2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第5章 5.1.1 两角和与差的正弦和余弦

5．1.1　两角和与差的正弦和余弦
两角和与差的正弦和余弦
1．和角与差角的余弦公式
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，
cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
2．和角与差角的正弦公式
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
1．sin 75°的值为________．
[提示]　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
2．化简sin xsin(x＋y)＋cos xcos(x＋y)．
[提示]　原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cos y.
3．cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°的值为________．
[提示]　原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.
给角求值问题
[例1]　求下列各式的值：
(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°；
(2)；
(3)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(4)sin－ cos；
[思路点拨]　(1)逆用公式可求；
(2)7°＝15°－8°，展开化简可求值；
(3)利用诱导公式凑成两角和公式；
(4)逆用公式变形．
[边听边记]　(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°
＝cos(70°－40°)
＝cos 30°＝.
(2)原式＝
＝
＝cos 15°＝cos(60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝.
(3)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)·cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(4)法一：原式＝2
＝2
＝－2cos＝－2cos＝－.
法二：原式＝2
＝2
＝2sin＝－2sin＝－.
借题
发挥
给角求值问题多考查诱导公式及两角和与差公式的逆用、变形用，注意三角变换技巧的运用.
[变式之作]
计算：(1)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°；
(2).
解：(1)原式＝cos(15°－105°)
＝cos(－90°)＝0.
(2)
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
给值求值问题
[例2]　(1)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β是第三象限的角，求cos(α－β)的值．
(2)cos α＝，α∈，求cos的值．
[思路点拨]　由平方关系求出cos α，sin β(sin α)后代入cos(α－β)公式．
[边听边记]　(1)由sin α＝，α∈，
得cos α＝－＝－.
又cos β＝－，β是第三象限的角，所以sin β＝－，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝－.
(2)∵cos α＝，α∈，
∴sin α＝－＝－.
∴cos＝cos·cos α＋sin·sin α
＝×－×＝.
借题
发挥
给值求值问题多直接利用公式求值或变角求值，对于变角求值问题要注意将问题中的角与已知条件中的角对比，观察它们之间的和、差关系，从而构造和差公式求值，同时要注意角的范围的限制.
1．若sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求sin(α＋β)的值．
解：∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0，
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－
＝－＝.
给值求角问题
[例3]　已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<.求β的值．
[思路点拨]　先求cos β的值，再求β.
[边听边记]　由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝ ＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝ ＝.
由β＝α－(α－β)得
cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
借
题
发
挥
(1)“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：
①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找区间)；③确定角的值．
(2)确定所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定，如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好.
2．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值．
解：∵α和β均为钝角，∴cos α＝－＝－，cos β＝－＝－.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝－×－×＝.
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，
∴α＋β＝.
1．sin 20°cos 10°－cos 160° sin 10°＝(　　)
A．－　　　　　　　　 　B．
C．－ D．
解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝.
答案：D
2．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)＝(　　)
A．±1 　B．1
C．－1 D．0
解析：原式＝sin[60°＋(θ＋15°)]＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝－cos(θ＋15°)＋sin(θ＋15°)＋cos(θ＋45°)
＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0，故选D.
答案：D
3．若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　)
A．－ 　B．－
C. D．
解析：sin x＋cos x＝cos xcos＋sin xsin＝cos，
故φ的一个可能值为－.
答案：A
4．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．
解析：cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
答案：
5．已知sin α－cos β＝，cos α－sin β＝，则sin(α＋β)＝________.
解析：两式平方相加，得2－2sin(α＋β)＝，
∴sin(α＋β)＝.
答案：
6．已知＜α＜β＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
解：由＜α＜β＜，得π<α＋β<，－<α－β<0.
∴cos(α＋β)＝－，sin(α－β)＝－，
∴sin 2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×
＝－.
两角和与差的余弦公式和正弦公式有何结构特征？如何求辅助角公式asin x＋bcos x＝ sin(x＋φ)中φ的值？
两角和与差的余弦公式中右端为余弦之积与正弦之积的差与和．可将cos αcos β，sin αsin β看作两个整体量X，Y，同时注意公式的逆用与变形用．
两角和与差的正弦公式的右边展开式中为异名函数的积的和差形式，两边的运算符号一致，对于sin αcos β，cos αsin β要有整体意识．
对于辅助角公式中φ的求法要注意：一是φ的终边过点(a，b)，即φ与(a，b)点所在象限一致，二是其值由tan φ＝可求．取值时一般当φ在第一、二象限时，φ可取锐角或钝角，当φ在第三、四象限时，φ可取负角．
一、选择题
1．sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 　B．
C. D．－
解析：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝.
答案：B
2．计算cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为(　　)
A. 　B．
C．－ D．－
解析：cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°
＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝.
答案：A
3．已知α∈，且cos＝－，则cos α＝(　　)
A.  　B．－
C．－ D．
解析：∵α∈，∴α＋∈，
∴sin＝ ＝，
∴cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
答案：A
4．已知0<α<<β<π，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝(　　)
A．0 　B．0或
C. D．0或－
解析：∵0<α<，sin α＝，
∴cos α＝＝.
∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝cos β－sin β＝－，
∴cos β＝sin β－1.
∵cos2β＋sin2β＝1，∴2＋sin2β＝1.
整理，得25sin2β－24sin β＝0.
∵<β<π，∴sin β≠0，∴sin β＝.
答案：C
二、填空题
5．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)＝________.
解析：∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，
∴sin α＝＝ ＝，
sin(α＋β)＝＝ ＝，
∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝，
∴sin β＝ ＝ ＝.
故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin α·sin β＝×＋×＝.
答案：
6．函数f(x)＝cos x－cos2x＋(x∈R)的最大值等于________．
解析：f(x)＝cos x－cos2x＋＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋，
∴当cos x＝时，f(x)max＝.
答案：
三、解答题
7．已知cos＝，α∈，求cos α.
解：cos α＝cos ＝coscos－sinsin，
∵α∈，
∴α－∈，sin＝，
∴cos α＝×－×＝.
8．已知<α<，0<β<，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵<α<，∴<＋α<π，
又cos＝－，∴sin＝，
又0<β<，∴<＋β<π.
又sin＝，
∴cos＝－，
∴sin(α＋β)＝－sin[π＋(α＋β)]
＝－sin
＝－
＝－＝.