2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 阶段质量检测

(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．－是(　　)
A．第一象限的角　　　　　 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
解析：∵－＝－6π＋，是第三象限角，
∴－是第三象限角．
答案：C
2．下列角的终边与330°相同的是(　　)
A．30° B．－30°
C．630° D．－630°
解析：∵330°＝－30°＋360°，∴终边与330°相同的角是－30°.
答案：B
3．若π＜α＜2π，则化简 的结果是(　　)
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
解析：∵π＜α＜2π，∴＜＜π，
∴cos＜0，原式＝ ＝＝－cos.
答案：C
4．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④.其中，符号为负的是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
解析：①sin(－1 000°)＝sin 80°>0；
②cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；
③tan(－10)＝tan(3π－10)<0；
∵sin >0，tan <0，∴④＝>0.∴只有③的符号为负．
答案：C
5．已知点M在函数y＝log3x的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M，则 tan θ＝(　　)
A．－ B．±
C．－3 D．±3
解析：因为点M在函数y＝log3x的图象上，所以a＝log3＝－1，
即M，所以tan θ＝＝－3，故选C.
答案：C
6．若sin α<0且tan α>0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：sin α<0，则α是第三、四象限角．tan α>0，则α是第一、三象限角．
∴α是第三象限角．
答案：C
7．下列函数中，在区间上为增函数，且以π为周期的函数是(　　)
A．y＝sin  B．y＝sin x
C．y＝－tan x D．y＝－cos 2x
解析：由函数以π为周期，可排除A，B；由函数在为增函数，可排除C.故选D.
答案：D
8．已知sin α＝，则下列式子值为的是(　　)
A．cos B．sin (π＋α)
C．cos  D．sin(2π－α)
解析：cos＝－cos＝sin α＝，故选C.
答案：C
9．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(　　)
解析：把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝cos x＋1的图象，向左平移1个单位长度，得y＝cos(x＋1)＋1的图象，再向下平移1个单位长度得y＝cos(x＋1)的图象．则得到的函数为y＝cos(x＋1)，令x＝0，得y＝cos 1>0，排除C、D；又令x＝－1，得y＝cos＝0，排除B.故选A.
答案：A
10．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：由T＝，得|ω|＝2，排除D；将x＝带入另外三项，得选项B的值为1，符合题意，故选B.
答案：B
11．将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是y＝sin[－]＝sin.
答案：C
12．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为(　　)
A. B．－
C. D．
解析：由题意得
①2－2×②得1＝－a，∴a＝－，故选B.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知tan θ＝－2，且cos θ>0，则sin θ＝________.
解析：依题意，得解得sin θ＝±.
又∵tan θ<0，cos θ>0，∴θ是第四象限角，故sin θ＝－.
答案：－
14．已知sin＝，则sin＋sin2等于________．
解析：sin＋sin2
＝sinπ－＋1－cos2
＝sin＋1－cos2 [ －]
＝sin＋1－sin2
＝＋1－＝.
答案：
15．已知tan(α＋β)＝，tan＝2，则1＋3sin α·cos α－2cos2α＝________.
解析：∵tan＝＝＝2，∴tan α＝，
∴1＋3sin α·cos α－2cos2α
＝sin2α＋3sin α·cos α－cos2α
＝
＝＝.
答案：
16．在下列结论中：
①函数y＝sin(kπ－x)(k∈Z)为奇函数；
②函数y＝tan的图象关于点对称；
③函数y＝cos的图象的一条对称轴为直线x＝－；
④若tan(π－x)＝2，则cos2x＝.
其中，正确结论的序号为______．(填序号)
解析：函数y＝sin(kπ－x)＝±sin x为奇函数，故①正确；
函数y＝tan的图象不关于点对称，故②错误；
当x＝－时，函数y＝cos取得最小值，故直线x＝－是函数y＝cos的
图象的一条对称轴，故③正确；
若tan(π－x)＝2，则tan x＝－2，∴cos2x＝＝＝，故④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上的一点，且cos α＝ x，求sin α和tan α的值．
解：由三角函数的定义，得cos α＝ .
又∵cos α＝x，∴＝x，解得x＝±.
由已知，得x<0，∴x＝－，故cos α＝－，
∴sin α＝，tan α＝－.
18．(本小题满分12分)已知公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，cos＝， x∈，求sin x的值．
解：∵x∈，∴x－∈.
又∵sinx－＝ ＝，
∴sin x＝sinx－＋＝sin·cos＋cossin＝×＋×＝.
19．(本小题满分12分)已知cos＝，
求＋的值．
解：因为cos＝－sin θ，所以sin θ＝－.
原式＝＋
＝＋＝＝＝8.
20．(本小题满分12分)已知角α的终边过点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解：(1)依题意，得x＝，y＝－，r＝＝1，∴sin α＝－.
(2)·＝·＝.
由(1)知cos α＝，∴原式＝＝.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0＜φ＜π)的最小值为－2，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标差的绝对值是3π，且图象过点(0,1)，求：
(1)函数f(x)的解析式；
(2)函数f(x)在区间上的最值．
解：(1)∵＝3π，∴T＝6π，
∴ω＝＝＝.
由题意，知A＝2，则f(x)＝2cos.
又图象过点(0,1)，∴2cos φ＝1.
∵0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝2cos.
(2)∵－≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴当x＋＝0，即x＝－π时，f(x)max＝2；
当x＋＝，即x＝0时， f(x)min＝1.
22．(本小题满分12分)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)在x＝处取得最大值2，其图象中相邻的两个最低点之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f的单调递减区间和对称中心．
解：(1)由题意，知f(x)的最小正周期T＝π，
∴ω＝＝2.
∵f(x)在x＝处取得最大值2，
∴A＝2，且2cos＝2，
∴cos＝1，即sin φ＝－1.
∵－π<φ<π，∴φ＝－，
∴f(x)＝2cos.
(2)由(1)得f＝2sin＝2sin.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数f的单调递减区间为 (k∈Z)．
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
即函数f的对称中心为(k∈Z)．