2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第5章 5.1.2 两角和与差的正切

5．1.2　两角和与差的正切
两角和与差的正切公式
在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan(α＋β)和tan(α－β)吗？其中α，β应该满足什么条件？
两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝，
tan(α－β)＝.
1．tan 435°的值为________．
[提示]　tan 435°＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝2＋.
2．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°值为________．
[提示]　tan 28°＋tan 32°＝tan(28°＋32°)(1－tan 28°tan 32°)
＝(1－m)．
3．tan 9°＋tan 36°＋tan 9°tan 36°的值为________．
[提示]　tan 9°＋tan 36°＋tan 9°tan 36°
＝tan(9°＋36°)(1－tan 9°tan 36°)＋tan 9°tan 36°
＝tan 45°(1－tan 9°tan 36°)＋tan 9°tan 36°
＝1.
给角求值问题
[例1]　求值：
(1)；
(2)(3＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 50°＋tan 50°tan 60°)tan 10°.
[思路点拨]　(1)tan 45°代换“1”构造两角差正切公式；
(2)可将3分成3个1分别与三式相加逆用公式化简求值．
[边听边记]　(1)原式＝
＝tan(45°－75°)
＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°·tan 60°)·tan 10°，
因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝，
所以1＋tan 40°tan 30°＝.
同理，1＋tan 40°tan 50°＝，
1＋tan 50°tan 60°＝.
所以原式＝＋＋·tan 10°
＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50°
＝－tan 30°＋tan 60°
＝－＋＝.
借题
发挥
公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个.
1．求下列各式的值．
(1)；
(2)已知α＋β＝45°，求(1＋tan α)·(1＋tan β)的值．
解：(1)原式＝＝tan 75°＝tan(45°＋30°)
＝＝＝＝2＋.
(2)∵α＋β＝45°，
∴tan(α＋β)＝tan 45°＝1.
又∵tan(α＋β)＝，
∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
∴(1＋tan α)(1＋tan β)
＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β
＝1＋(1－tan αtan β)＋tan αtan β
＝2.
给值求值问题
[例2]　已知sin(π＋θ)＝－，tan φ＝，并且θ是第二象限的角，求tan(θ－φ)的值．
[思路点拨]　(1)利用诱导公式及平方关系求出cos θ，进而求出tan θ.
(2)代入tan(θ－φ)的公式中．
[边听边记]　∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝，
又θ是第二象限角，
∴cos θ＝－＝－，
∴tan θ＝＝－，
又tan φ＝，
∴tan(θ－φ)＝＝＝－2.
借题
发挥
该题属于给值求值题，解答此题的关键在于先用Tα±β公式分析一下待求的问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知的向已知进行转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角.
2．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．
解：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，
所以tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－1，
tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝－，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β
＝－1－＝－.
给值求角问题
[例3]　已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，试求 α＋β的值．
[思路点拨]　(1)利用根与系数关系写出tan α＋tan β，tan αtan β的值．
(2)先求tan(α＋β)的值并判断α＋β的范围，作出结论．
[边听边记]　因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，
于是
又α，β∈，∴tan α<0，tan β<0，
∴<α<π，<β<π，∴π<α＋β<2π，
而tan(α＋β)＝＝＝，
∴α＋β＝.
借题
发挥
若条件中已知角的正切值求与之有关的角时一般先求所求角的正切值，但是在求角的过程中要注意结合已知角的三角函数值缩小范围.
3．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)．求2α－β.
解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，
而α∈(0，π)，∴α∈，
又∵tan β＝－，β∈(0，π)，
∴β∈，
∴－π<α－β<0，
∵tan(α－β)＝>0，
∴－π<α－β<－，
∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，
从而tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]
＝＝＝1，
∴2α－β＝－.
1．已知α∈，sin α＝，则tan等于(　　)
A.　　　　　　　　　 　B．7
C．－ D．－7
解析：∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－.
∴tan＝＝＝.
答案：A
2．已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝(　　)
A. 　B．－
C. D．－
解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：B
3．已知tan＝，则tan α的值为(　　)
A. 　B．－
C．1 D．－1
解析：∵tan＝＝，∴tan α＝.
答案：A
4.＝________.
解析：原式＝＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.
答案：
5．已知tan α＝，tan(β－α)＝－2，且<β<π，则β＝________.
解析：tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝＝－1.
又<β<π，∴β＝.
答案：
6．已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，求tan β的值．
解：由sin α＝，α为第二象限角，
∴cos α＝－，∴tan α＝－，
由tan(α＋β)＝－知＝－.
∴tan β＝－.
Tα±β中有何结构特征与规律？使用时应注意什么？有哪些常用的变换技巧？
在Tα±β中，右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和与差，分母为1与tan αtan β的差与和，其符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
使用时要注意由正切函数的定义可知α，β，α＋β，α－β的值不能为kπ＋(k∈Z)．
使用Tα±β时要注意公式的逆用，“1”的代换，特别要注意＝tan，
＝tan.
同时，遇到tan α±tan β，tan αtan β时，要灵活地构造公式运算．
一、选择题
1.的值等于(　　)
A．－　　　　　　　　 　B．
C．－ D．
解析：原式＝＝tan＝－tan＝－.
答案：A
2．若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)的值为(　　)
A. 　B．1
C. D．2
解析：∵tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
＝tan (1－tan αtan β)＝tan αtan β－1，
∴原式＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β
＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2.故选D.
答案：D
3．设α∈，β∈，且tan α＝，则下列关系成立的是(　　)
A．3α－β＝ 　B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：∵tan α＝，∴＝，
则有sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
即sin αcos β－cos αsin β＝cos α，
∴sin(α－β)＝cos α＝sin.
又∵α∈，β∈，
∴α－β∈，－α∈，
∴α－β＝－α，即2α－β＝.
答案：B
4．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝(　　)
A.  　B．
C．－ D．－
解析：将sin α＋2cos α＝两边平方，
得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，
即3sin2α－8sin αcos α－3cos2α＝0.
两边同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0.
解得tan α＝3或tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝－
或tan 2α＝＝＝－.
故tan 2α＝－.
答案：C
二、填空题
5．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：∵θ在第二象限，且tan＝，
∴sin＝－.
故sin θ＋cos θ＝sin＝－.
法二：tan＝＝，
即2tan θ＋2＝1－tan θ，解得tan θ＝－.
又∵θ在第二象限，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
故sin θ＋cos θ＝＋＝－.
答案：－
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.
答案：3
三、解答题
7. 已知tan α＝，tan(α－β)＝－，试求tan(β－2α)的值．
解：因为tan α＝，tan(α－β)＝－，
∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝－.
∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝.
8．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解：(1)由题意，得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan(α＋β)＝
＝＝－.
(2)＝×＝×tan[(α＋β)－α]
＝×tan β＝×＝.