2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 阶段质量检测

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．a·b＝1 　B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b D．a∥b
解析：因为a·b＝2，所以A不正确；
因为|a|＝2，|b|＝，则|a|≠|b|，所以B不正确；
因为a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，所以C正确；
因为2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，所以D不正确．
答案：C
2．有下列四个表达式：
①|a＋b|＝|a|＋|b|；
②|a－b|＝±(|a|－|b|)；
③a2＞|a|2；
④|a·b|＝|a|·|b|.
其中正确的个数为(　　)
A．0 　B．2
C．3 D．4
解析：对于①，仅当a与b同向时成立；
对于②，左边|a－b|≥0，而右边可能小于等于0，∴不成立；
对于③，∵a2＝|a|2，∴a2＞|a|2不成立；
对于④，当a⊥b时不成立．故四个式子都是错误的．
答案：A
3．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝(　　)
A．－6 　B．6
C．3 D．－3
解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2＋(3k－8)a·b－12b2＝0，
由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
答案：B
4．已知向量a＝，b＝(x＋1,2)，其中x＞0.若a∥b，则x的值为(　　)
A．8 　B．4
C．2 D．0
解析：∵a∥b，∴×2－x(x＋1)＝0，即x2＝16.又x＞0，∴x＝4.
答案：B
5．设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1＋4e2与向量e1的夹角的余弦值为(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：∵(3e1＋4e2)·e1＝3e＋4e1·e2＝3×12＋4×1×1×cos 60°＝5，
|3e1＋4e2|2＝9e＋16e＋24e1·e2＝9×12＋16×12＋24×1×1×cos 60°＝37，
∴|3e1＋4e2|＝.
设3e1＋4e2与e1的夹角为θ，
则cos θ＝＝.
答案：D
6．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10 N，合力F与F1的夹角为60°，则F1的大小为(　　)
A．5 N 　B．5 N
C．10 N D．5 N
解析：|F1|＝|F|·cos 60°＝5 N.
答案：B
7．已知点B为线段AC的中点，且点A的坐标为(－3,1)，点B的坐标为，则点C的坐标为(　　)
A．(1，－3) 　B．
C．(4,2) D．(－2,4)
解析：设点C(x，y)．由＝，
得＝，
即解得∴C(4,2)．
答案：C
8．设O，A，M，B为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，且λ∈(1,2)，则(　　)
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
解析：由题意可知－＝λ(－)，即＝λ，∴A，M，B三点共线．
又λ∈(1,2)，∴||>||，∴点B在线段AM上．
答案：B
9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则＝(　　)
A.a＋b 　B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
解析：作图如图所示．
由题意知，DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，
∴＝，
∴＝＋＝a＋b＋＝a＋b.
答案：B
10．在直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．若在直角三角形ABC中，＝2i＋j，＝3i＋kj，则k的可能值的个数是(　　)
A．1 　B．2
C．3 D．4
解析：不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)，＝(1，k－1)．
当AB⊥BC时，·＝2＋k－1＝0，即k＝－1；
当AB⊥AC时，·＝6＋k＝0，即k＝－6；
当AC⊥BC时，·＝3＋k2－k＝0，无实数根．
故满足要求的k的值有2个．
答案：B
11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围是(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：设a与b的夹角为θ.
∵Δ＝|a|2－4a·b≥0，∴a·b≤.
∵|a|＝2|b|，∴cos θ＝≤＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
答案：B
12．在△ABC所在平面内有一点P，如果＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：∵＋＋＝＝－，
∴2＋＝0，即＝－2＝2，
∴点P是线段AC的三等分点，故△PAB与△ABC的面积之比是.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知 a＝(2cos θ，2sin θ)，b＝(3，)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ＝________.
解析：由a∥b，得2cos θ＝6sin θ.
∵cos θ≠0，∴tan θ＝.
又θ∈[0,2π)，∴θ＝或.
答案：或
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则·＝________.
解析：根据向量的加减法法则，得＝－，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故·＝·(－)＝||2＋ ·－||2＝－－＝－.
答案：－
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若·＋·＝2，那么c＝________.
解析：∵·＋·＝2，
∴·＋·＝·(＋)＝＝c2＝2，∴c＝.
答案：
16．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.
其中真命题的序号为________．
解析；当a＝0时，①不成立；对于②，若a∥b，则－2k＝6，∴k＝－3，②成立；对于③，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图．∠BAD＝60°，＝a＋b，由菱形的性质可知，a与a＋b的夹角∠BAC＝30°，③不成立．
答案：②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设a＝e1＋2e2，b＝－3e1＋2e2，其中e1⊥e2且e1·e1＝e2·e2＝1.
(1)计算|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，ka＋b与a－3b互相垂直？
解：(1)∵e1⊥e2且e1·e1＝e2·e2＝1，
∴e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1.
∵|a＋b|2＝(－2e1＋4e2)2＝4e－16e1·e2＋16e＝4＋16＝20，
∴|a＋b|＝＝2.
(2)∵a2＝e＋4e1·e2＋4e2＝5，
b2＝9e－12e1·e2＋4e＝13，
a·b＝(e1＋2e2)(－3e1＋2e2)＝－3e－4e1·e2＋4e＝1，
∴(ka＋b)·(a－3b)＝ka2＋(1－3k)a·b－3b2
＝5k＋(1－3k)－3×13＝2k－38＝0，
解得k＝19.即当k＝19时，ka＋b与a－3b互相垂直．
18．(本小题满分12分)如图所示，在△ABC中，∠ACB为直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
证明：设CA＝CB＝a，
∵∠C为直角，∴AB＝CA＝a.
∵D是CB的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，
∴CD＝a，AE＝a，
故·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·cos 45°＋a·a·cos 45°
＝－a2＋a2＋a2＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，＝(4，－4)， ＝(5,1)，在方向上的射影数量为||，求的坐标．
解：设点M的坐标为M(x，y)．
∵在方向上的射影数量为||，
即⊥，∴·＝0.
又＝(x，y)，＝(5－x,1－y)，
∴x(5－x)＋y(1－y)＝0. ①
又点O，M，A三点共线，
∴∥，∴4x＋4y＝0. ②
联立①②，解得
∴＝－＝(5－2,1＋2)＝(3,3)．
20．(本小题满分12分)已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1.
(1)求向量n的坐标；
(2)设向量a＝(1,0)，向量b＝(cos x，sin x)，其中x∈R，若n·a＝0，试求|n＋b|的 取值范围．
解：(1)设n＝(x，y)，
则
解得或
∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．
(2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，∴n＝(0，－1)，
n＋b＝(cos x，sin x－1)．
∴|n＋b|＝＝＝.
∵－1≤sin x≤1，∴0≤|n＋b|≤2.
故|n＋b|的取值范围为[0,2]．
21．(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，＝λ (λ∈R)，||＝||＝2，|－|＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形．
(1)求λ的值；
(2)求·的值．
解：(1)∵＝λ，∴BC∥AD，且||＝λ||.
∵||＝||＝2，∴||＝2λ.
又|－|＝2，∴||＝2.
作AH⊥BD交BD于点H，则H为BD的中点．
在Rt△AHB中，cos ∠ABH＝＝＝，
∴∠ABH＝30°，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
又∠BDC＝90°，∴BD＝BC·cos 30°，
即2＝2λ·，解得λ＝2.
(2)由(1)知，∠ABC＝60°，||＝4，
∴与的夹角为120°，
∴·＝||·||·cos 120°
＝4×2×＝－4.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.
(1)若⊥a，且||＝||，求向量；
(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求· 的值．
解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，
所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.
又||＝||，
所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.
所以＝(24,8)或＝(－8，－8)．
(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，
所以t＝－2ksin θ＋16.
又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ＝－2k2＋，
当k>4时，1>>0，
所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值.
由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，
所以·＝8×4＋8×0＝32.