2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.1.1 角的概念的推广

3．1.1　角的概念的推广
角的概念推广
现在的时间是12点5分，而钟表指示的时间是12点，即钟表慢了5分钟，如何来校准？如果你的手表快了0.5小时，又如何校准？
1．角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
2．角的分类
一条射线绕着端点以逆时针方向的旋转为正向，所成的角称为正角，用正的角度来表示；顺时针方向旋转所成的角称为负角，用负的角度来表示；不旋转所成的角称为零角，用0°表示．
3．任意角
任意角包括正角、负角和零角．
如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．
[提示]　∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°.
象限角
(1)300°、－300°、－160°、220°角的终边分别在第几象限？
(2)－90°、180°、0°、270°、90°、－180°的终边落在什么位置？
1．象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角．
2．终边在坐标轴上的角
如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．
1．－330°是第________象限角．
[提示]　－330°＝－1×360°＋30°，即顺时针旋转360°，再逆时针旋转30°，在第一象限．
2．下列说法正确的序号是________．
①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；
③－290°小于钝角；④180°是第二象限角．
[提示]　第一象限角不一定是锐角，故①错；锐角一定是第一象限角，故②正确； ③显然正确；180°角的终边在x轴的负半轴上为轴线角，故④错，所以②③正确．
终边相同的角
角390°，－330°的终边与30°角的终边有何关系？与30°角终边相同的角与集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}有什么关系？
设角α＝∠AOB，则所有以OA为始边，OB为终边的角都是α与整数个周角的和，组成集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
与－490°角终边相同的角的集合是________，它们是第________象限角，其中最小正角是________，最大负角是________．
[提示]　{β|α＝k·360°－490°，k∈Z}，三，230°，－130°.
角的基本概念
[例1]　下列命题：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中假命题的序号为________(把假命题的序号都写上)．
[思路点拨]　解答本题可根据角的大小特征、位置特征进行判断．
[边听边记]　①－330°角是第一象限角，但它是负角，所以①不正确．
②120°角是第二象限角，390°角是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．
③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确．
④0°角小于180°角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确．
[答案]　①②③④
借
题
发
挥
(1)解决此类问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．
(2)判断命题正确与否时，若命题为真，需要严格的推理论证，若要说明命题为假，只
需举出反例即可．如②.
1．若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　)
A．120°　　　　　　　 B．－120°
C．－60° D．60°
解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
即为－×360°＝－120°.
答案：B
象限角和终边相同的角
[例2]　已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β≤360°)的形式，指出它是第几象限的角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ≤0°.
[思路点拨]　(1)用所给角除以360°，将余数作为β；
(2)根据终边相同的角的概念作出判断．
[边听边记]　(1)∵－1 910°÷360°＝－6余250°，
∴－1 910°＝－6×360°＋250°，
相应β＝250°，从而α＝－6×360°＋250°是第三象限的角．
(2)令θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2就得到适合－720°≤θ≤0°的角：
250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
借
题
发
挥
(1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)也可用竖式除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值.
2．下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角的终边相同的角的集合S，并把 S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来：
(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.
解：(1)60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S中适合－360°≤β<720°的元素是
60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
(2)－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，
S中适合－360°≤β<720°的元素是
－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°.
(3)363°14′是第一象限角，S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}，
S中适合－360°≤β<720°的元素是
363°14′＋(－2)×360°＝－356°46′，363°14′＋(－1)×360°＝3°14′，
363°14′＋0×360°＝363°14′.
角nα，(n∈N*)所在象限的确定
[例3]　已知α是第二象限角，求：(1)角2α的终边的位置；(2)角所在的象限．
[思路点拨]　先确定α的范围，进一步确定出nα或的范围，再根据k与n的关系进行讨论．
[边听边记]　(1)∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
(2)∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°<这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，
得n·360°＋225°<这表明是第三象限角．
∴为第一或第三象限角.
借
题
发
挥
分角、倍角所在象限的判定思路
(1)已知角α终边所在的象限，确定终边所在的象限，分类讨论法要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．
(2)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况.
[变式之作]
在本例中如果α是第三象限的角，那么－α的终边落在何处？
解：∵α是第三象限的角，
∴k·360°＋180°<α∴－270°－k·360°<－α<－180°－k·360°(k∈Z)，
即90°＋k·360°<－α<180°＋k·360°(k∈Z)，
∴角－α的终边在第二象限．
1．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(　　)
A．45°－4×360°　　　　 B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
解析：－1 485°＝315°－5×360°.
答案：D
2．图中OA为始边，则(　　)
A．α＝140°，β＝220° B．α＝－140°，β＝220°
C．α＝140°，β＝－220° D．α＝－140°，β＝－220°
解析：∵α是顺时针角，∴α是正角，即α＝60°＋80°＝140°.
∵β是逆时针角，∴β是负角，即β＝－(360°－140°)＝－220°.
答案：C
3．下列与210°为不同终边的角是(　　)
A．－510° B．－150°
C．900° D．1 290°
解析：∵－510°＝210°－2×360°，∴A不符合题意；
∵－150°＝210°－360°，∴B不符合题意；
∵900°＝180°＋2×360°，∴符合题意；
∵1 290°＝210°＋3×360°，∴D不符合题意．
答案：C
4．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　)
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：当k为偶数时，α在第一象限；当k为奇数时，α在第三象限．
答案：A
5．在0°～360°范围内：与2 018°终边相同的最小正角是________，是第________象限角．
解析：2 018°＝5×360°＋218°与218°终边相同，是第三象限角．
答案：218°　三
6．如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．
解：在图(1)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角是45°≤α≤210°，
故满足条件的角的集合为{α|45°＋k·360°≤α≤210°＋k·360°，k∈Z}．
在图(2)中，0°～360°范围内的终边落在指定区域的角是0°≤α≤45°或315°≤α≤360°，
将其转化为－180°～180°范围内，
终边落在指定区域的角是－45°≤α≤45°，
故满足条件的角的集合为{α|－45°＋k· 360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．
若α是第一象限的角，那么是第几象限的角？你能总结出α与所在象限之间的 关系吗？
当α是第一象限角时，k·360°<α则k·180°<若k为偶数，设k＝2n，n∈Z，则
n·360°<此时在第一象限的前半部分．
若k为奇数，设k＝2n＋1，n∈Z，则
n·360°＋180°<此时在第三象限的前半部分．
综上所述，当α是第一象限角时，是第一象限角或第三象限角．
根据上面的推理过程，可将坐标平面分为八个部分，如图所示．
Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示α在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限时所在的位置．
如当α在第三象限时，在第二象限、第四象限的前半部分．
一、选择题
1．已知α是第四象限角，则270°－α是(　　)
A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：由题意知－90°＋360°·k＜α＜360°·k(k∈Z)，
则－360°·k＜－α＜－360°·k＋90°(k∈Z)，
270°－360°·k＜270°－α＜360°－360°·k(k∈Z)，
显然270°－α是第四象限角．
答案：D
2．下列各角中与330°角的终边相同的是(　　)
A．510° B．150°
C．－150° D．－390°
解析：－390°＝－2×360°＋330°.
答案：D
3．已知集合M＝{α|k·360°<α<120°＋k·360°，k∈Z}，N＝{α|90°＋k·360°<α<150°＋k·360°，k∈Z}，则M∩N中角所在的象限为(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第一或第二象限
D．第一或第二象限或y轴非负半轴角
解析：M∩N＝{α|90°＋k·360°<α<120°＋k·360°，k∈Z}，即是第二象限角．
答案：B
4．已知角α是锐角，则－α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵α是锐角，∴0°<α<90°，
∴－90°<－α<0°，
∴－α为第四象限角．
答案：D
二、填空题
5．如图所示的阴影部分所表示的角为________．
解析：依题知，阴影部分所表示的角为{α|－30°＋k·360°<α<70°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|－30°＋k·360°<α<70°＋k·360°，k∈Z}
6．设集合M＝，N＝，那么M与N的关系为________．
解析：∵M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，
∴M?N.
答案：M?N
三、解答题
7．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角：
(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．
解：(1)与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)，
由－360°故所求的最大负角为β＝－50°.
(2)由0°得－10 030°故所求的最小正角为β＝310°.
(3)由360°≤k·360°＋10 030°<720°，
得－9 670°≤k·360°<－9 310°，解得k＝－26，
故所求的角为β＝670°.
8．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：
(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．
解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，得－又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，
∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°， －60°，30°，120°，210°，300°.
(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，
∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.