2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第5章 5.2 二倍角的三角函数

5．2二倍角的三角函数
倍角公式
在两角和的正弦、余弦、正切公式中，α，β可以为任意角，由此出发，你能推出sin 2α，cos 2α和tan 2α的公式吗？
利用公式sin2α＋cos2α＝1，你是否能只用sin α或cos α表示cos 2α？
二倍角公式
sin 2α＝2sin_αcos_α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
1．sincos的值为________．
[提示]　
2．2sin275°－1的值为________．
[提示]　
3．思考：已知cos θ＝，求cos 2θ的值时有哪些思路？
[提示]　利用cos 2θ的三种表示形式可有三种思路，其中cos 2θ＝2cos2θ－1最简洁．
给角求值问题
[例1]　求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；
(2).
[思路点拨]　(1)利用诱导公式及二倍角正弦公式化简；
(2)切化弦后通分逆用两角和正弦公式、二倍角公式化简求值．
[边听边记]　(1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝＝＝.
(2)∵sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°·
＝sin 50°·＝1，
cos 80°＝sin 10°＝sin210°.
∴
＝＝.
借题
发挥
解决此类题目一方面要注意角的倍数关系，另一方面要注意函数名称的转化方法，本着“化同角、化同名、变结构”的原则进行求值化简.
1．求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4).
解：(1)∵sin ＝sin＝cos ，
∴sin sin ＝sin cos ＝·2sin cos＝sin＝.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
(3)2cos2－1＝cos＝－.
(4)＝＝tan 60°＝.
给值求值问题
[例2]　已知tan α＝2.
(1)求tan的值；
(2)求的值．
[思路点拨]　(1)直接利用两角和的正切公式求解；
(2)先用二倍角公式降次，再把分子分母化成tan α 的形式代入求解．
[边听边记]　(1)tan＝＝＝－3.
(2)
＝
＝＝＝1.
借题
发挥
对于“二倍角”，并不仅有2α＝α＋α，要有广义上的理解．如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是α的二倍角；是的二倍角；是的二倍角；…
2．已知：sin·sin＝，且α∈，求sin 4α的值．
解：∵sinsin＝sincos＝，
∴sin＝，即cos 2α＝.
∵α∈，则2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－＝－.
∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－.
三角恒等式的证明
[例3]　在△ABC中，求证：sin2＋sin2＋sin2＝1－2sinsinsin.
[思路点拨]　左边用二倍角公式降次→余弦公式化成积→应用三角形内角和为180度→得出结果．
[边听边记]　sin2＋sin2＋sin2
＝＋＋
＝－(cos A＋cos B＋cos C)
＝－cos＋cos＋cos C
＝－
＝1－
＝1－sin
＝1－sin·2sinsin
＝1－2sin sinsin.
借题
发挥
要注意隐含条件三角和等于180度的应用．同时解决此题需要有很强的目标意识．
利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍半关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明.
3．求证：＝.
证明：要证＝，
只要证＝.
上式：左边＝＝
＝＝tan 2θ＝
＝右边．
∴原式成立．
1．若sin＝，则cos α＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 　B．－
C. D．
解析：因为sin＝，
所以cos α＝1－2sin2 ＝1－2×2＝.
答案：C
2．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：法一：cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
法二：cos＝cos α－sin α，
所以cos2＝(cos α－sin α)2＝
(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.
答案：A
3．已知sin α＝－，则cos(π－2α)＝(　　)
A. 　B．－
C. D．
解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.
答案：B
4．化简：＝________.
解析：∵cos 2x＝2cos2x－1，∴2＋2cos 4＝2＋2(2cos22－1)＝4cos22.
∵<2<π，∴cos 2<0，则＝＝|2cos 2|＝－2cos 2.
答案：－2cos 2
5．等腰三角形一个底角的余弦为，那么这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，
sin B＝＝ ＝.
所以sin A＝sin(180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B
＝2××＝.
答案：
6．已知tan＝3，求sin 2θ－2cos2θ的值．
解：∵tan＝3，∴＝3，∴tan θ＝.
∵sin 2θ－2cos2θ＝＝＝＝－.
二倍角公式的应用灵活多样，谈谈你对应用二倍角公式解题的感受．
我的感受是“正用公式——帆满风顺”．
所谓正用公式就是从题设条件出发，顺着问题的线索正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．
我的感受是“逆用公式——反弹琵琶”．
逆用公式就是意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝ sin 2α，cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
我也谈谈我的感受是“变形应用——左右逢源”
公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝.
一、选择题
1．若3π<2x<4π，则 ＋ 等于(　　)
A.cos　 　 　 　B．－cos
C.sin D．－sin
解析：原式＝|cos x|＋|sin x|＝cos x－sin x＝－·sin＝sin.
答案：C
2．化简·cos 28°的结果为(　　)
A. 　B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cos 28°
解析：·cos 28°＝×·cos 28°＝tan 28°·cos 28°＝，故选A.
答案：A
3．当180°<α<270°时， 可化简为(　　)
A．cos 　B．－cos
C．sin D．－sin
解析：∵＝cos2α，180°<α<270°，
∴ ＝－cos α.
又∵＝sin2，90°<<135°，
∴ ＝sin.
答案：C
4．已知cos＝，则sin 2α的值为(　　)
A. 　B．－
C. D．－
解析：∵cos＝，∴sin 2α＝－cos＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝.
答案：A
二、填空题
5．已知α∈，则＋－＝________.
解析：∵α∈，∴∈，
∴原式＝＋－ 
＝sin＋cos＋cos－sin－2cos＝0.
答案：0
6．已知sin＝，则cos 2的值是________．
解析：∵sin＝，
∴cos＝cos 2
＝1－2sin2＝，
∴cos 2＝cos＝cos
＝－cos＝－.
答案：－
三、解答题
7．已知cos＝，≤α<，求cos的值．
解：∵≤α<，∴≤α＋<.
∵cos>0，∴<α＋<.
∴sin＝－ 
＝－ ＝－.
∴cos 2α＝sin＝2sincos
＝2××＝－，
sin 2α＝－cos＝1－2cos2
＝1－2×2＝.
∴cos＝cos 2α－sin 2α
＝×
＝－.
8．已知函数f(x)＝cos－cos＋cos 2ωx(x∈R，ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝cos 2ωxcos＋sin 2ωxsin－cos 2ωx·cos＋sin 2ωxsin＋cos 2ωx
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin.
∵f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
∴＝π，即ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
∵－≤x≤，
∴－≤2x＋≤.
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.