2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 3.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质

3．4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
第一课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
三角函数的周期性
1．周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且f(x±T)＝f(x)．则这个函数y＝f(x)称为周期函数，T称为这个函数的一个周期．
2．最小正周期
(1)如果周期函数y＝f(x)的所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就称为这个函数的最小正周期．
(2)函数y＝sin x，y＝cos x的最小正周期是2π，函数y＝tan x的最小正周期是π.
函数y＝|cos x|的最小正周期是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．π D．2π
[提示]　C
y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1．在同一坐标系中作出函数y＝sin x，y＝sin，y＝sin的图象，并观察三个函数的图象间有何联系？
2．在同一坐标系中作出函数y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sinx的图象并观察三个函数的图象间有何联系？
3．在同一坐标系中作出函数y＝sin x，y＝2sin x，y＝sin x的图象，并观察这三个函数的图象间有何联系？
用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
1．函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
2．函数y＝sin ωx，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
3．函数y＝Asin x，x∈R(A>0且A≠1)的图象，可以看做是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当01．要得到y＝sinx的图象，只需将y＝sinx的图象如何变换就得到？
[提示]　将y＝sinx的图象各点的横坐标缩短为原来的可得．
2．将y＝sin 3x的图象向左平移个单位，得到的解析式是什么？
[提示]　y＝sin.
3．将y＝sin向左平移个单位得到的解析式为y＝sin 2x对吗？
[提示]　不对，应为y＝sin.
求周期
[例1]　求下列函数的周期：
(1)y＝sin 2x＋3；
(2)y＝2cos；
(3)y＝tan.
[思路点拨]　可以用定义求周期也可以用公式求解．
[边听边记]　法一：(1)∵sin 2(x＋π)＋3＝sin(2x＋2π)＋3＝sin 2x＋3，
∴由周期函数定义可知y＝sin 2x＋3的周期为π.
(2)∵2cos
＝2cos＝2cos
∴由周期函数定义可知，y＝2cos的周期为6π.
(3)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴y＝tan的周期是.
法二：(1)y＝sin 2x＋3的周期：T＝＝π.
(2)y＝2cos的周期：T＝＝6π.
(3)y＝tan的周期：T＝.
借题
发挥
(1)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期T＝.
(2)y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期T＝.
1．求下列函数的周期．
(1)y＝－2cos；
(2)y＝|sin 2x|.
(3)y＝|tan x|.
解：(1)y＝－2cos＝－2cos，
T＝＝4π.
(2)因为y＝sin 2x的周期是＝π，故y＝|sin 2x|的图象是将y＝sin 2x在x轴下方的部分折到x轴上方，并且保留x轴上方图象而得到的，因此周期T＝.
(3)函数y＝|tan x|的图象是将函数y＝tan x图象x轴下方的图象沿x轴翻折上去，其余不变，如图所示．
由图知函数y＝|tan x|的周期为π.
函数y＝sin ωx与y＝sin(ωx＋φ)图象间的关系
[例2]　(1)要得到函数y＝sin的图象．只需将y＝sin 2x的图象如何变化就能得到？
(2)函数y＝2sin 2x的图象怎样由y＝sinx的图象得到？
[思路点拨]　(1)根据变换前后确定平移的方向与单位．
(2)利用伸缩变换的规律可得．
[边听边记]　(1)∵y＝sin＝sin 2，
∴把y＝sin 2x的图象上所有点向右平移个单位，就得到y＝sin的图象．
(2)y＝2sin 2x的图象可以看作由y＝sinx图象上所有点横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin 2x的图象，再把该图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)而得到.
借
题
发
挥
已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：
(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A，ω及名称相同的结构．
(2)找到ωx?ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位．
(3)明确平移的方向.
[变式之作]
　本例(1)中问题若变为“由y＝sin的图象，只需向左平移个单位就得到y＝sin 2x的图象”，试判断其正确性．
解：由y＝sin向左平移个单位得到的为
y＝sin＝sin＝sin，
而不是y＝sin 2x，故不正确．
图象间伸缩关系的应用
[例3]　把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
[思路点拨]　解答本题可逆回去，从y＝2sin的图象出发实施相反的逆变换得到所求函数解析式．
借题
发挥
已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.
2．将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移个单位，得到的曲线与y＝sin x图象相同，则y＝f(x)的函数解析式为________．
解析：y＝sin xy＝siny＝sin＝cosx.
答案：f(x)＝cosx
1．将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　)
A．奇函数　　　　　　　 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：y＝sin 2xy＝sin＝sin＝－sin(π－2x)＝ －sin 2x.
由于－sin(－2x)＝sin 2x，所以是奇函数．
答案：A
2．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝sin D．y＝sin 4x
解析：由T＝，得y＝sin的周期为4π，y＝sin 2x的周期为π，y＝sin的周期为8π，y＝sin 4x的周期为.
答案：D
3．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　)
A．4π，－2 B．4π，2
C．π，2 D．π，－2
解析：T＝＝4π，A＝2.
答案：B
4．将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数________的图象．
解析：y＝sin的图象y＝sin的图象．
答案：y＝sin
5．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图象向左平移个单位后，关于y轴对称．
(1)求出函数f(x)的解析式；
(2)如果该函数表示一个振动量，指出其振幅、频率、及初相，并说明其图象是怎样由y＝sin x的图象得到的．
你能总结一下由y＝sin x经过变换得y＝Asin(ωx＋φ)的图象的思路吗？
一、选择题
1．把函数y＝cos x的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，然后将图象沿x轴负方向平移个单位长度，得到的图象对应的解析式为(　　)
A．y＝sin 2x　　　　　 B．y＝－sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos
解析：y＝cos x的图象上每一点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到y＝cos 2x的图象；再把y＝cos 2x的图象沿x轴负方向平移个单位长度，就得到y＝cos ＝cos＝－sin 2x的图象．
答案：B
2．若f(x)＝3sin(2x＋φ)＋a，对任意实数x都有f＝f，且f＝－4，则实数a的值为(　　)
A．－1 B．－7或－1
C．7或1 D．7或－7
解析：∵对任意实数x都有f＝f，
∴f(x)的图象关于直线x＝对称，即3sin2×＋φ＝±3，
∴f＝±3＋a＝－4，解得a＝－7或a＝－1.
答案：B
3．将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位后得到函数F(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数F(x)是奇函数，周期为
B．函数F(x)是偶函数，周期为
C．函数F(x)是奇函数，周期为π
D．函数F(x)是偶函数，周期为π
解析：平移后的函数为F(x)＝sin＝sin＝－cos 2x，
∴此函数为偶函数且周期为π.
答案：D
4．要得到函数y＝cos的图象，只需将y＝sin 的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：∵y＝cos＝sin＝sin＝sin，
∴需将y＝sin的图象向左移个单位．
答案：A
二、填空题
5．要得到y＝sin的图象，需将函数y＝cos 的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．
解析：cos ＝sin，将y＝sin的图象上所有的点向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin的图象．
令＋＝2kπ＋，∴φ＝4kπ－，k∈Z.
∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．
答案：
6．函数f(x)＝sin(ω＞0)，把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，所得图象的一条对称轴方程是x＝，则ω的最小值是________．
解析：函数f(x)＝sin(ω＞0)，把函数f(x)的图象向右平移个单位长度，
所得图象的解析式为g(x)＝sin＝sin.
∵所得图象的一条对称轴方程是x＝，∴－＝＝＋kπ(k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z，ω＞0)，∴ω的最小值为2.
答案：2
三、解答题
7．作出f(x)＝2sin的图象．并指出振幅、周期、初相、最大值与最小值．
解：(1)y＝2sin.
列表：
x
－




＋
0

π

2π
y
0
2
0
－2
0
描点画图如图所示：
把－，之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．
(2)振幅为2，周期为4π，初相为，最大值为2，最小值为－2.
8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式．
解：(1)∵ymax＝2，ymin＝－2，∴A＝2.
∵＝(x0＋3π)－x0＝3π，∴＝T＝6π，故ω＝.
把点(0,1)代入f(x)＝2sin，得sin φ＝.
又∵|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
(2)将f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，
得f(x)＝2sin的图象．将所得图象向右平移个单位长度，
得函数g(x)＝2sin＝2sin的图象．
第二课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质(习题课)
y＝Asin(ωx＋φ)的解析式求法
[例1]　如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，确定其一个函数解析式．
[思路点拨]　①由最高或最低点求A；②先求周期再确定ω；③代入特殊点求φ.
[边听边记]　法一：由图象知振幅A＝3，
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
又图象过点，
令－·2＋φ＝0，得φ＝.
∴y＝3sin.
法二：由图象知A＝3，且图象过点和，
根据五点作图法原理，有
解得ω＝2，φ＝，∴y＝3sin.
法三：∵T＝π，M，
∴图象由y＝3sin 2x向左平移个单位得到．
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
借
题
发
挥
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最值点代入公式ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求φ.
(2)待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜，x∈R的部分图象如图所示，则函数表达式为(　　)
A．y＝－4sin
B．y＝4sin
C．y＝－4sin
D．y＝4sin
解析：由函数图象可知，函数过点(－2,0)，(6,0)，
振幅A＝4，周期T＝16，频率ω＝＝，
将函数y＝4sinx向右平移6个单位，得到y＝4sin＝4sin＝－4sin.
答案：A
[例2]　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈，求f(x)的值域．
[思路点拨]　①由最低点确定A；
②由与x轴相邻两个交点确定T→ω；
③由M点解得φ；
④由x范围得出值域．
[边听边记]　(1)由最低点为M，得A＝2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，
即T＝π，∴ω＝＝2.
由点M在图象上，得2sin＝－2，
即sin＝－1.
∴＋φ＝2kπ－，得φ＝2kπ－(k∈Z)．
又∵φ∈，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1.
故f(x)的值域为[－1,2].
借题发挥
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值及图象的一些性质，求解析式的一般思路：根据函数的最值及图象的一些性质来求待定系数，有时可建立方程(组)然后求解.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．
解：由于最小值为－2，所以A＝2.
又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.
故T＝2×3π＝6π，从而ω＝＝＝，y＝2sin.
又图象过点(0,1)，所以sin φ＝.
因为|φ|<，所以φ＝.
故所求解析式为y＝2sin.
y＝Asin(ωx＋φ)的性质应用
[例3]　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；
(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合．
[思路点拨]　对于(1)，把2x＋看作整体，根据正弦函数性质求出单调区间；
对于(2)，由x∈求出2x＋的范围，再结合正弦函数图象求解；
对于(3)，可由函数性质求最大值对应x的取值集合．
[边听边记]　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为k∈Z.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，
∴a＝1.
(3)当f(x)取最大值时，2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z.
∴当f(x)取最大值时，
x的取值集合是.
借题发挥
解答此类题目的关键在于灵活运用y＝Asin(ωx＋φ)的图象、性质，注重数形结合思想在学习中的应用，切实把三角函数作为一种函数去认识和领会.
3．关于函数f(x)＝4sin，x∈R，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)的图象关于点对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的命题序号为________．
解析：如图为y＝4sin的图象，函数图象与x轴的交点均匀分布，相邻的两个交点的距离为，故命题①不正确；
每一个与x轴的交点，都是函数图象的一个对称中心，所以③正确；
函数图象的对称轴都必须经过图象的最高点或最低点，所以直线x＝－不是对称轴，故④不正确；
最后由诱导公式可知cos＝sin＝sin，所以命题②正确．
答案：②③
1．函数y＝sin可以看成是把函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移得到的　 　 B．向右平移得到的
C．向右平移得到的 D．向左平移得到的
解析：由于y＝sin＝sin 2，
∴需要向右平移个单位得到．
答案：B
2.函数所示f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈[0,2π))的部分图象如图，则f(2 018)＝(　　)
A．－1 B．1
C. D．－
解析：由图可知，＝2，所以T＝8，所以ω＝.
由点(1,1)在函数图象上可得f(1)＝cos＝1，
所以＋φ＝2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，
又φ∈[0,2π)，所以φ＝.
故f(x)＝cos，f(2 018)＝cos＝cos＝.
答案：C
3．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：y＝sin＝－cos x．由y＝cos x的图象易得y＝－cos x的图象，由图可知其周期是T＝2π，在上是增函数，其图象关于y轴对称，即关于直线x＝0对称，它是偶函数．
答案：D
4．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f＝1，则f＝________.
解析：∵f(x)的周期为，且为偶函数，
∴f＝f＝f，
∴f＝f＝f＝f＝1.
答案：1
5．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3>0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：伸长　3
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内，当x＝－时，f(x)取得最小值－2；当x＝时，f(x)取得最大值4，试求f(x)的函数表达式．
解：由题意，得解得A＝3，b＝1.
又∵T＝2＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝3sin(2x＋φ)＋1，
∴f＝3sin＋1＝－2，
即sin＝－1，
∴－＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又∵|φ|<π，∴φ＝－，∴f(x)＝3sin＋1.
形如y＝|Asin(ωx＋φ)|的函数的周期如何求？y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称性有哪些结论？
形如y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期可先作出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，再将横轴下方的对称折上去，由图象观察知其周期恰好为y＝Asin(ωx＋φ)周期的一半，即T′＝.
对于y＝Asin(ωx＋φ)的对称性，可将ωx＋φ看作整体u，得y＝Asin u，利用其对称性可得由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，求出对称轴方程，由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)，求出对称中心横坐标，类似地可研究y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴及对称中心．
一、选择题
1．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是(　　)
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝
C．f(x)＝xcos x
D．f(x)＝x··
解析：由图象知函数在x＝0处有意义，排除B，
又因为f＝0，排除A，
观察图象知函数为奇函数，排除D.
答案：C
2．将函数y＝sin向左平移个单位，可得到函数的图象为(　　)
A．y＝sin 2x　　　　　　 B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：y＝sin的图象y＝sin＝sin的图象．
答案：C
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值等于(　　)
A. B．2＋2
C.＋2 D．－2
解析：由图可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8，
∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝2sinx.
∵周期为8，且f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(1)＋f(2)＝2sin＋2sin＝＋2.
答案：C
4．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象经过A，B两点，则ω的(　　)
A．最大值为3 B．最小值为3
C．最大值为 D．最小值为
解析：∵点A，B分别为图象上的最低点和最高点，
∴T≤－，即·≤，∴ω≥.
答案：D
二、填空题
5．y＝3cos的对称轴方程为________．
解析：由2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
答案：x＝－，k∈Z
6．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f＝－，则f(0)＝________.
解析：由图可知＝－＝，T＝，∴f(0)＝f，
注意到＝，即和关于对称，
于是f(0)＝f＝－f＝.
答案：
三、解答题
7．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
解：(1)由题意作出f(x)的简图如下：
由图象，知A＝2.由＝2π，得T＝4π.
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
代入点(0,1)，得2sin φ＝1.
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ(k∈Z)，∴x0＝4kπ＋(k∈Z)．
又∵(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2.
故f(x)的值域为[－，2]．
8．已知A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图象上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，－)，若|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵角φ的终边经过点P(1，－)，∴tan φ＝－.
∵－<φ<0，∴φ＝－.
由|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为，得T＝，
∴ω＝＝3，∴f(x)＝2sin.
(2)令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋≤x≤＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．
(3)当x∈时，－≤f(x)≤1，
∴2＋f(x)>0.mf(x)＋2m≥f(x)等价于m≥＝1－.
由－≤f(x)≤1，得的最大值为，
∴m≥，即实数m的取值范围是.
第三课时　应 用 举 例
三角函数的应用
解答三角函数应用问题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、还原评价．
1．审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用普通文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
2．建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．
3．解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决．
4．还原评价
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．
1．如图所示为一简谐振动的图象，则下列判断正确的是(　　)
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
[提示]　B
2．弹簧振子以O点为平衡位置在B，C间做简谐运动，B，C相距20 cm，某时刻振子处在B点，经0.5 s振子首次到达C点，则振动的周期和频率分别是________．
[提示]　1,1
根据图象建立解析式
[例1]　如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多少时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
[思路点拨]　(1)由曲线形态可设s＝Asin(ωt＋φ)；
(2)利用函数周期、最值及过定点情况，确定A，ω，φ；
(3)利用实际意义，结合表达式作出结论．
[边听边记]　(1)由图可知，周期T＝2＝π.
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14 s.
(2)由图可设该曲线的函数解析式为：
s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．
从图中可以看出A＝4，又＝π，
∴ω＝2.从而s＝4sin(2t＋φ)．
将t＝，s＝4代入上式，得
sin＝1.∴φ＝.
故这条曲线的函数解析式为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin＝2(cm)．
故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2 cm.
借
题
发
挥
根据图象判断函数的类型，用适当的形式设出其解析式，是解决这类问题的基点，利用待定系数法及数形结合思想、方程思想，就可求出函数解析式，并结合实际问题的意义，注明函数的定义域，有了函数解析式，其他相关问题都能得到解决.
[变式之作]
　在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sin；s2＝ 10cos 2t.则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是________．
解析：当t＝时，s1＝－5，s2＝－5，
∴s1＝s2.
答案：s1＝s2
建立三角函数模型
[例2]　如图所示，弹簧挂着的小球作上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sin，t∈[0，＋∞)．
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)小球开始振动的位置在哪里？
(3)小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？
(4)小球经过多长时间往复振动一次？
(5)小球1 s内能振动多少次？
(6)小球在什么时间内是升高状态？
(7)这一函数的对称中心、对称轴是什么？
[思路点拨]　关键是函数h＝2sin的图象和性质的应用．
[边听边记]　(1)画出h＝2sin的简图(长度为一个周期)．
①列表：
t
－




2t＋
0

π

2π
2sin
0
2
0
－2
0
②描点．
③连线：用平滑曲线依次连接各点即得h＝2sin的简图，如图所示．
(2)t＝0时，h＝2sin＝，即小球开始振动时的位置为(0，)．
(3)t＝＋kπ(k∈Z)时，h＝2；t＝＋kπ(k∈Z)时，h＝－2.即最高点位置(k∈Z)， 最低点位置(k∈Z)；最高点、最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.
(4)小球往复振动一次所需时间即周期
T＝＝π≈3.14(s)．
(5)小球1 s内振动的次数为频率
f＝＝≈≈0.318(次/s)．
(6)小球在或(k∈Z，k≥0)内是升高状态．
(7)这一函数在t∈[0，＋∞)上无对称中心及对称轴.
借
题
发
挥
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.
1．如图，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率．
解：当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，
则∠POx＝ωt＋φ.
由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y＝rsin(ωt＋φ)，即为所求的函数关系式．
点P的运动周期为T＝，频率f＝＝.
利用数据建立模拟函数型
[例3]　通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.2018年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈)的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[思路点拨]　表中数据→A，b，ω的值→φ的值→函数表达式→代入值→求得答案．
[边听边记]　(1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6＝8sin＋6<8sin＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调.
借
题
发
挥
由于三角函数是周期函数，只有相关数据呈周期性变化，才考虑用三角函数来拟合，并根据散点图的大致形态，选择适当类型的三角函数，再利用已知数据结合图象，确定函数解析式中的参数值．对实际问题的求解，需仔细审题，将问题转化为三角函数模型来解决(如本例中将实际问题转化为解三角函数不等式)，并回到实际情景作答.
2．下表是某城市2013～2017年月平均气温(华氏℃).
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
73.1
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
若用x表示月份，y表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是________(填序号)．
①y＝26cos； ②y＝26cos＋46；
③y＝－26cos＋46； ④y＝26sin＋26
解析：由表可知ymax＝73，ymin＝21.
∴A＝＝26，b＝＝47，T＝12＝，
∴ω＝，把点(7,73)代入验证，③最合适．
答案：③
1．某人的血压满足函数关系式：f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间(分)，则此人每分钟心跳的次数为(　　)
A.　　　　　　　 B．80
C．160 D．
解析：∵T＝＝，∴f＝＝80.
答案：B
2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)
A．1s B．2s
C．3s D．4s
解析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式，单摆来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．因为ω＝2π，所以T＝＝1.
答案：A
3．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝ 5sin，t∈[0，＋∞)．则这种交变电流在0.5 s内往复运动的次数为________次．
解析：周期T＝ s，从而频率为每秒50次，0.5秒内往复运动的次数是25次．
答案：25
4．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝＝＝.
又由4sin φ＝－4.0，可得sin φ＝－1，
取φ＝－，故y＝4sin，即y＝－4cos t.
答案：y＝－4cos t
5．如图，圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离|OA|＝m，P是圆周上一点，∠POA＝θ，一点从点P出发以T秒一周的速度绕点O在圆周上逆时针做匀速圆周运动，若t秒后该点所在位置为Q，求点Q到直线l的距离与t的函数关系．
解：以O为原点，直线OA为x轴建立直角坐标系(图略)．
由已知，该点的角速度ω＝.
∴∠POQ＝，∠QOA＝＋θ.
根据三角函数定义，
点Q的坐标是.
又直线l的方程是x＝m.
故点Q到直线l的距离d＝m－rcos，t∈[0，＋∞)．
将实际问题抽象为三角函数模型的基本思路是怎样的？解决时应注意什么问题？
将实际问题抽象为三角函数模型的基本思路是：搜集整理数据―→结合图形建立三角函数模型―→求解―→作答评价．
应特别注意以下几点：
(1)自变量的变化范围，(2)数形结合，选准模拟函数，(3)利用实际背景建立基本数学关系时要认真审题，(4)作出评价时要切合实际意义．
一、选择题
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin100πt＋，则当t＝时，电流I为(　　)
A．5　　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．－5
解析：t＝时，I＝5sin＝5cos＝.
答案：B
2．函数y＝2sin ωx(ω＞0)的图象与直线y＋2＝0的相邻两公共点之间的距离为，则ω的值为(　　)
A．3 B．
C. D．
解析：由题知T＝.∴ω＝＝3.
答案：A
3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则车流量增加的时间段是(　　)
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
解析：由2kπ－≤≤2kπ＋，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)．
∵0≤t≤20，∴0≤t≤π或3π≤t≤5π，
∴车流量在时间段[10,15]内是增加的．
答案：C
4．如图为2018年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为(　　)
A．16 ℃ B．15 ℃
C．14 ℃ D．13 ℃
解析：由题意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.
∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，
∴y＝10sin＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，
即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，
即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
答案：D
二、填空题
5．某时钟的秒针端点A到中心的距离为5 cm，秒针均匀地绕O点旋转到B点，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点重合，将A，B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中，t∈[0,60]．
解析：由题意易知d＝2r·sin t，r＝5，ω＝.
∴d＝10sin t.
答案：10sin t
6．已知某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续________分钟．
解析：依题意知40sin＋50≥70，即cost≤－，
从而在一个周期内持续的时间为≤t≤，4≤t≤8，
即持续时间为4分钟．
答案：4
三、解答题
7.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这一天的最大用电量和最小用电量．
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)最大用电量为50万kW·h，
最小用电量为30万kW·h.
(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
所以A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.
因为×＝14－8，所以ω＝.
所以y＝10sin＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
所以所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
8．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin 来表示，求：
(1)开始的电压；
(2)电压值重复一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
解：(1)令t＝0，则E＝220sin＝110，
即开始的电压为110伏．
(2)重复一次电压的时间间隔为T＝＝(秒)．
(3)电压的最大值为220伏，当100πt＋＝，
即t＝秒时，第一次获得最大电压．