2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第4章 章末小结与测评

　 　 　章 末 小 结 与 测 评 
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和向量数乘的综合运算通常叫作向量的线性运算．主要是运用它们的运算法则、运算律，解决如三点共线、两直线平行、线段相等．解题的关键在于理解相关概念及选取恰当的基底向量．
[例1]　(1)如图，点A，B，C是圆O上不重合的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P.若＝m＋2m，＝λ，则λ＝(　　)
A.　　　　　　　　 　B．
C. D．
(2)如图，半径为1的扇形AOB的圆心角为120°，点C在上，且∠COB＝30°.若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
[解析]　(1)由题意，设＝n.
因为＝－＝λ(－)，
故n－＝λ(－)，
n(m＋2m)－＝λ(－)，
即(mn＋λ－1)＋(2mn－λ)＝0.
而与不共线，故有解得λ＝.选D.
(2)由已知，可得OA⊥OC，以O为坐标原点，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则有C(1,0)，A(0,1)，B(cos 30°，－sin 30°)，
即B.
于是＝(1,0)，＝(0,1)，＝，
由＝λ＋μ，
得(1,0)＝λ(0,1)＋μ＝，
∴解得
∴λ＋μ＝.
[答案]　(1)D　(2)
平面向量基本定理及坐标表示
1.运用平面向量基本定理，在平面内任取两个不共线的向量作为基底，则平面内任一向量都可用这对基底表示出来．
2．进行平面向量的坐标运算时，应先将向量用坐标表示出来．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．求一点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的向量的坐标．
3．解向量共线的题目时要注意联系平面几何中的相关知识，由两向量共起点或共终点确定三点共线，由两向量无公共点确定向量平行．
提示：函数与方程思想在向量中的应用
在求解向量、向量共线或向量垂直时，往往设立参数，根据向量间的关系建立参数方程或函数，通过解方程求出参数值来解决问题．
[例2]　如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0,1)．设EF的中点为M，BC的中点为N.
(1)若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
(2)若m＋n＝1，求||的最小值．
[解]　(1)证明：由A，M，N三点共线，得∥.
设＝λ (λ∈R)，
则(＋)＝λ(＋)，
∴m＋n＝λ(＋)，∴m＝n.
(2)＝－＝(＋)－(＋)＝(1－m)＋(1－n).
∵m＋n＝1，
∴＝(1－m)＋m，
∴||2＝(1－m)22＋m22＋(1－m)m··
＝(1－m)2＋m2＋(1－m)m
＝2＋.
故当m＝时，||min＝.
平面向量的数量积
1.由于平面向量的数量积满足数乘结合律、交换律、分配律以及具有实数运算的性质，因而向量的混合运算可以类似于实数的多项式运算进行．
2．解决几何图形中的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角和已知长度的向量．对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
3．利用向量垂直的坐标的充要条件，可使向量垂直问题代数化，从而有利于问题 的解决．
4．对于已知两向量坐标求夹角的问题，可以求出向量的数量积和两向量的模长，再代入夹角公式，由夹角的余弦值确定夹角的大小．
[例3]　(全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
[解析]　∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.
[答案]　－6
[例4]　已知c＝ma＋nb，c＝(－2，2)，a⊥c，b与c的夹角为，b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
[解]　∵c＝(－2，2)，∴|c|＝4.
∵a⊥c，∴a·c＝0.
∵b·c＝|b||c|cos＝|b|×4×＝－4.
∴|b|＝2.
∵c＝ma＋nb，
∴c2＝ma·c＋nb·c，
∴16＝n×(－4)，∴n＝－4.
在c＝ma＋nb两边同乘以a，
得0＝8m－4a·b. ①
在c＝ma＋nb两边同乘以b，
得ma·b＝12. ②
由①②，得m＝±.
∴a·b＝±2，
∴cos θ＝＝±.
∴θ＝或.