2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第5章 章末小结与测评

　 　 　章 末 小 结 与 测 评 
三角函数的求值
三角函数的求值主要有两种类型：一是给角求值，二是给值求值．
1．给角求值
这类题目的解法相对简单，主要是利用所学的诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等，化非特殊角为特殊角，在转化过程中要注重上述公式的正逆用．
[例1]　求值：－＋64sin220°.
[解]　原式＝＋64sin220°
＝＋64sin220°
＝＋64sin220°
＝＋64sin220°
＝＋64sin220°
＝32cos 40°＋64·＝32.
2．给值求值
这类题目的解法相对灵活，主要解答方法是利用三角恒等变换中的拆角变换及和、差、倍、半角公式的综合应用．由于此类题目在解答过程中涉及的数学方法及数学思想相对较多，因此也是平时乃至高考考查的一个重热点．
[例2]　已知θ为第二象限角，tan 2θ＝－2，则
＝________.
[解析]　∵tan 2θ＝＝－2，
∴tan θ＝－或tan θ＝.
∵θ为第二象限角，∴tan θ＜0，∴tan θ＝－，
∴＝
＝＝＝＝3＋2.
[答案]　3＋2
辅助角公式的应用
辅助角公式是将含有同角的正弦、余弦的两项之和化为同一个角的一种三角函数的形式，是化简函数解析式研究三角函数性质的有效工具．
[例3]　设函数f(x)＝2cos xsin－sin2x＋sin xcos x，当x∈时，求f(x)的最大值和最小值．
[解]　f(x)＝2cos x－sin2x＋sin xcos x
＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.
∵x∈，∴2x＋∈.
∴－≤sin≤1，从而－≤f(x)≤2.
故当x∈时，f(x)max＝2，f(x)min＝－.
三角恒等变换的综合应用
1.三角恒等变换与三角函数的综合应用中，一般是通过恒等变换将复杂的三角函数化为简单的三角函数，再分析它的单调性、周期、最值等．
2．三角函数与向量的综合应用中，向量一般以三角函数的形式出现．一般利用向量的数量积、向量长、向量平行等条件将向量问题转化为三角函数，再利用三角函数的变换 求解．
[例4]　(山东高考)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
[解]　(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
因为f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
转化与化归思想在三角变换中的应用
本章以两角差的余弦公式为基础利用换元法，将两角和的余弦公式转化为两角差的余弦公式的形式，即α＋β＝α－(－β)，从而推导出两角和的余弦公式．然后利用诱导公式实现正弦向余弦的转化，推导出两角和(差)的正弦公式．以及二倍角公式的推出都体现了转化与化归的思想．应用该思想解决了三角函数式化简、求值、证明中角的变换、函数名称变换问题，解决了三角函数最值问题．
[例5]　已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan的值．
[解]　由题意有cos＝－，sin＝－，
∴tan＝－，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝－.