2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.3.2 正切函数的图象与性质

3．3.2　正切函数的图象与性质
正切函数的图象与性质
1．前面我们利用正弦线作出了正弦函数的图象，你能仿照正弦函数图象的作法，利用正切线作出正切函数的图象吗？
2．结合你得出的正切函数的图象联想比较正余弦的奇偶性、单调性问题，正切函数的奇偶性、单调性如何？
函数y＝tan x的性质与图象见下表：
y＝tan x
图象
值域
R
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)上都是增函数
1．y＝tan的定义域为________．
[提示]　
2．y＝tan x，x∈的值域为________．
[提示]　[0,1]
正切函数的图象及应用
[例1]　解不等式：tan 2x≤－1.
[思路点拨]　作出y＝tan 2x的图象观察．
[边听边记]　作出函数y＝tan 2x的图象如图所示，
因为tan＝－1，
所以不等式tan 2x≤－1的解集由不等式kπ－<2x≤kπ－(k∈Z)确定．
解得－所以不等式tan 2x≤－1的解集为.
借题发挥
利用正切函数的图象解与正切函数有关的不等式，其应用较多，如直线的斜率与倾斜角的关系中，斜率的范围与倾斜角的范围互求问题是考查的热点内容.
利用图象求函数y＝的定义域．
解：要使函数y＝有意义，则tan x－≥0，即tan x≥ .
由函数y＝tan x的图象可知，所求定义域为(k∈Z)．
正切函数的单调性及应用
[例2]　(1)求函数y＝tan的定义域和单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
[思路点拨]　(1)将看作一个整体．
(2)将1弧度、2弧度、3弧度化归到同一单调区间内，利用单调性判断．
[边听边记]　(1)要使函数y＝tan有意义，自变量x应满足2x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋(k∈Z)．
所以函数的定义域是.
由－＋kπ<2x＋<＋kπ(k∈Z)，
解得－＋π因此，函数的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0.
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2借
题
发
挥
求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ[变式之作]
　求函数y＝tan的单调区间．
解：y＝tan＝－tan，
由kπ－<x－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是(k∈Z)，无单调递增区间．
1．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D．
解析：由x－≠kπ＋(k∈Z)得x≠kπ＋(k∈Z)．
答案：D
2．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
解析：∵b＝sin 35°，∴b>a.
∵b－c＝cos 55°－＝＝
＝<0，
∴bb>a.
答案：C
3．函数y＝tan(sin x)的值域为(　　)
A. B．
C．[－tan 1，tan 1] D．以上都不对
解析：∵sin x∈[－1,1]，y＝tan x在[－1,1]上单调递增，
∴其值域为[－tan 1，tan 1]．
答案：C
4．满足tan x>1，x∈(0，π)的x的取值范围为(　　)
A. B．
C. D．
解析：结合正切函数的图象及单调性，得x的取值范围为.
答案：B
5．函数y＝3tan的对称中心是________．
解析：∵y＝tan x的对称中心为(k∈Z)，
∴令2x＋＝(k∈Z)，解得x＝－＋(k∈Z)，
∴函数y＝3tan的对称中心是(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
6．比较tan与tan的大小．
解：tan＝－tan＝－tan＝tan.
tan＝－tanπ＝－tan＝tan.
∵0<<<，且y＝tan x在上是增函数．
∴tantan.
结合正切曲线，你能总结一下它有哪些直观特征？它的对称性怎样？
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的，每支曲线都是上、下无限伸展的，但始终与直线x＝kπ＋(k∈Z)不相交．
任意一条平行于x轴的直线及x轴，与相邻两支曲线的交点的距离都是π(即一个周期长)．
由正切曲线知，它不是轴对称图形，只有对称中心，一是关于正切曲线与x轴的每一个交点对称，另一个是关于直线x＝kπ＋与x轴的每一个交点对称，即对称中心为(k∈Z)．
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．正切函数在整个定义域内是增函数
B．正弦函数在整个定义域内是增函数
C．函数y＝3tan的图象关于y轴对称
D．若x是第二象限角，则y＝sin x是增函数，y＝cos x是减函数
解析：y＝3tan＝3tan|x|显然是偶函数，故其图象关于y轴对称．
答案：C
2．函数y＝的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：要使函数有意义，只要logtan x≥0，即0＜tan x≤1.
由正切函数的图象知，kπ＜x≤kπ＋，k∈Z.
答案：C
3．函数y＝tan(cos x)的值域是(　　)
A.　　　　　　　B.
C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不对
解析：∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1,1]上为增函数，
∴tan(－1)≤tan x≤tan 1.
即－tan 1≤tan x≤tan 1.
答案：C
4．函数f(x)＝tan的单调区间为(　　)
A.(k∈Z)
B．(kπ，(k＋1)π)(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：由kπ－得kπ－答案：D
二、填空题
5．不等式tan≥－1的解集是________．
解析：由kπ－≤2x－答案：(k∈Z)
6．不求值，比较下列每组中两个正切值的大小，用不等号“<”、“>”连接起来．
(1)tan________tan；
(2)tan 126°________tan 496°.
解析：(1)∵y＝tan x在上是增函数，且－<－<－<，
∴tan(2)∵tan 496°＝tan 136°，
y＝tan x在(90°，270°)上是增函数，270°>136°>126°>90°，
∴tan 136°>tan 126°，即tan 496°>tan 126°.
答案：(1)<　(2)<
三、解答题
7．根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合．
(1)1＋tan x≥0；
(2)tan x＋<0.
解：(1)∵1＋tan x≥0，∴tan x≥－1，
∴x∈(k∈Z)．
(2)∵tan x＋<0，∴tan x<－，
∴x∈(k∈Z)．
8．(1)求满足－＜tan x≤1的x的集合；
(2)求不等式tan≥－1的解集．
解：(1)根据正切函数的图象可知，
在上，满足－＜tan x≤1的x的取值范围是，
而正切函数的周期是kπ，k∈Z.
故满足－＜tan x≤1的x的集合是.
(2)由正切函数的图象，可知－＋kπ≤2x＋＜＋kπ，k∈Z，
解得－＋≤x＜＋，k∈Z，
所以原不等式的解集为.