2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.1.2 弧度制

3．1.2　弧度制
角度制与弧度制
1．弧度与弧度制
用单位圆中的弧长来度量所对圆心角的大小，单位圆上长度为1的圆弧所对的圆心角取为度量的单位，称作弧度，这样的单位制称为弧度制．
2．角度与弧度的换算公式
1弧度＝°≈57°18′，
周角＝360°＝2π弧度，
1°＝弧度≈0.017_45弧度．
3．角度制以周角的作为度量单位，称为“度”；弧度制以周角的作为度量单位，称为“弧度”．
1．下列说法不正确的是(　　)
A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
B．1度的角是圆周长的所对的圆心角，1弧度的角是圆周的所对的圆心角
C．根据弧度的定义，知180°一定等于π弧度
D．不论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小都与圆的半径长短有关
[提示]　不论是用角度制还是弧度制度量角，角的大小都与圆的半径长短无关．选D.
2．已知半径为10 cm的圆上，有一条弧的长是40 cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．
[提示]　4
扇形的弧长与面积公式
在角度制下，弧长公式与扇形面积公式分别是l＝，S＝，根据角度制与弧度制的互换，能否用圆心角的弧度数表示弧长与扇形面积呢？
扇形的弧长及面积公式
设圆的半径为r，圆心角α的角度数为n，弧度数为x，
　　 度量单位
类别　　
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝|x|r
扇形的面积
S＝·r2
S＝|x|r2
1．半径为12 cm，弧长为8π cm的圆弧，其所对的圆心角为α，则α为________．
[提示]　
2．已知扇形的圆心角为，半径等于20 cm.则扇形的面积为________ cm2.
[提示]　80π
角度制与弧度制的互化
[例1]　将下列角度与弧度进行互化：
(1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°.
[思路点拨]　本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与弧度的换算公式， 即度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
[边听边记]　(1)π＝×180°＝15 330°.
(2)－＝－×180°＝－105°.
(3)10°＝10×＝.
(4)－855°＝－855×＝－.
借题发挥
角度制和弧度制是度量角的两种制度，在应用时可根据具体情况选择用哪一种比较简单，因此要熟练掌握弧度制与角度制的互化，注意不能忘了角的正负.
1．将下列各角度与弧度互化：
(1)22.5°＝__________；(2)－72°＝__________；
(3)15°＝__________；(4)－＝__________；
(5)＝__________；(6)＝__________.
答案：(1)　(2)－　(3)　(4)－210°　(5)108°
(6)75°
弧长及扇形面积公式的应用
[例2]　已知一个扇形的周长为＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．
[思路点拨]　(1)将圆心角化为弧度数；(2)求出扇形的半径或弧长；(3)代入面积公式．
[边听边记]　设扇形的半径为r，面积为S，
由已知，扇形的圆心角为80×＝，
∴扇形的弧长为r.
由已知，r＋2r＝＋4，∴r＝2，
∴S＝·r2＝.
故扇形的面积是.
借
题
发
挥
求扇形面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，相反，也可由扇形的面积结合其他条件求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
[变式之作]
　将本例条件变为“已知2 rad的圆心角所对的弦长为2”，求这个扇形的面积．
解：如图，已知∠AOB＝2 rad，AB＝2.
取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，
在Rt△ACO中，AC＝AB＝1，∠AOC＝∠AOB＝1 rad.
∵sin∠AOC＝，∴AO＝为圆半径，∴S＝.
[例3]　已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
[思路点拨]　正确使用扇形弧长公式及面积公式．
[边听边记]　设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时θ＝＝＝2(rad).
借题
发挥
当一个问题中的变量较多时，选择哪一个作为自变量是灵活解决的关键，本例中将半径r作为变量，能使所求函数更为简洁.
2．已知扇形AOB的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长．
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
由l＋2r＝10得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2＝－2＋，0＜r＜5.
当r＝时，S取得最大值，这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2.
故该扇形的面积的最大值为 cm2，及取得最大值时圆心角为2 rad，弧长为5 cm.
1．下列说法中，错误的是(　　)
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：由角度制和弧度制的定义，知A、B、C说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D说法错误．
答案：D
2．－300°化为弧度是(　　)
A．－　　 B．－　　　
C．－　　　 D．－
解析：∵1°＝ rad，∴－300°＝－300× rad＝－ rad.
答案：B
3.对应的角度是(　　)
A．75°　　　　　　　　　 B．125°
C．135° D．155°
答案：C
4．一扇形的圆心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为__________．
解析：∵|α|＝2，l＝4，∴r＝＝＝2，∴S＝lr＝×4×2＝4.
答案：4
5．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则该扇形的周长为________ cm.
解析：因为1°＝ rad，所以54°＝×54＝，
则扇形的弧长l＝αr＝×20＝6π(cm)，
故扇形的周长为(40＋6π)cm.
答案：40＋6π
6．用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－是不是第二象限角．
解：在0～2π范围内，第二象限角α∈.
∴终边落在第二象限的所有角可表示为
.
而－＝－4π＋∈，
∴－是第二象限角．
弧度制与角度制有何异同点？使用时注意什么？
都是角的度量方法，但使用了不同的标准，角度制是利用了圆周的为1度，而弧度制是利用了长度等于半径的圆弧所对的圆心角为1弧度．
使用时“度”不能省略，“弧度”二字可省略不写，另外两者不能混用，要避免如2kπ＋30°或k·360°＋这样的错误形式．
一、选择题
1．若圆的半径为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则(　　)
A．扇形面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
解析：∵l＝|α|R，∴|α|＝，当R，l均变为原来的2倍时，|α|不变．而S＝|α|R2中，
∵α不变，∴S变为原来的4倍．
答案：B
2.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)
A. B.
C. D．π
解析：设从动轮N逆时针旋转θ rad，
由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，
所以×＝×θ，解得θ＝，选B.
答案：B
3．若β＝－1 rad，则β的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：∵1 rad≈57°18′，∴－1 rad≈－57°18′，
∴β的终边在第四象限．
答案：D
4．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q＝(　　)
A．?
B．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
解析：如图，
所以P∩Q＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．
答案：B
二、填空题
5．－角的终边在第________象限．
解析：∵－＝－8π，的终边在第二象限．
∴－的终边在第二象限．
答案：二
6．若角θ的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是__________．
解析：∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．
当k＝0时，＝；k＝1时，＝；
k＝2时，＝；k＝3时，＝.
答案： 或  或  或 
三、解答题
7．已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积．
解：扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm，
扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π(cm2)．
8.如图，已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所对的弧的长度l及阴影部分的面积S.
解：(1)由于圆O的半径为10，弦AB的长为10，
所以△AOB为等边三角形，∠AOB＝，所以α＝.
(2)因为α＝，所以l＝α·r＝.
S扇＝lr＝××10＝，
又S△AOB＝×10×5＝25，
所以S＝S扇－S△AOB＝－25＝50.