2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质

3．3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质
第一课时　正弦曲线与余弦曲线
正弦函数与余弦函数图象
1．对于正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x，自变量x与其函数值y，在其对应形式上是“一对一”还是“多对一”？
2．我们知道，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线，你能用描点法画出正弦函数和余弦函数在区间[0,2π]内的图象吗？
1．正弦曲线与余弦曲线
(1)正弦曲线：正弦函数的图象，如图：
(2)余弦曲线：余弦函数的图象，如图：
2．五点法作图
(1)“五点法”作正弦函数图象的五个点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)“五点法”作余弦函数图象的五个点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
1．下列函数图象相同的是(　　)
A．y＝cos x与y＝cos(π＋x)
B．y＝sin与y＝sin
C．y＝sin x与y＝sin(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x
[提示]　D
2．下列说法不正确的是(　　)
A．y＝sin x的图象与y＝cos x的图象形状完全一样，只是在坐标系中的位置不同
B．y＝sin x的图象介于y＝±1之间
C．y＝cos x(0≤x≤2π)的五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)
D．y＝sin x与y＝cos x的图象与x轴都有无数个公共点
[提示]　C
正、余弦函数图象的作法
[例1]　用五点法画出函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
[思路点拨]　解答本题可先在[0,2π]上找出五个关键点，然后用平滑的曲线连接即可．
[边听边记]　按5个关键点列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
1＋sin x
1
2
1
0
1
描点，将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图．
借
题
发
挥
作正弦、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法.
1．作出下列函数的简图：
y＝－1－cos x(0≤x≤2π)．
解：利用“五点法”作图．
列表：
x
0

π

2π
cos x
1
0
－1
0
1
－1－cos x
－2
－1
0
－1
－2
描点作图，如图．
[例2]　作出函数y＝的图象．
[思路点拨]　解答本题可首先将函数解析式变形，化为最简形式，然后作出函数图象．
[边听边记]　y＝＝|sin x|，
即y＝(k∈Z)．
其图象如图所示．
借
题
发
挥
画y＝|sin x|的图象可分两步完成：第一步先画出y＝sin x，x∈[0，π]和y＝－sin x， x∈[π，2π]上的图象；第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线.
2．作出函数y＝sin |x|的图象．
解：y＝sin |x|＝
其图象如图所示．
图象的应用
[例3]　画出正弦函数y＝sin x，(x∈R)的简图，并根据图象写出y≥时x的集合．
[思路点拨]　先作简图，然后观察在哪些区域能使不等式成立．
[边听边记]　用“五点法”作出y＝sin x的简图．
过点作x轴的平行线，从图象可看出它在区间[0,2π]上与正弦曲线交于，点，在[0,2π]区间内，y≥时x的集合为，
当x∈R时，若y≥，则x的集合为.
借
题
发
挥
使用单位圆中的三角函数线与三角函数图象，都可求得满足某些条件的角的范围，可先在长度为[0,2π]的区间上找到适合不等式的解，再写出整个定义域上的解集.
3．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
解：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
其图象如图所示．
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，
根据图象，可得实数k的取值范围是(1,3)．
1．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象与函数y＝－的图象的交点个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
答案：B
2．用五点法作函数y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是(　　)
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析：分别令2x＝0，，π，，2π，解得x＝0，，，，π.
答案：B
3．图中的曲线对应的函数解析式是(　　)
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
答案：C
4．用“五点法”作函数y＝sin x－1，x∈[0,2π]的图象时， 应取的五个关键点的坐标是________．
答案：(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1)
5．在(0,2π)内，使sin x＞|cos x|的x的集合是________．
解析：在(0,2π)内，画出函数y＝sin x与y＝|cos x|的图象，如图，由图象可得x∈的时候y＝sin x的图象在y＝|cos x|图象的上方，即sin x＞|cos x|.
答案：
6．判断方程x2－cos x＝0的根的个数．
解：设f(x)＝x2，g(x)＝cos x，在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图象，如图所示．
由图知f(x)和g(x)的图象有两个交点，则方程x2－cos x＝0有两个根．
作正余弦函数的图象有几种方法？各有什么优缺点？
可用描点法，即按照①列表；②描点；③连线的顺序作出正、余弦函数的图象．该种方法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此做出的图象不够精确．
利用三角函数线，即在单位圆中用正弦线或余弦线作出正、余弦图象，该方法作图较精确，但画图过程较繁琐．
五点法，如观察正弦函数的图象可以看出，下面五个点在确定正弦函数图象形状时起着关键作用．
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
这五点描出后，正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图．
一、选择题
1．函数y＝－cos x的图象与余弦函数y＝cos x的图象(　　)
A．关于x轴对称　　 B．关于原点、y轴对称
C．关于原点、x轴对称 D．关于原点、坐标轴对称
答案：C
2．函数y＝cos x·|tan x|的图象是(　　)
解析：当0≤x＜时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；当＜x≤π时，y＝cos x·|tan x|＝－sin x；当π＜x＜时，y＝cos x·|tan x|＝sin x，故其图象为C.
答案：C
3．以下对正弦函数y＝sin x的图象描述不正确的是(　　)
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同
B．与x轴有无数个交点
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
解析：函数y＝sin x的图象关于原点中心对称，并不关于x轴对称．
答案：C
4．在[0,2π]上，满足sin x≤－的x的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
解析：在[0,2π]上作出y＝sin x和y＝－的图象(如图所示)，
由图知sin x≤－时，x的取值范围是.
答案：B
二、填空题
5．不等式cos x>的解集是_________________________________．
答案：
6．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
答案：
三、解答题
7．求函数y＝＋lg cos x的定义域．
解：由题意得解不等式组得

故原函数的定义域为∪∪，6.
8．用“五点法”作出函数y＝2sin x＋1，x∈[－π，π]的图象．
解：列表：
x
－π
－
0

π
y＝2sin x＋1
1
－1
1
3
1
描点、连线得函数y＝2sin x＋1，x∈[－π，π]的图象，如图所示．
第二课时　正、余弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质
结合正、余弦函数的图象，它们的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性怎样？
正、余弦函数的性质
函数名称
图象与性质
性质分类
y＝sin x
y＝cos x
图象
相同处
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
不同处
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在2kπ－，2kπ＋(k∈Z)上递增；在2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)上递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ－(k∈Z)时，
ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，
ymin＝－1
对
称
性
对称轴方程
x＝kπ＋(k∈Z)
x＝kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ，0)，k∈Z
，k∈Z
1．下列函数中是偶函数的是(　　)
A．y＝sin 2x　　　　 B．y＝－sin x
C．y＝sin |x| D．y＝sin x＋1
[提示]　C
2．下列四个命题中，假命题是(　　)
A．y＝cos x在(k∈Z)上是减函数
B．y＝cos x在[－π，0]上是增函数
C．y＝cos x在第一象限是减函数
D．y＝sin x和y＝cos x在上都是增函数
[提示]　C
奇偶性的判断
[例1]　判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin 2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝＋.
[思路点拨]　(1)先求定义域看是否关于原点对称．
(2)判断f(－x)与f(x)的关系．
[边听边记]　(1)显然x∈R，
f(－x)＝sin(－2x)＝－sin 2x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)∵x∈R，f(x)＝sin＝－cos，
∴f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
∴函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)函数应满足1＋sin x≠0，
∴函数定义域为，
显然定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．
(4)由得cos x＝1，
∴x＝2kπ(k∈Z)，
此时y＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．
借题
发挥
判断函数的奇偶性一定要先判断定义域是否关于原点对称，尤其是三角函数的奇偶性问题多是先化简．化简时的条件是定义域不变，然后判断f(－x)与f(x)的关系.
1．函数f(x)＝的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.
答案：A
三角函数的单调区间
[例2]　求函数y＝cos的单调区间．
[思路点拨]　将－2x看作一个整体，结合y＝cos x的单调性求解．
[边听边记]　因为cos＝cos.
设u＝2x－，由于cos u在[2kπ－π，2kπ]上是增函数，在[2kπ，2kπ＋π]上是减函数，而u＝2x－在(－∞，＋∞)上是增函数，所以函数y＝cos的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：
2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因此，函数y＝cos的单调递增区间、单调递减区间分别为(k∈Z)， (k∈Z).
借题
发挥
求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正的，再利用整体代换，即把ωx＋φ代入相应不等式中，求解相应的变量x的取值范围.
2．求y＝2sin的单调区间．
解：y＝2sin化为y＝－2sin.
因为y＝sin u(u∈R)的单调递增、单调递减区间分别为(k∈Z)，(k∈Z)，
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤x≤2kπ＋，(k∈Z)，
所以y＝－2sin的单调递减区间为(k∈Z)；
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以y＝－2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
综上所述，函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)．
三角函数的值域问题
[例3]　求下列函数的值域：
(1)y＝cos，x∈；
(2)y＝cos2x－4cos x＋5.
[边听边记]　(1)由y＝cos，x∈可得
x＋∈，函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.
(2)令t＝cos x，则－1≤t≤1.
原函数y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，
当t＝－1，函数取得最大值10；
t＝1时，函数取得最小值2.
所以函数的值域为[2,10].
借
题
发
挥
(1)求有关y＝Asin(ωx＋φ)＋b，x∈R的最值或值域这类题目的关键在于充分利用好正弦函数y＝sin x的有界性，即|sin x|≤1.
(2)形如y＝psin2x＋qsin x＋r(p≠0)形式的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题.
3．若函数y＝a－bsin x(b>0)的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin bx的最值和最小正周期．
解：∵y＝a－bsin x(b>0)，
∴函数的最大值为a＋b＝，①
函数的最小值为a－b＝－，②
由①②可解得a＝，b＝1.
∴函数y＝－4asin bx＝－2sin x.
其最大值为2，最小值为－2，最小正周期T＝2π.
1．函数y＝lg sin的定义域是(　　)
A.(k∈Z)　 B．(4kπ，4kπ＋π)(k∈Z)
C．4kπ，4kπ＋(k∈Z) D．(4kπ，4kπ＋2π)(k∈Z)
解析：由sin>0，结合图象可知：∈(2kπ，2kπ＋π)，
∴x∈(4kπ，4kπ＋2π)(k∈Z)．
答案：D
2．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是(　　)
A．－ B．
C．－1 D．1
解析：y＝－2cos2x＋2cos x－1＝－22－≤－.
答案：A
3．已知函数f(x)＝2sin－1(x∈R)，则f(x)在区间上的最大值与最小值分别为(　　)
A．1，－2　　　　　　　 B．2，－1
C．1，－1 D．2，－2
解析：∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
结合y＝sin x的图象，知y＝sin的最大值、最小值分别为1，－，
∴y＝2sin－1的最大值与最小值分别是1，－2.
答案：A
4．函数y＝sin的单调递减区间为________．
解析：∵y＝sin＝－sin，∴求原函数的单调递减区间转化为求y＝sin的增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．故原函数的单调递减区间为kπ－，kπ＋(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
5．函数y＝lg(36－x2)＋的定义域为________．
解析：由题意，知
解得
取k＝－1,0,1，可分别得到x∈或x∈或x∈.
即所求的定义域为∪∪.
答案：∪∪
6．已知函数f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)解不等式：f≥；
(3)求函数f(x)在区间上的值域．
解：(1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
∴函数图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由f＝sin 2x≥，
得2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
故不等式的解集是.
(3)∵x∈，∴2x－∈.
∵f(x)＝sin在区间上单调递增，在区间上单调递减．
∴当x＝时，f(x)取最大值1.
又∵f＝－＜f＝，
当x＝－时，f(x)取最小值－.
∴函数f(x)在区间上的值域为.
如何求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω≠0)的单调区间？y＝Asin(ωx＋φ)， y＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性由φ决定，如何判断？
求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A，ω的符号，然后结合u＝ωx＋φ与y＝Asin u或y＝Acos u的单调性整体代入y＝sin x或y＝cos x的相应的单调性区间中，解出范围即可．注意不要忘记写成区间形式，不要漏写k∈Z.
y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性判断，可以利用定义判断，也可以借助于诱导公式判断．
当φ＝kπ(k∈Z)时，y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，
φ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
当φ＝kπ(k∈Z)时，y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，
φ＝kπ＋(k∈Z)时，y＝Acos(ωx＋φ)为奇函数．
一、选择题
1．下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°解析：cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin 12°.
sin 80°>sin 12°>sin 11°，
即cos 10°>sin 168°>sin 11°.
答案：C
2．函数y＝sin的一个对称中心为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．
解析：令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.
观察各选项，取k＝0，则x＝，
∴y＝sin的一个对称中心为.
答案：B
3．函数y＝sin的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝－　　　　　　 B．x＝－
C．x＝ D．x＝
解析：y＝sin＝sin＝cos 2x的对称方程为2x＝kπ(k∈Z)，
即x＝(k∈Z)．令k＝－1，得x＝－.
答案：A
4．关于f(x)＝3sin有以下命题，其中正确的个数为(　　)
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z)；
②f(x)图象与g(x)＝3cos图象相同；
③f(x)在区间上是减函数；
④f(x)图象关于点对称．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①∵f(x)＝3sin，f(x1)＝f(x2)＝0，∴x1－x2＝(k∈Z)，故①错误；
②∵cos＝sin＝sin，故②正确；
③当x∈时，2x＋∈，∴f(x)在区间上是减函数，故③正确；
④当x＝－时，2x＋＝0，∴f＝0，故④正确．
答案：D
二、填空题
5．已知函数y＝cos x与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
解析：由题意可得两个函数图象有一个交点坐标是，所以sin＝，
又0≤φ<π，解得φ＝.
答案：
6．函数y＝的最大值为________．
解析：由y＝，得y(2－cos x)＝2＋cos x，
即cos x＝(y≠－1)，
因为－1≤cos x≤1，
所以－1≤≤1，
解得≤y≤3，
所以函数y＝的最大值为3.
答案：3
三、解答题
7．是否存在实数m，使得f(x)＝－cos2x＋2mcos x＋m2＋4m－3的最大值为3m？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：由题意，得f(x)＝－(cos x－m)2＋2m2＋4m－3.
假设存在满足条件的m.
当m≥1时，f(x)max＝f(x)|cos x＝1＝m2＋6m－4，
则m2＋6m－4＝3m，解得m＝1或m＝－4(舍去)；
当m≤－1时，f(x)max＝f(x)|cos x＝－1＝m2＋2m－4，
则m2＋2m－4＝3m，
解得m＝或m＝(舍去)；
当－1解得m＝－(舍去)或m＝1(舍去)．
综上所述，当m＝1或m＝时，f(x)的最大值为3m.
8．求函数y＝logsin的单调递增区间．
解：由对数函数的定义域和复合函数的单调性，
可知
解得2kπ＋≤2x＋＜2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，
故所求函数的单调递增区间为(k∈Z)．