2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第5章 5.3 简单的三角恒等变换

5．3简单的三角恒等变换
积化和差与和差化积
1．我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式，那么S(α＋β)＋S(α－β)，S(α＋β)－S(α－β)，C(α＋β)＋C(α－β)，C(α＋β)－C(α－β)会得到怎样的结论？
2．将问题(1)中得到的结论中α＋β，α－β看作一个整体，又会得到什么样的结论？
积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆)
积化和差公式
和差化积公式
sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]
sin α＋sin β＝2sincos
sin α－sin β＝2cossin
cos α＋cos β＝2coscos
cos α－cos β＝－2sinsin
1．将cos 2x＋cos 3x化成积的形式为________．
[提示]　2coscos
2．将sin xcos 2x化成和差的形式为________．
[提示]　(sin 3x－sin x)
辅助角公式
辅助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
利用辅助角公式写出下列式子的化简结果．
(1)sin x＋cos x；　　(2)sin x－cos x；
(3)sin x＋cos x；　(4)sin x－cos x；
(5)sin x＋cos x；　(6)sin x－cos x.
[提示]　(1)sin x＋cos x＝sin.
(2)sin x－cos x＝sin.
(3)sin x＋cos x＝2sin.
(4)sin x－cos x＝2sin.
(5)sin x＋cos x＝2sin.
(6)sin x－cos x＝2sin.
三角函数式的化简
[例1]　化简＋.
[思路点拨]　利用倍角公式，化去分子、分母中的常数项“1”．
[边听边记]　原式＝＋
＝＋
＝＋＝
＝＝.
借题
发挥
化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．根据这些原则，先观察待化简式的结构，合理选择公式化简，本题的关键是去掉常数项“1”.
1．化简：.
解：原式＝
＝
＝2
＝(tan2A)2
＝tan4A.
积化和差与和差化积的应用
[例2]　求函数f(x)＝－的值域．
[思路点拨]　(1)先通分，将sin－sin和差化积．
(2)再积化和差得函数．
(3)在定义域内求值域．
[边听边记]　f(x)＝＝
＝＝2coscos＝cos＋cos
＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1
＝22－.
∵sin≠0，∴≠kπ，即x≠2kπ(k∈Z)．
∴－1≤cos x<1.
当cos x＝－时，f(x)min＝－，
当cos x趋于1时，f(x)趋于2.
故函数f(x)的值域是.
借题
发挥
通过和差化积、积化和差等三角变换，改变函数式结构，并最终使函数解析式中只含一个三角函数符号，是上述变换过程的基本内容，一般对同名异角三角函数的和或差可考虑和差化积；对异角正、余弦函数的积，可考虑积化和差.
2．求函数f(x)＝(tan 3x－tan x)(sin 2x－sin 4x)的值域．
解：f(x)＝(sin 2x－sin 4x)
＝(sin 2x－sin 4x)
＝[sin(3x－x)－sin(3x＋x)]
＝(－2cos 3xsin x)
＝(－2cos 3xsin x)＝－4sin2x
＝－2(1－cos 2x)＝2cos 2x－2.
由得(k∈Z)
∴x≠π，
从而2x≠π(k∈Z)，
∴cos 2x≠－1且cos 2x≠.
故f(x)的值域是(－4，－1)∪(－1,0]．
辅助角公式的应用
[例3]　已知函数f(x)＝sin x－ cos x，x∈R.
(1)求f(x)的周期与值域；
(2)求f(x)的单调递增区间．
[思路点拨]　(1)将sin x－ cos x化简成 ·sin(x＋φ)的形式；
(2)根据y＝Asin(ωx＋φ)的图象性质可求问题．
[边听边记]　∵f(x)＝sin x－ cos x
＝2
＝2
＝2sin
∴(1)T＝2π，f(x)的值域为[－2,2]．
(2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.
得x∈，k∈Z.
即f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
借
题
发
挥
对于辅助角公式asin α＋bcos α＝ sin(α＋φ)中要注意两点：
(1)sin φ＝，cos φ＝，其中φ所在象限由(a，b)决定．
(2)asin α＋bcos α中的角必须为同角α，否则不成立.
3．求f(x)＝ sin x＋cos x的最大值、最小值．
解：f(x)＝2sin，∴f(x)max＝2，f(x)min＝－2.
1．函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是(　　)
A.　　　　　 　B．
C. D．
解析：y＝2cos 2x＝cos 2x＋1，
令2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，
∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
当k＝1时，≤x≤π.
答案：D
2．若α－β＝，则sin αsin β的最大值是(　　)
A. 　B．
C. D．1
解析：由题意知，sin αsin β＝－[cos (α＋β)－cos (α－β)]＝－cos－cos
＝－cos＋，故其最大值为.
答案：B
3．sinsin化为和差的形式是(　　)
A.[sin(α＋β)－cos(α－β)]
B．－[cos(α＋β)－cos(α－β)]
C．－[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
D.[sin(α＋β)＋cos(α－β)]
解析：原式＝－cos－cos＋α－－β＝－
＝－[－sin(α＋β)－cos(α－β)]＝[sin(α＋β)＋cos(α－β)]．
答案：D
4．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
解析：f(x)＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin(x＋φ－φ)＝sin x，
因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.
答案：1
5．设f(sin α＋cos α)＝sin 2α，则f的值为________．
解析：令sin α＋cos α＝，等式两边平方得
sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－，∴f＝－.
答案：－
6．已知函数f(x)＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin x＋cos x－
＝2sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
三角恒等变换有一种策略，即“化异为同”，应用过程是首先观察不同之处，然后寻找化同的方法与途径，大家考虑一下，如何用“化异为同”的方法策略解答下面这个题目：
已知sin(x＋20°)＝cos(x＋10°)＋cos(x－10°)，求tan x的值．
先将已知式左右两边展开可得tan x＝，再观察表达式：
，分母是非特殊角的函数值cos 20°，显然分子式中最好能出现cos 20°，这样可以将分母中的cos 20°约去；分子2cos 10°－sin 20°是一个差式，由于有一个系数“2”，而不能直接使用和差化积公式，(因为在和差化积公式cos α±cos β，sin α±sin β中，有特征： ①同名三角函数的和与差；②两三角函数值前的系数的绝对值相等)于是化常数2＝1＋1，所以有：
＝＝
＝＝＝＝2cos 30°＝，
即tan x＝.
将中的cos 10°转化为sin 80°，再将80°向20°转化就有80°＝60°＋20°，所以tan x＝
＝
＝
＝＝2sin 60°＝.
一、选择题
1．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于(　　)
A.　　　　　　　　　 　B．1
C. D．
解析：原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°·tan 20°)＝1.
答案：B
2．设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为(　　)
A．2 　B．
C．1 D．
解析：由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)．
∵β为锐角，∴sin β＋cos β≠0，
∴sin α＝cos α，即tan α＝1.
答案：C
3．在△ABC中，B＝，则tan＋tan＋tantan的值是(　　)
A．± 　B．－
C. D．
解析：∵A＋B＋C＝π，B＝，∴A＋C＝，
∴tan＋tan＋tantan
＝tan·＋tantan
＝.
答案：C
4．若tan α＋＝，α∈，则sin的值为(　　)
A．－ 　B．
C. D．
解析：由tan α＋＝，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0.
解得tan α＝3或tan α＝.
∵α∈，∴tan α>1，∴tan α＝3，
∴sin＝·
＝·
＝·
＝×＝－.
答案：A
二、填空题
5．若3sin β＝sin(2α＋β)，则＝________.
解析：∵3sin β＝sin(2α＋β)，
∴3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，
即3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
∴2sin(α＋β)cos α＝4cos (α＋β)·sin α，
即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
等式两边同除以cos(α＋β)cos α，得tan(α＋β)＝2tan α，
∴＝2.
答案：2
6．已知sin＋sin α＝－，－<α<0，则cos α＝________.
解析：∵sin＋sin α＝－，－<α<0，
∴sin ＋sin α＝sin αcos＋cos αsin＋sin α＝sin α＋cos α
＝sin＝－，∴sin ＝－.
∵－<α<0，∴cos＝，
故cos α＝cos＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
答案：
三、解答题
7．已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos 2α，求cos α－sin α的值．
解：(1)∵函数y＝sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z，
∴－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
故函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.
(2)∵f＝sin＝cos(cos2α－sin2α)，
∴sin αcos＋cos αsin＝·(cos2α－sin2α)，
即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cos α－sin α＝－；
当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝.
由α是第二象限角，知cos α－sin α<0，
此时cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或－.
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解：∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)，
∴－sin ωxcos φ＝sin ωxcos φ对任意x都成立．
又∵ω>0，∴cos φ＝0.
∵0≤φ≤π，∴φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，
得f＝－f.
取x＝0，得f＝－f，即f＝0.
又∵f＝sin ＝cos，
∴cos＝0.
又∵ω>0，∴＝＋kπ，k＝0,1,2…，
∴ω＝(2k＋1)，k＝0,1,2….
当k＝0时，ω＝，f(x)＝sin在上是减函数；
当k＝1时，ω＝2，f(x)＝sin在上是减函数；
当k≥2时，ω≥，f(x)＝sin在上不是单调函数．
综上所述，ω＝或ω＝2.