2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.2.2 同角三角函数之间的关系

3．2.2　同角三角函数之间的关系
同角三角函数关系
1．在单位圆中，设角α的终边与单位圆交于P点，作出正弦线DP，余弦线OD，在Rt△ODP中，DP，OD与OP满足怎样的关系式？
2．根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，你能发现sin α，cos α，tan α满足什么关系？
同角三角函数的基本关系式
平方关系
商数关系
sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
1．已知sin α＝，并且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值．
[提示]　cos α＝－，tan α＝－.
2．已知sin α＝，如何求tan α？
[提示]　tan α＝±.
已知角的一个三角函数值求另两个三角函数值
[例1]　已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
[思路点拨]　根据同角三角函数的基本关系式求解．
[边听边记]　∵cos α<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
当α为第二象限角时，
sin α＝ ＝ ＝，
tan α＝＝－.
当α为第三象限角时，
sin α＝－＝－ ＝－，
tan α＝＝.
借
题
发
挥
(1)已知某个三角函数值，要求其余的三角函数值，常用方法是由同角间的三角函数关系来求解．在具体解题时，要根据条件，选择恰当的公式作为切入点．
(2)若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.
　　
1．已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解：由tan α＝＝，得sin α＝cos α. ①
又sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝.
又α在第三象限，
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
三角齐次式求值
[例2]　设tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α－3sin αcos α＋5cos2α.
[思路点拨]　由正切求弦函数值，可考虑利用商数关系．
由于tan α＝2，故cos α≠0，可同除cos α整体求值．
[边听边记]　法一：∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α.
(1)＝
＝＝＝3.
(2)2sin2α－3sin αcos α＋5cos2α
＝2(2cos α)2－6cos α·cos α＋5cos2α
＝7cos2α＝
＝＝＝.
法二：∵tan α＝2≠0，
∴(1)
＝
＝
＝＝＝3.
(2)2sin2α－3sin αcos α＋5cos2α
＝
＝
＝＝.
借
题
发
挥
1.已知tan α的值，求关于sin α，cos α的齐次式的值问题，可转化为关于tan α的表达式，整体代入求值．
2.已知tan α的值，求形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的值，注意将分母的1化为sin2α＋cos2α，从而化成分式结构同除cos2α可求.
[变式之作]
　在本例条件下，如何求sin αcos α的值．
解：sin αcos α＝＝＝.
化简与证明问题
[例3]　(1)化简：；
(2)求证：＝.
[思路点拨]　(1)利用“1”的代换可化简．
(2)可从左→右或右→左去证明．
[边听边记]　(1)原式
＝
＝
＝
＝1.
(2)证明：左边＝
＝，右边＝＝，
∴左边＝右边，∴等式成立.
借题
发挥
利用同角三角函数关系进行化简与证明要注意三角变换的使用技巧，如“1”的代换，“切化弦”、“弦化切”等.
2．化简：
＋ .
解：原式＝ ＋ 
＝＋.
∵α∈，∴∈.
∴cos－sin>0，sin＋cos>0，
∴上式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
利用sin α±cos α与sin α，cos α的关系解题
[例4]　已知x是第三象限角，且cos x－sin x＝.
(1)求cos x＋sin x的值；
(2)求2sin2x－sin xcos x＋cos2x的值．
[思路点拨]　(1)(cos x－sin x)2→sin xcos x→(cos x＋sin x)2→求得答案．
(2)联立方程组求得sin x，cos x→代值求得答案．
[边听边记]　(1)∵(cos x－sin x)2＝1－2sin xcos x＝，
∴2sin xcos x＝，
∴(cos x＋sin x)2＝1＋2sin xcos x＝.
∵x是第三象限角，∴cos x＋sin x＝－.
(2)由(1)，得
解得
∴2sin2x－sin xcos x＋cos2x＝22－＋2＝.
借
题
发
挥
已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有：
①(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；
②(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；
③(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
④(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α.
3．已知sin θ＋cos θ＝，且0<θ<π，求sin θ－cos θ的值．
解：∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝，解得sin θcos θ＝－.
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝.
∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝.
1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：∵α是第四象限角，∴sin α＝－＝－ ＝－.
答案：B
2．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：∵tan α＝－，∴＝－.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
联立两式，解得sin α＝±.
又∵α是第四象限角，∴sin α＝－.
答案：D
3．已知tan α＝－，则的值是(　　)
A. B．3
C．－ D．－3
解析：原式＝＝＝.
答案：A
4．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
解析：由＝5得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，
即sin α＝2cos α，∴tan α＝2，
∴sin2α－sin αcos α＝＝＝＝.
答案：A
5．若tan α＝3，则(sin α＋cos α)2的值为________．
解析：∵tan α＝3，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α
＝1＋＝1＋＝1＋＝.
答案：
6．化简tan α·，其中α是第二象限角．
解：∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.
故tan α·＝tan α·
＝tan α·＝·
＝·＝－1.
利用三角函数关系解题时常用到的基本思想有哪些？
“1”的代换思想，即为了解题的需要可以将题中的“1”用sin2α＋cos2α代替，同时要灵活运用sin2α＋cos2α＝1的变形如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，＝，＝等．
整体求值思想，即将所求式适当变形后整体代入求值，如已知tan α求关于sin α，cos α齐次式的值时就用此种思想．
还有“切化弦”的基本思想也常用，在利用商数关系时，也要注意它的一些常用变形，如sin α＝cos αtan α，cos2α＝，sin2α＝等．
一、选择题
1．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A的值为(　　)
A.　　　　　 　　 B．－
C. D．－
解析：因为A为△ABC的内角，且sin Acos A＝>0，
所以A为锐角，所以sin A＋cos A>0.
又1＋2sin Acos A＝1＋，即(sin A＋cos A)2＝，
所以sin A＋cos A＝.
答案：A
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α＝(　　)
A．－ B．－
C. D．
解析：∵sin α＝，∴cos2α＝1－sin2α＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝sin2α－cos2α＝－＝－.
答案：A
3．若sin α＋sin2α＝1，则cos2α＋cos4α＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由sin α＋sin2α＝1，得sin α＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝sin α＋sin2α＝1.
答案：B
4．已知sin αcos α＝，且α∈，则sin α＋cos α的值为(　　)
A. B．－
C．± D．
解析：∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，且α∈，
∴sin α＋cos α>0，即sin α＋cos α＝.
答案：A
二、填空题
5．已知sin α＝－，且α∈，则tan α＝________.
解析：由α∈，得cos α<0，又sin α＝－，
所以cos α＝－ ＝－，
所以tan α＝＝.
答案：
6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为________．
解析：由题意可知角α的终边在第二、四象限，
原式＝＋. ①
当角α的终边落在第二象限时，
①式＝＋＝0；
当角α的终边落在第四象限时，
①式＝＋＝0.
综上所述，原式的值为0.
三、解答题
7．如果sin α·cos α>0，且sin αtan α>0，
化简：cos·＋cos·.
解：由sin αtan α>0，得>0，即cos α>0.
又∵sin α·cos α>0，∴sin α>0，
∴2kπ<α<2kπ＋(k∈Z)，
即kπ<∴当k为偶数时，位于第一象限；
当k为奇数时，位于第三象限．
∴原式＝
cos ·＋cos·
＝cos ·＋cos·＝.
当在第一象限时，原式＝2；
当在第三象限时，原式＝－2.
8．设sin θ，cos θ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，且<θ<2π，求m及θ的值．
解：原方程变形，得[2x－(2m－1)](2x－1)＝0.
∴x1＝，x2＝.
又∵<θ<2π，
∴sin θ<0，cos θ>0，
∴cos θ＝，sin θ＝<0，∴m<.
由cos θ＝，得θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴2＋＝1，即2m2－2m－1＝0.
解得m＝或m＝(舍去)．
故θ＝，m＝.