2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 章末小结与测评
文档属性
| 名称 | 2019年数学湘教版必修2新设计同步（讲义）：第3章 章末小结与测评 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 258.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-30 15:23:39 | ||
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文档简介
章 末 小 结 与 测 评
三角函数的有关概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：
1．任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度 的换算．
2．任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1] (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
[解析] 法一：因为α为第四象限的角，
故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，
所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.
[答案] D
(2)已知角α的终边上有一点(－1,2)，则cos α＝________.
[解析] cos α＝＝－.
[答案] －
同角三角函数的关系及诱导公式
1.诱导公式属异角三角函数间基本关系式，它与同角三角函数的基本关系式协同作战，能量无穷，近几年的高考命题中，主要考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出推理、计算的考查．
2．本类问题在解决具体问题时常会用到数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及函数与方程的思想．
[例2] 已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
[解析] 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝
＝＝＝－1.
[答案] －1
[例3] 化简：.
[解] 原式＝
＝
＝
＝－1.
三角函数的图象
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
[例4] (1)(全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
[解析] 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
[答案] D
(2)(湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
①请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
②将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解] ①根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
②由①知f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为.
三角函数的性质
高考中，三角函数的性质是必考内容之一，在考查时，往往和后面的三角知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质．
[例5] (1)(全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
[解析] 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，
所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，
当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
[答案] D
(2)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则( )
A．f(x)的图象过点
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的最大值是A
[解析] 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)且|φ|<.∴φ＝.
∴f(x)＝Asin.∴图象过.
又当x＝时，2x＋＝π，即f是f(x)的一个对称中心．
[答案] C
三角函数的有关概念
三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：
1．任意角和弧度制．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度 的换算．
2．任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
[例1] (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－
C. D．－
[解析] 法一：因为α为第四象限的角，
故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，
所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.
[答案] D
(2)已知角α的终边上有一点(－1,2)，则cos α＝________.
[解析] cos α＝＝－.
[答案] －
同角三角函数的关系及诱导公式
1.诱导公式属异角三角函数间基本关系式，它与同角三角函数的基本关系式协同作战，能量无穷，近几年的高考命题中，主要考查利用公式进行恒等变形的技能，以及基本运算能力，特别突出推理、计算的考查．
2．本类问题在解决具体问题时常会用到数形结合思想、分类讨论思想、转化思想及函数与方程的思想．
[例2] 已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
[解析] 由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝
＝＝＝－1.
[答案] －1
[例3] 化简：.
[解] 原式＝
＝
＝
＝－1.
三角函数的图象
三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．
[例4] (1)(全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
[解析] 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
[答案] D
(2)(湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
①请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
②将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解] ①根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
②由①知f(x)＝5sin，
因此g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，
其中离原点O最近的对称中心为.
三角函数的性质
高考中，三角函数的性质是必考内容之一，在考查时，往往和后面的三角知识相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等有关性质．
[例5] (1)(全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
[解析] 根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π，
所以函数的一个周期为－2π，A正确；
当x＝时，x＋＝3π，所以cos＝－1，所以B正确；
f(x＋π)＝cos＝cos，
当x＝时，x＋＝，所以f(x＋π)＝0，所以C正确；
函数f(x)＝cos在上单调递减，在上单调递增，故D不正确．
[答案] D
(2)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则( )
A．f(x)的图象过点
B．f(x)在上是减函数
C．f(x)的一个对称中心是
D．f(x)的最大值是A
[解析] 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，
又f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)且|φ|<.∴φ＝.
∴f(x)＝Asin.∴图象过.
又当x＝时，2x＋＝π，即f是f(x)的一个对称中心．
[答案] C