ≠0，使＝λ.
向量在物理中的应用模型主要有：
(1)利用向量的和(差)的概念解答如合力、合速度之类问题．
(2)利用向量的数量积计算力、位移与功的问题．
一、选择题
1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．10 N
解析：由已知可知，|F1|＝|F2|，
又|F1|2＋|F2|2＝202，
∴|F1|＝|F2|＝10，如图可知，当它们的夹角为120°时，合力大小为10 N.
答案：B
2.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是( )
A. B．2
C．0 D．1
解析：∵＝＋，·＝·(＋)
＝·＋·＝·＝||＝，
∴||＝1，||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·
＝－(－1)＋1×2＝－2＋＋2＝，故选A.
答案：A
3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：由物理知识知F1＋F2＋F3＋F4＝0，故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝(1,2)．
答案：D
4．已知平面上三点A，B，C满足(＋)·＝0，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：设AC的中点为D，则＋＝2.
∵(＋)·＝0，∴2·＝0，即AC⊥BD.
故△ABC是等腰三角形．
答案：A
二、填空题
5．若等边△ABC的边长为1，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.
解析：·＝(－)·(－)＝·
＝·－(||)2－(||)2＝－.
答案：－
6．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________．
解析：根据平面向量数量积的概念得
·＝||·||cos A，
当A＝时，根据已知可得||·||＝，
故△ABC的面积为||·||·sin ＝.
答案：
三、解答题
7．在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
解：设v1为风速，v为有风时飞机的航行速度，v2为无风时飞机的航行速度，v2＝v－v1.
如图所示，∵v2＝v－v1，
∴v2，v，v1构成三角形．
设||＝|v|，||＝|v1|，||＝|v2|，
作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.
由题意知||＝150，||＝75(－)，
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°.
故|v2|＝150 km/h，方向为西偏北30°.
8．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：∠ADB＝∠FDC.
证明：以B为原点，BC所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系．设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)．
设＝λ，
则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．
又＝(－1,2)，且⊥，
∴·＝－2λ＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
∴＝，
∴＝－＝.
又＝(1,0)，
∴cos ∠ADB＝＝，
cos∠FDC＝＝.
又∵∠ADB，∠FDC∈(0，π)，
∴∠ADB＝∠FDC.