2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第5章 阶段质量检测

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于(　　)
A．－　　　　　　　 　B．
C．－ D．
解析：sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin(180°－17°)·sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)＝－sin 17°sin 43°＋cos 17°cos 43°＝cos(17°＋43°)＝cos 60°＝.
答案：B
2．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α的值为(　　)
A．－ 　B．－2
C．－ D．
解析：∵点P在直线y＝－2x上，∴sin α＝－2cos α，
∴sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2(2cos2α－1)＝－4cos2α＋4cos2α－2＝－2.
答案：B
3．若tan α＝3，则的值为(　　)
A．2 　B．3
C．4 D．6
解析：＝＝2tan α＝6.
答案：D
4．(全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ 　B．－
C. D．
解析：将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2 α－2sin αcos α＋cos2α＝，
即sin 2α＝－.
答案：A
5．求值－＝(　　)
A．4 　B．2
C．－2 D．－4
解析：－＝－＝＝＝＝－4.
答案：D
6．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－，则cos 2α＝(　　)
A. 　B．－
C．－ D．
解析：因为cos α＋sin α＝－，α∈(0，π)，
所以sin 2α＝－，cos α<0，且α∈，
所以2α∈，所以cos 2α＝＝.
答案：A
7．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，且α是第二象限角，则tan等于(　　)
A．7 　B．－7
C. D．－
解析：∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝，
∴cos α＝－.
又α是第二象限角，∴sin α＝，tan α＝－.
∴tan＝＝＝.
答案：C
8．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．既非等腰又非直角的三角形
解析：∵sin Asin B＝cos2，
∴[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝(1＋cos C)，
∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cos C，∴cos(A－B)＝1.
∵－π∴△ABC为等腰三角形．
答案：B
9．若α∈，且sin α＝，则sin＋cos＝(　　)　
A.　　　　　　　 　B．－
C. D．－
解析：∵sin α＝，<α<π，∴cos α＝－，
∴sin＋cos＝cos α＝－.
答案：D
10．已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a，b，c的关系是(　　)
A．b＝a＋c 　B．2b＝a＋c
C．c＝b＋a D．c＝ab
解析：依题意，有
∵tan＝tan＝＝＝＝1，
∴a＋b＝c.
答案：C
11．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β等于(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.
又0<β<α<，∴0<α－β<，∴cos(α－β)＝＝.
∵cos α＝，∴sin α＝.
∴sin β＝sin [α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
故β＝.
答案：D
12．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)的值为(　　)
A. 　B．
C. D．－
解析：因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，所以|a|＝|b|＝1.
又a与b的夹角为，所以a·b＝1×1×cos＝.
又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，
所以cos(α－β)＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知sin α＋cos α＝－，α∈[－π，0)，则(sin α＋cos α)·tan α＝________.
解析：由sin α＋cos α＝－，得sin＝－，
即sin＝－1.
∵α∈，∴α＋∈－，，
∴α＋＝－，即α＝－.
此时，sin α＝－，cos α＝－，tan α＝1，
∴(sin α＋cos α)tan α＝－.
答案：－
14．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tan A，tan B，且A，B∈，则A＋B＝________.
解析：由题意，知tan A＋tan B＝－3a<－6，tan A·tan B＝3a＋1>7，
∴tan A<0，tan B<0，tan(A＋B)＝＝＝1.
∵A，B∈，tan A<0，tan B<0，
∴A，B∈，∴A＋B∈(－π，0)，
∴A＋B＝－.
答案：－
15．若＝2 018，则＋tan 2α＝________.
解析：＋tan 2α＝＋＝
＝＝＝＝2 018.
答案：2 018
16．函数f(x)＝cos 2x＋6cos，x∈R的最大值为________．
解析：由已知，得f(x)＝cos 2x＋6cos＝－2sin2x＋6sin x＋1＝－22＋.
又sin x∈[－1,1]，
所以当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.
答案：5
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)
17．(本小题满分10分)已知0<α<，sin α＝.
(1)求的值；
(2)求tan的值．
解：(1)由0<α<，sin α＝，得cos α＝，
∴＝
＝＝20.
(2)∵tan α＝＝，
∴tan＝＝＝.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)＋2cos的最大值和最小值．
解：(1)由图可知，A＝2，最小正周期T＝＝8，
∴ω＝.又f(1)＝2，∴sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝.故f(x)＝2sin.
(2)y＝f(x)＋2cos＝2sin＋2cos＝2cosx.
由－6≤x≤－，得－≤x≤－，
当x＝－π，即x＝－4时，y取最小值－2；
当x＝－，即x＝－时，y取最大值.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝asin x·cos x－acos2x＋a＋b(a>0)．
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)f(x)在上的最小值是－2，最大值是，求实数a，b的值．
解：(1)f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＋b＝sin 2x－cos 2x＋b
＝asin＋b.
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，
∴解得
20．(本小题满分12分)(浙江高考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解：(1)由题意，f(x)＝－cos 2x－sin 2x
＝－2＝－2sin，
故f ＝－2sin＝－2sin ＝2.
(2)由(1)知f(x)＝－2sin.
则f(x)的最小正周期是π.
由正弦函数的性质
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2cos2－sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f＝，求的值．
解：(1)f(x)＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，
∴函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．
(2)∵f＝1＋2cos α＝，∴cos α＝－.
∵α为第二象限角，∴sin α＝.
∴＝
＝＝
＝＝.
22．(本小题满分12分)如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角∠CAD＝45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD.
解：如图，作AE⊥CD于E.
因为AB∥CD，AB＝9，
CD＝15，
所以DE＝9，EC＝6.
设AE＝x，∠CAE＝α.
因为∠CAD＝45°，
所以∠DAE＝45°－α.
在Rt△AEC和Rt△AED中，有
tan α＝，tan(45°－α)＝.
因为tan(45°－α)＝，
所以＝.
化简得：x2－15x－54＝0，
解得x＝18，x＝－3(舍去)．
所以两建筑物底部间的距离BD等于18 m.
模块综合检测
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若cos θ＞0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限　　　　　　　 　B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵sin 2θ＝2sin θcos θ＜0，cos θ＞0，∴sin θ＜0，
∴θ是第四象限角．
答案：D
2．(山东高考)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. 　B．
C．π D．2π
解析：∵y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
∴最小正周期T＝＝π.
答案：C
3．已知向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论正确的是(　　)
A．|a|＝|b| 　B．a·b＝
C．a－b与b垂直 D．a∥b
解析：∵a－b＝，∴(a－b)·b＝0，∴a－b与b垂直．
答案：C
4．函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ的值为(　　)
A. 　B．
C. D．－
解析：由y＝sin x的对称轴为x＝kx＋，k∈Z，得3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z.又∵|φ|＜，∴φ＝.
答案：C
5．已知D是△ABC的边BC上的一点，且BD＝BC，＝a，＝b，则等于(　　)
A.(a－b) 　B．(b－a)
C.(2a＋b) D．(2b－a)
解析：＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋
＝a＋b＝ (2a＋b)．
答案：C
6．(天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝ 　B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.
答案：A
7．已知a，b均为单位向量，且它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：∵|a|＝1，|b|＝1，且它们的夹角为60°，故a·b＝cos 60°＝，
∴(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋3＋9＝13，即|a＋3b|＝.
答案：C
8．为了得到函数y＝2sin，x∈R的图象，只需把函数y＝2sin x，x∈R的图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
解析：f(x)＝2sin x向左平移个单位长度得f＝2sin＝g(x)，把g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍得g＝2sin.
答案：B
9．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：tan(A＋B)＝tan(180°－120°)＝tan 60°＝＝＝，
故1－tan Atan B＝，即tan Atan B＝.
答案：B
10．设θ∈，sin 2θ＝，则cos θ－sin θ的值是(　　)
A. 　B．－
C. D．－
解析：∵θ∈，∴cos θ＜sin θ，
∴cos θ－sin θ＝－＝－ ＝－.
答案：D
11．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且 ⊥，则实数λ的值为(　　)
A. 　B．13
C．6 D．
解析：∵＝λ＋，且⊥，
∴·＝(λ＋)·(－)＝2－λ2＋(λ－1)·＝0.
又向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3，
∴·＝||·||cos 120°＝2×3×＝－3.
∴32－λ×22＋(λ－1)×(－3)＝0，解得λ＝.故选D.
答案：D
12．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为(　　)
A. 　B．
C. D．
解析：∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B＝·sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C＝2sin＝1.
∴sin＝，∴C＋＝或C＋＝(舍去)，∴C＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若＝－，则sin α＋cos α＝________.
解析：原式＝＝＝－，
∴sin α＋cos α＝.
答案：
14．如果|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ka－b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值为________．
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，
∴a·b＝1×2×cos 60°＝1.
∵c⊥d，∴c·d＝(2a＋3b)·(ka－b)＝2ka2－2a·b＋3ka·b－3b2＝2k－2＋3k－12＝0，
∴k＝.
答案：
15．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的一段图像如图所示，则函数解析式为______________．
解析：图中给出了第三、第五个关键点，于是得
解得ω＝3，φ＝.又∵A＝2，
∴所求函数的解析式为y＝2sin.
答案：y＝2sin
16.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．
解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ (λ>1)，
则＝＋λ＝λ＋(1－λ).
又C，O，D三点共线，
令＝－μ (μ>1)，
则＝－－ (λ>1，μ>1)，
所以m＝－，n＝－，
则m＋n＝－－＝－∈(－1,0)．
答案：(－1,0)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)
17．(本小题满分10分)已知θ为第一象限角，a＝(sin(θ－π)，1)，b＝.
(1)若a∥b，求的值；
(2)若|a＋b|＝1，求sin θ＋cos θ的值．
解：(1)∵a＝(sin(θ－π)，1)＝(－sin θ，1)，
b＝＝，a∥b，
∴sin θ＝cos θ，
∴tan θ＝2，
∴＝＝5.
(2)∵|a＋b|＝1，a＋b＝，
∴|a＋b|2＝(cos θ－sin θ)2＋2＝1，
解得2sin θcos θ＝，
∴sin θ＋cos θ＝＝.
18．(本小题满分12分)已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈，a·b＝，求的值．
解：∵a·b＝cos 2α＋sin α(2sin α－1)
＝cos 2α＋2sin2α－sin α
＝1－sin α＝，∴sin α＝.
∵α∈，∴cos α＝－，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝－，
∴
＝
＝
＝－10.
19．(本小题满分12分)已知函数?(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x.
(1)当x∈时，求?(x)的值域；
(2)用五点法在下图中作出y＝?(x)在闭区间上的简图．
解：?(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x
＝2cos x－sin2x＋sin xcos x
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin.
(1)∵x∈，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴当x∈时，?(x)的值域为[－，2]．
(2)由T＝，得最小正周期T＝π，列表：
x
－




2x＋
0

π

2π
2sin
0
2
0
－2
0
图象如图所示．
20．(本小题满分12分)在△ABC中，中线长AM＝2.
(1)若＝－2，求证：＋＋＝0；
(2)若点P为中线AM上的一个动点，求·(＋)的最小值．
解：(1)证明：∵M是BC的中点，＝(＋)，
∴－＝(－＋－)，
∴＝(＋)．
又∵＝－2，∴＝－－，
即＋＋＝0.
(2)如图，设||＝x，
则||＝2－x(0≤x≤2)．
∵M是BC的中点，∴＋＝2，
∴·(＋)＝2·＝－2||·||
＝－2x·(2－x)＝2(x－1)2－2.
故当x＝1时，·(＋)取得最小值－2.
21．(本小题满分12分)已知向量a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos 2x，－cos 2x)．
(1)若当x∈时，a·b＋＝－，求cos 4x的值；
(2)若cos x≥，x∈(0，π)时，关于x的方程a·b＋＝m有且仅有一个实根，求实数m的值．
解：(1)∵a＝(sin 2x，cos 2x)，b＝(cos 2x，－cos 2x)，
∴a·b＋＝sin 2xcos 2x－cos22x＋
＝sin 4x－＋＝sin 4x－cos 4x
＝sin＝－.
∵x∈，∴4x－∈，
∴cos＝－，
∴cos 4x＝cos 
＝coscos－sinsin
＝－×＋×＝.
(2)∵cos x≥，余弦函数在(0，π)上是减函数，
∴0在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图所示，
由图可知，m＝1或m＝－.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sinsin， x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x＝x00≤x0≤为f(x)的一个零点，求cos 2x0的值．
解：(1)f(x)＝sin2x＋sin 2x－cos 2x－cos 
＝＋sin 2x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝2sin＋，
∴f(x)的最小正周期为π.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，
得sin＝－<0.
又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，
∴－≤2x0－<0，
∴cos＝，
∴cos 2x0＝cos2x0－＋
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.