2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.2.3 诱导公式

3．2.3　诱 导 公 式
第一课时　kπ±α(k∈Z)的三角函数诱导公式
kπ±α(k∈Z)的三角函数诱导公式
对于任意角α，
(1)2kπ＋α(k∈Z)与α的三角函数之间的关系是什么？
(2)角π－α，π＋α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
(3)角－α的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？
诱导公式
序号
角的终边间关系
公式
1
终边相同
sin(α＋2kπ)＝sin_α(k∈Z)
cos(α＋2kπ)＝cos_α(k∈Z)
tan(α＋2kπ)＝tan_α(k∈Z)
2
终边关于x轴对称
sin(－α)＝－sin_α
cos(－α)＝cos_α
tan(－α)＝－tan_α
3
终边关于原点对称
sin(π＋α)＝－sin_α
cos(π＋α)＝－cos_α
tan(π＋α)＝tan_α
4
终边关于y轴对称
sin(π－α)＝sin_α
cos(π－α)＝－cos_α
tan(π－α)＝－tan_α
1．以上诱导公式中角α是任意角吗？有何记忆规律？
[提示]　诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．将α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
2．已知cos(π＋θ)＝，则cos θ＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
[提示]　B
三角函数求值问题
[例1]　求下列三角函数值：
(1)sin；(2)cos；(3)tan；(4)cos(－945°)．
[思路点拨]　利用诱导公式进行化简求值．
[边听边记]　(1)sin＝sin＝sin
＝sin＝－sin＝－.
(2)cos＝cos ＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan＝tan＝tan
＝tan＝tan＝tan
＝－tan＝－.
(4)cos(－945°)＝cos 945°＝cos(2×360°＋225°)
＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－.
借
题
发
挥
此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角的三角函数．要准确记忆特殊角的三角函数值.
1．求下列各式的值：
(1)sin·cos·tan；
(2)sin(－60°)＋cos 225°＋tan 135°.
解：(1)原式＝sin·cos·tan
＝sin·cos·tan
＝sin·cos·tan
＝··tan
＝··1
＝.
(2)原式＝－sin 60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－－cos 45°－tan 45°
＝－－－1
＝－.
三角函数式的化简问题
[例2]　化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
(2).
[思路点拨]　先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关系式求解．
[边听边记]　(1)原式＝(－sin α)·cos(π＋α)·tan α＝－sin α·(－cos α)·＝sin2α.
(2)原式＝
＝＝1.
借题
发挥
利用诱导公式化简时也要本着负角变正角、大角变小角的转化原则灵活选择诱导公式，同时要注意符号变化.
2．已知cos＝，求cos－sin2α－的值．
解：∵cos－sin2
＝cos－sin2
＝－cos－sin2
＝－cos－1＋cos2
＝－－1＋＝－.
诱导公式的其他应用
[例3]　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝3cos x－1；
(2)g(x)＝x2sin x；
(3)h(x)＝sin2(π＋x)＋cos(π－x)cos(－x)－3.
[思路点拨]　(1)判断函数的定义域是否关于原点对称．
(2)通过判断f(－x)与f(x)的关系得出结论．
[边听边记]　(1)∵x∈R，
又f(－x)＝3cos(－x)－1＝3cos x－1＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，
又g(－x)＝(－x)2sin(－x)＝－x2sin x＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
(3)∵x∈R，h(x)＝sin2x－cos2x－3，
又h(－x)＝sin2x－cos2x－3＝h(x)，
∴h(x)为偶函数．
3．函数y＝cos(sin x)的奇偶性为________．
解析：令f(x)＝cos(sin x)，
∴f(－x)＝cos[sin(－x)]＝cos(－sin x)
＝cos(sin x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
答案：偶函数
1．sin 210°等于(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－.
答案：D
2．sin的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：sin＝sin＝sin＝.
答案：B
3．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是(　　)
A. B．－
C．－ D．
解析：∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，∴sin(4π－α)＝－sin α＝－.
答案：B
4．若tan(5π＋α)＝m，则的值为________．
解析：∵tan(5π＋α)＝m，∴tan α＝m.
原式＝＝＝＝＝.
答案：
5.＝________.
解析：原式＝＝－1.
答案：－1
6．化简：cos 315°＋sin(－30°)＋sin 225°＋cos 480°.
解：原式＝cos(360°－45°)－sin 30°＋sin(180°＋45°)＋cos(360°＋120°)
＝cos(－45°)－－sin 45°＋cos 120°＝cos 45°－－＋cos(180°－60°)
＝－－－cos 60°＝－1.
通过这节课的学习，你对诱导公式有了哪些认识？
应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．
使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现kπ±α的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．
一、选择题
1．已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：∵cos(π＋α)＝－，∴cos α＝，
又α为第四象限角，∴sin α＝－，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－.
答案：B
2．化简sin 600°的值是(　　)
A．0.5 B．－
C. D．－0.5
解析：sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
答案：B
3．已知cos(π－α)＝－，且α是第四象限角，则sin α＝(　　)
A．－ B．
C．± D．
解析：∵cos(π－α)＝－cos α＝－，∴cos α＝.
又∵α是第四象限角，∴sin α＝－＝－.
答案：A
4．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，x∈R，且f(2 017)＝3，则f(2 018)的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：∵f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＋4＝3，
∴asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β)＝－1，
∴f(2 018)＝asin(2 017π＋α＋π)＋bcos(2 017π＋β＋π)＋4
＝－asin(2 017π＋α)－bcos(2 017π＋β)＋4＝1＋4＝5.
答案：C
二、填空题
5．已知tan α＝，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cos(π－α)＝________.
解析：由且α为第一象限角，解得
∴sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sin α－cos α＝－.
答案：－
6．已知sin α＝－，且α是第四象限角，则tan α[cos(3π－α)－sin(5π＋α)]＝________.
解析：tan α[cos(3π－α)－sin(5π＋α)]
＝tan α[cos(π－α)－sin(π＋α)]
＝tan α(－cos α＋sin α)
＝tan αsin α－tan αcos α
＝sin α(tan α－1)．
∵sin α＝－，α是第四象限角，
∴tan α＝＝－，
∴原式＝×＝.
答案：
三、解答题
7．设f(x)＝.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求f的值．
解：(1)∵f(x)＝＝＝sin x.
又∵2＋cos x≠0，∴x∈R，
由f(－x)＝－f(x)知f(x)为奇函数．
(2)f＝sin＝sin＝－sin＝－.
8．已知＝3＋2，
求：[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解：由＝3＋2，
得(4＋2)tan θ＝2＋2，
所以tan θ＝＝，
故[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·
＝(cos2θ＋sin θcos θ＋2sin2θ)·
＝1＋tan θ＋2tan2θ
＝1＋＋2×2＝2＋.
第二课时　±α的三角函数诱导公式
±α的三角函数诱导公式
角α与角－α在直角坐标系里有怎样的关系呢？可在α终边上取一点，再取其关于直线y＝x的对称点，这点必在角－α的终边上，它们之间的各三角函数有着怎样的关系？
诱导公式
序号
角的终边间关系
公式
1
角的终边关于y＝x对称
sin＝cos_α
cos＝sin_α
2
＋α的终边与－α的终边关于y轴对称
sin＝cos_α
cos＝－sin_α
1．根据上面的两组诱导公式，你能得出tan，tan与tan α之间的关系吗？
[提示]　tan·tan α＝1，tan·tan α＝－1.
2．若α∈，sin＝，则cos＝(　　)
A．－　　　　　　　　　 B.
C．－ D．
[提示]　D
求值问题
[例1]　已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)－sin(15°－α)的值．
[边听边记]　cos(105°－α)－sin(15°－α)
＝cos[180°－(75°＋α)]－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－.
借
题
发
挥
1.利用诱导公式化简时一定要注意符号的准确性及名称的变化．
2.求值时整体把握角与角之间的相互关系及恒等变形，也是常用的解题策略.
1．若sin(180°＋α)＝－，α∈(0°，90°)．
求.
解：由sin(180°＋α)＝－，α∈(0°，90°)，
得sin α＝，cos α＝，
∴原式＝
＝＝＝2.
化简问题
[例2]　.
[边听边记]　原式＝
＝
＝
＝－＝－tan α.
借
题
发
挥
(1)利用诱导公式化简常用策略是“异角化同角，异名化同名”；
(2)注意与其他知识的联系，如sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．化简：.
解：原式＝
＝＝－tan α.
证明问题
[例3]　求证：＝－tan α.
[思路点拨]　解答本题可直接把左边利用诱导公式进行化简推出右边．
[边听边记]　左边＝

＝
＝
＝＝－＝－tan α＝右边．
∴原等式成立.
借
题
发
挥
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活运用，其主要思路是利用诱导公式化同角后，利用同角三角函数关系进行化简证明，可从左边推得右边，也可从右边推得左边.
3．求证：＋＝.
证明：左边＝＋
＝＋
＝
＝＝＝右边．
所以原式成立．
1．已知sin＝，则cos的值等于(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：∵＋＝，
∴cos＝sin＝－sin＝－.
答案：B
2．如果sin(π－α)＝－，那么cos的值为(　　)
A. B．－
C. D．
解析：∵sin(π－α)＝－，∴sin α＝－，
∴cos＝－cos＝－sin α＝.
答案：A
3．已知cos＝，且|φ|<，则tan φ等于(　　)
A．－　　 　 B.　　　
C．－　 　　 D.
解析：由cos＝－sin φ＝，得sin φ＝－.
又|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－.
答案：C
4．已知sin(π＋α)＝－2sin，则＝________.
解：∵sin(π＋α)＝－2sin，∴sin α＝2cos α，∴tan α＝2，∴原式＝＝3.
答案：3
5．化简：1＋cossintan(π＋α)＝________.
解析：原式＝1＋(－sin α)cos αtan α＝1－sin2α＝cos2α.
答案：cos2α
6．如果cos α＝，且α是第四象限的角，求cos.
解：∵α为第四象限的角，
∴sin α＝－ ＝－，
∴cos＝cos＝cos＝sin α＝－.
对于这两节课学习的六个诱导公式可否归纳为一个统一形式？统一形式后有何 记忆技巧？
对于这六个诱导公式可以统一概括为k·±α(k∈Z)形式，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值.
统一成“k·±α”(k∈Z)后记忆口诀可为“奇变偶不变，符号看象限”，公式中把“α”看作锐角，实际上角α是任意角．
一、选择题
1．已知sin α＝，α∈，则sin的值为(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－
C. D．±
解析：∵α∈，∴sin＝cos α＝－＝－ ＝－.
答案：B
2．已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－
C. D．
解析：sin＝sin＝sin＝cos α＝.
答案：C
3．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cos C B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cos＝sin B D．sin＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin C，故A、B错．
∵A＋C＝π－B，∴＝，
∴cos＝cos＝sin，故C错．
∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．
答案：D
4．化简cos＋sin x＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：cos＋sin x＝－sin x＋sin x＝0.
答案：A
二、填空题
5．若sin＝，则cos＝________.
解析：∵α＋－＝，
∴cos＝cos＝－sin＝－.
答案：－
6．已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为________．
解析：＝＝
＝＝＝tan α.
∵角α的终边过(－4,3)，∴tan α＝－，
故原式＝－.
答案：－
三、解答题
7．求证：＝.
证明：∵左边＝
＝＝，
右边＝＝＝＝＝.
∴左边＝右边，∴等式成立．
8．是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos， cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件，
则由题可得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴cos2α＝，∴cos α＝±.
∵α∈，∴cos α＝.
由cos α＝，cos α＝cos β，得cos β＝.
∵β∈(0，π)，∴β＝.
∴sin β＝，结合①可知sin α＝，则α＝.
故存在α＝，β＝满足条件．